Cele mai importante aspecte ale lecției
Adunarea și scăderea fracțiilor zecimale:
- Așezarea numerelor se face întotdeauna virgulă sub virgulă.
- Dacă un termen are mai puține zecimale, se adaugă zerouri la sfârșit. De exemplu, \(12 - 3,45\) devine \(12,00 - 3,45 = 8,55\).
- Proprietățile adunării (asociativitatea și comutativitatea) ne permit să grupăm termenii convenabil pentru un calcul mai rapid (ex. \(0,7 + 2,3 = 3\)).
Adunarea fracțiilor zecimale cu un număr finit de zecimale nenule se realizează prin alinierea corectă a cifrelor de același ordin.
Se așază fracțiile una sub alta, astfel încât virgula să fie sub virgulă (unitățile sub unități, zecimile sub zecimi, sutimile sub sutimi etc.).
Dacă termenii nu au același număr de zecimale, se adaugă zerouri la sfârșitul părții zecimale a numărului cu mai puține zecimale.
Se efectuează adunarea exact ca la numerele naturale, de la dreapta la stânga.
Se coboară virgula la rezultat, pe aceeași verticală cu virgulele termenilor.
Calculați \(20,35 + 10,23\):
\[
\begin{array}{r}
20,35 \\
+ 10,23 \\
\hline
30,58
\end{array}
\]
Calculați \(20,25 + 2,79\):
\[
\begin{array}{r}
20,25 \\
+ \ \, 2,79 \\
\hline
23,04
\end{array}
\]
Calculați suma \(14,5 + 3,82\).
Mai întâi adăugăm un zero la sfârșitul lui \(14,5\) pentru a avea același număr de zecimale: \(14,50\).
\[
\begin{array}{r}
14,50 \\
+ \ \, 3,82 \\
\hline
18,32
\end{array}
\]
Suma este \(18,32\).
Adunarea fracțiilor zecimale are aceleași proprietăți ca și adunarea fracțiilor ordinare sau a numerelor naturale:
Comutativitatea: Schimbarea ordinii termenilor nu modifică rezultatul adunării.
\[ a + b = b + a \]
Asociativitatea: Gruparea diferită a termenilor nu modifică rezultatul.
\[ (a + b) + c = a + (b + c) \]
Elementul neutru: Numărul \(0\) adunat cu orice fracție zecimală lasă acea fracție neschimbată.
\[ a + 0 = 0 + a = a \]
Calculați rapid folosind proprietățile adunării: \(3,2 + 6,7 + 2,8 + 3,3\).
Grupăm termenii care adunați dau numere întregi: \[ (3,2 + 2,8) + (6,7 + 3,3) = 6 + 10 = 16 \]
Grupăm termenii care adunați dau numere întregi: \[ (3,2 + 2,8) + (6,7 + 3,3) = 6 + 10 = 16 \]
Scăderea fracțiilor zecimale cu un număr finit de zecimale nenule se face respectând reguli similare cu cele de la adunare.
Se așază scăzătorul sub descăzut, astfel încât virgula să fie poziționată direct sub virgulă.
Dacă descăzutul sau scăzătorul are mai puține zecimale, se completează obligatoriu cu zerouri la finalul părții zecimale pentru a egala numărul de cifre de după virgulă.
Se efectuează scăderea ca la numerele naturale, împrumutându-ne la ordinele superioare dacă este necesar.
Se așază virgula la rezultat, respectând coloana virgulelor.
Calculați \(50 - 30,58\).
Numărul întreg \(50\) se scrie ca \(50,00\) pentru a egala zecimalele: \[ \begin{array}{r} 50,00 \\ - 30,58 \\ \hline 19,42 \end{array} \]
Numărul întreg \(50\) se scrie ca \(50,00\) pentru a egala zecimalele: \[ \begin{array}{r} 50,00 \\ - 30,58 \\ \hline 19,42 \end{array} \]
Calculați \(3,8 - 1,356\).
Completăm cu zerouri și obținem \(3,800 - 1,356\): \[ \begin{array}{r} 3,800 \\ - 1,356 \\ \hline 2,444 \end{array} \]
Completăm cu zerouri și obținem \(3,800 - 1,356\): \[ \begin{array}{r} 3,800 \\ - 1,356 \\ \hline 2,444 \end{array} \]
Calculați diferența \(8,5 - 2,75\).
Completăm descăzutul cu un zero la sfârșit: \(8,50\).
\[
\begin{array}{r}
8,50 \\
- 2,75 \\
\hline
5,75
\end{array}
\]
Diferența este \(5,75\).
Probleme practice
Problema 1 (Ușoară): Andrei a cumpărat o pâine cu \(3,45\) lei și un iaurt cu \(2,8\) lei. Câți lei a cheltuit Andrei în total?
Pentru a afla suma totală, adunăm prețurile celor două produse. Completăm numărul \(2,8\) cu un zero pentru a avea două zecimale: \(2,80\).
\[
\begin{array}{r}
3,45 \\
+ 2,80 \\
\hline
6,25
\end{array}
\]
Răspuns: Andrei a cheltuit în total \(6,25\) lei.
Problema 2 (Medie): O brutărie a primit \(261,57\) kg de făină. În prima zi s-au utilizat \(192,04\) kg de făină pentru fabricarea pâinii. Ce cantitate de făină a rămas în brutărie?
Pentru a afla restul de făină, scădem cantitatea utilizată din cantitatea totală primită:
\[
\begin{array}{r}
261,57 \\
- 192,04 \\
\hline
69,53
\end{array}
\]
Răspuns: În brutărie au rămas \(69,53\) kg de făină.
Problema 3 (Medie): Calculați suma următoare folosind proprietățile adunării:
\[ S = 1,11 + 2,22 + 3,33 + 4,44 + 5,56 + 6,67 + 7,78 + 8,89 \]
Grupăm termenii în perechi care adunate dau numere întregi:
\[ S = (1,11 + 8,89) + (2,22 + 7,78) + (3,33 + 6,67) + (4,44 + 5,56) \]
Efectuăm adunările din fiecare paranteză:
- \(1,11 + 8,89 = 10\)
- \(2,22 + 7,78 = 10\)
- \(3,33 + 6,67 = 10\)
- \(4,44 + 5,56 = 10\)
Problema 4 (Dificilă): Determinați cifrele nenule \(a\) și \(b\) care verifică relația:
\[ \overline{a,b} + \overline{b,a} = 3,3 \]
Scriem fracțiile zecimale sub formă de fracții ordinare:
\[ \frac{\overline{ab}}{10} + \frac{\overline{ba}}{10} = \frac{33}{10} \]
Deoarece numitorii sunt egali, putem scrie:
\[ \overline{ab} + \overline{ba} = 33 \]
Descompunem numerele în baza 10:
\[ (10a + b) + (10b + a) = 33 \]
\[ 11a + 11b = 33 \]
Factor comun pe \(11\):
\[ 11(a + b) = 33 \implies a + b = 3 \]
Deoarece \(a\) și \(b\) sunt cifre nenule (\(a, b \in \{1, 2, 3, \dots, 9\}\)), avem următoarele posibilități:
- \(a = 1\) și \(b = 2\) \(\implies 1,2 + 2,1 = 3,3\)
- \(a = 2\) și \(b = 1\) \(\implies 2,1 + 1,2 = 3,3\)
