Cele mai importante aspecte ale lecției
Concluzii cheie:
- Aducerea fracțiilor la un numitor comun înseamnă transformarea lor în fracții echivalente care au numitori egali.
- Numitorul comun optim este întotdeauna cel mai mic multiplu comun (c.m.m.m.c.) al numitorilor fracțiilor simplificate în prealabil.
- Fiecare fracție se amplifică cu câtul dintre noul numitor comun și numitorul său inițial.
- Exemplu rapid: Pentru \( \frac{2}{3} \) și \( \frac{1}{4} \), cel mai mic multiplu comun al numitorilor este \( 12 \). Fracțiile aduse la numitor comun devin \( \frac{8}{12} \) și \( \frac{3}{12} \).
Prin aducerea la același numitor (sau aducerea la un numitor comun) a două sau mai multor fracții se înțelege procedeul prin care se obțin fracții cu numitori egali, echivalente cu cele inițiale.
Acest procedeu este esențial pentru a putea compara fracții care nu au inițial nici același numărător, nici același numitor, dar și pentru a efectua ulterior operații de adunare sau scădere între ele.
Pentru a compara fracțiile \( \frac{3}{4} \) și \( \frac{5}{6} \), le aducem la numitorul comun \( 12 \):
\( \frac{3}{4} \overset{\cdot 3}{=} \frac{9}{12} \) și \( \frac{5}{6} \overset{\cdot 2}{=} \frac{10}{12} \)
Deoarece \( \frac{9}{12} < \frac{10}{12} \), deducem direct că \( \frac{3}{4} < \frac{5}{6} \).
\( \frac{3}{4} \overset{\cdot 3}{=} \frac{9}{12} \) și \( \frac{5}{6} \overset{\cdot 2}{=} \frac{10}{12} \)
Deoarece \( \frac{9}{12} < \frac{10}{12} \), deducem direct că \( \frac{3}{4} < \frac{5}{6} \).
Simplificarea fracțiilor: Se simplifică fiecare fracție dată până când devine ireductibilă.
Calcularea numitorului comun: Se determină cel mai mic multiplu comun (c.m.m.m.c.) al numitorilor fracțiilor simplificate.
Amplificarea fracțiilor: Se amplifică fiecare fracție cu câtul dintre cel mai mic multiplu comun și numitorul fracției respective.
Să aducem la același numitor fracțiile \( \frac{24}{32} \) și \( \frac{5}{30} \):
Pasul 1: Simplificăm fracțiile până la forma ireductibilă: \[ \frac{24}{32} = \frac{24 : 8}{32 : 8} = \frac{3}{4} \] \[ \frac{5}{30} = \frac{5 : 5}{30 : 5} = \frac{1}{6} \] Pasul 2: Calculăm cel mai mic multiplu comun al numitorilor \( 4 \) și \( 6 \): \[ [4, 6] = 12 \] Pasul 3: Amplificăm fracțiile obținute pentru a ajunge la numitorul \( 12 \): \[ \frac{3}{4} \overset{\cdot 3}{=} \frac{9}{12} \quad \text{și} \quad \frac{1}{6} \overset{\cdot 2}{=} \frac{2}{12} \]
Pasul 1: Simplificăm fracțiile până la forma ireductibilă: \[ \frac{24}{32} = \frac{24 : 8}{32 : 8} = \frac{3}{4} \] \[ \frac{5}{30} = \frac{5 : 5}{30 : 5} = \frac{1}{6} \] Pasul 2: Calculăm cel mai mic multiplu comun al numitorilor \( 4 \) și \( 6 \): \[ [4, 6] = 12 \] Pasul 3: Amplificăm fracțiile obținute pentru a ajunge la numitorul \( 12 \): \[ \frac{3}{4} \overset{\cdot 3}{=} \frac{9}{12} \quad \text{și} \quad \frac{1}{6} \overset{\cdot 2}{=} \frac{2}{12} \]
Probleme propuse
Problema 1 (Dificultate: Ușoară)
Aduceți la cel mai mic numitor comun fracțiile \( \frac{5}{8} \) și \( \frac{7}{12} \).
Aduceți la cel mai mic numitor comun fracțiile \( \frac{5}{8} \) și \( \frac{7}{12} \).
Rezolvare:
Fracțiile sunt deja ireductibile, deci trecem direct la calculul numitorului comun.
1. Determinăm cel mai mic multiplu comun al numitorilor \( 8 \) și \( 12 \):
\( 8 = 2^3 \)
\( 12 = 2^2 \cdot 3 \)
\( [8, 12] = 2^3 \cdot 3 = 24 \).
2. Aflăm factorii de amplificare împărțind numitorul comun la numitorii inițiali:
\( 24 : 8 = 3 \) (amplificăm prima fracție cu 3)
\( 24 : 12 = 2 \) (amplificăm a doua fracție cu 2)
3. Efectuăm amplificările: \[ \frac{5}{8} \overset{\cdot 3}{=} \frac{15}{24} \quad \text{și} \quad \frac{7}{12} \overset{\cdot 2}{=} \frac{14}{24} \]
Fracțiile sunt deja ireductibile, deci trecem direct la calculul numitorului comun.
1. Determinăm cel mai mic multiplu comun al numitorilor \( 8 \) și \( 12 \):
\( 8 = 2^3 \)
\( 12 = 2^2 \cdot 3 \)
\( [8, 12] = 2^3 \cdot 3 = 24 \).
2. Aflăm factorii de amplificare împărțind numitorul comun la numitorii inițiali:
\( 24 : 8 = 3 \) (amplificăm prima fracție cu 3)
\( 24 : 12 = 2 \) (amplificăm a doua fracție cu 2)
3. Efectuăm amplificările: \[ \frac{5}{8} \overset{\cdot 3}{=} \frac{15}{24} \quad \text{și} \quad \frac{7}{12} \overset{\cdot 2}{=} \frac{14}{24} \]
Problema 2 (Dificultate: Medie)
Scrieți în ordine crescătoare fracțiile: \( \frac{7}{10} \), \( \frac{13}{6} \) și \( \frac{8}{15} \).
Scrieți în ordine crescătoare fracțiile: \( \frac{7}{10} \), \( \frac{13}{6} \) și \( \frac{8}{15} \).
Rezolvare:
Toate fracțiile sunt ireductibile. Pentru a le putea ordona, le vom aduce la același numitor.
1. Calculăm cel mai mic multiplu comun al numitorilor \( 10, 6 \) și \( 15 \):
\( 10 = 2 \cdot 5 \)
\( 6 = 2 \cdot 3 \)
\( 15 = 3 \cdot 5 \)
\( [10, 6, 15] = 2 \cdot 3 \cdot 5 = 30 \).
2. Amplificăm fracțiile pentru a obține numitorul comun \( 30 \):
\( 30 : 10 = 3 \implies \frac{7}{10} \overset{\cdot 3}{=} \frac{21}{30} \)
\( 30 : 6 = 5 \implies \frac{13}{6} \overset{\cdot 5}{=} \frac{65}{30} \)
\( 30 : 15 = 2 \implies \frac{8}{15} \overset{\cdot 2}{=} \frac{16}{30} \)
3. Ordonăm crescător fracțiile cu același numitor: \[ \frac{16}{30} < \frac{21}{30} < \frac{65}{30} \]
4. Înlocuim cu fracțiile inițiale corespunzătoare: \[ \frac{8}{15} < \frac{7}{10} < \frac{13}{6} \]
Toate fracțiile sunt ireductibile. Pentru a le putea ordona, le vom aduce la același numitor.
1. Calculăm cel mai mic multiplu comun al numitorilor \( 10, 6 \) și \( 15 \):
\( 10 = 2 \cdot 5 \)
\( 6 = 2 \cdot 3 \)
\( 15 = 3 \cdot 5 \)
\( [10, 6, 15] = 2 \cdot 3 \cdot 5 = 30 \).
2. Amplificăm fracțiile pentru a obține numitorul comun \( 30 \):
\( 30 : 10 = 3 \implies \frac{7}{10} \overset{\cdot 3}{=} \frac{21}{30} \)
\( 30 : 6 = 5 \implies \frac{13}{6} \overset{\cdot 5}{=} \frac{65}{30} \)
\( 30 : 15 = 2 \implies \frac{8}{15} \overset{\cdot 2}{=} \frac{16}{30} \)
3. Ordonăm crescător fracțiile cu același numitor: \[ \frac{16}{30} < \frac{21}{30} < \frac{65}{30} \]
4. Înlocuim cu fracțiile inițiale corespunzătoare: \[ \frac{8}{15} < \frac{7}{10} < \frac{13}{6} \]
Problema 3 (Dificultate: Dificilă)
Determinați toate valorile numărului natural \( n \) pentru care cel mai mic numitor comun al fracțiilor \( \frac{3}{4} \) și \( \frac{7}{n+2} \) este \( 12 \).
Determinați toate valorile numărului natural \( n \) pentru care cel mai mic numitor comun al fracțiilor \( \frac{3}{4} \) și \( \frac{7}{n+2} \) este \( 12 \).
Rezolvare:
Cel mai mic numitor comun al fracțiilor este cel mai mic multiplu comun al numitorilor lor, adică \( [4, n+2] = 12 \).
Pentru ca multiplul comun al lui \( 4 \) și al numărului \( n+2 \) să fie \( 12 \), numărul \( n+2 \) trebuie să fie un divizor natural al lui \( 12 \).
Divizorii naturali ai lui \( 12 \) sunt: \( 1, 2, 3, 4, 6, 12 \). Analizăm pe rând fiecare caz pentru numărul natural \( n \):
Prin urmare, valorile naturale posibile pentru \( n \) sunt: \( n \in \{1, 4, 10\} \).
Cel mai mic numitor comun al fracțiilor este cel mai mic multiplu comun al numitorilor lor, adică \( [4, n+2] = 12 \).
Pentru ca multiplul comun al lui \( 4 \) și al numărului \( n+2 \) să fie \( 12 \), numărul \( n+2 \) trebuie să fie un divizor natural al lui \( 12 \).
Divizorii naturali ai lui \( 12 \) sunt: \( 1, 2, 3, 4, 6, 12 \). Analizăm pe rând fiecare caz pentru numărul natural \( n \):
- Dacă \( n+2 = 1 \implies n = -1 \notin \mathbb{N} \) (nu convine).
- Dacă \( n+2 = 2 \implies n = 0 \). Verificăm: \( [4, 2] = 4 \neq 12 \) (nu convine).
- Dacă \( n+2 = 3 \implies n = 1 \). Verificăm: \( [4, 3] = 12 \) (Adevărat, convine).
- Dacă \( n+2 = 4 \implies n = 2 \). Verificăm: \( [4, 4] = 4 \neq 12 \) (nu convine).
- Dacă \( n+2 = 6 \implies n = 4 \). Verificăm: \( [4, 6] = 12 \) (Adevărat, convine).
- Dacă \( n+2 = 12 \implies n = 10 \). Verificăm: \( [4, 12] = 12 \) (Adevărat, convine).
Prin urmare, valorile naturale posibile pentru \( n \) sunt: \( n \in \{1, 4, 10\} \).
