Copertă

57. Înmulțirea Fracțiilor Ordinare

Rezolvări + Recapitulare

Alege rezolvarea exercițiului:

Exercițiul 1 (gratuit)

Rezolvare scurtă

\[ 2 \cdot \frac{3}{5} = \frac{6}{5} = 1\frac{1}{5} \]\[ 4 \cdot \frac{1}{7} = \frac{4}{7} \]\[ \frac{3}{5} \cdot 11 = \frac{33}{5} = 6\frac{3}{5} \]\[ \frac{3}{4} \cdot 6 = \frac{3}{\cancel{4}_2} \cdot \cancel{6}^3 = \frac{9}{2} = 4\frac{1}{2} \]\[ \frac{5}{21} \cdot 14 = \frac{5}{\cancel{21}_3} \cdot \cancel{14}^2 = \frac{10}{3} = 3\frac{1}{3} \]\[ 6 \cdot \frac{5}{3} = \cancel{6}^2 \cdot \frac{5}{\cancel{3}_1} = 10 \]\[ 3\frac{2}{5} \cdot 6 = \frac{17}{5} \cdot 6 = \frac{102}{5} = 20\frac{2}{5} \]\[ 11 \cdot 2\frac{3}{22} = 11 \cdot \frac{47}{22} = \cancel{11}^1 \cdot \frac{47}{\cancel{22}_2} = \frac{47}{2} = 23\frac{1}{2} \]\[ 8 \cdot 2\frac{3}{16} = 8 \cdot \frac{35}{16} = \cancel{8}^1 \cdot \frac{35}{\cancel{16}_2} = \frac{35}{2} = 17\frac{1}{2} \]\[ \begin{array}{|c|c|c|c|c|c|c|c|c|c|} \hline a & 2 & 4 & \frac{3}{5} & \frac{3}{4} & \frac{5}{21} & 6 & 3 \frac{2}{5} & 11 & 8 \\ \hline b & \frac{3}{5} & \frac{1}{7} & 11 & 6 & 14 & \frac{5}{3} & 6 & 2 \frac{3}{22} & 2 \frac{3}{16} \\ \hline a \cdot b & 1\frac{1}{5} & \frac{4}{7} & 6\frac{3}{5} & 4\frac{1}{2} & 3\frac{1}{3} & 10 & 20\frac{2}{5} & 23\frac{1}{2} & 17\frac{1}{2} \\ \hline \end{array} \]

Rezolvare detaliată

Pentru a completa tabelul, calculăm produsul \( a \cdot b \) pentru fiecare coloană, introducând întregii în fracție dacă este cazul, simplificând fracțiile și scoțând întregii din fracțiile supraunitare.

Coloana 1

Avem \( a = 2 \) și \( b = \frac{3}{5} \). Înmulțim numărul natural cu fracția: \[ a \cdot b = 2 \cdot \frac{3}{5} = \frac{2 \cdot 3}{5} = \frac{6}{5} \] Scoatem întregii din fracție împărțind \( 6 \) la \( 5 \): \[ \frac{6}{5} = 1\frac{1}{5} \]

Coloana 2

Avem \( a = 4 \) și \( b = \frac{1}{7} \). Înmulțim numărul natural cu fracția: \[ a \cdot b = 4 \cdot \frac{1}{7} = \frac{4 \cdot 1}{7} = \frac{4}{7} \] Fracția este subunitară și ireductibilă.

Coloana 3

Avem \( a = \frac{3}{5} \) și \( b = 11 \). Înmulțim fracția cu numărul natural: \[ a \cdot b = \frac{3}{5} \cdot 11 = \frac{3 \cdot 11}{5} = \frac{33}{5} \] Scoatem întregii din fracție împărțind \( 33 \) la \( 5 \): \[ \frac{33}{5} = 6\frac{3}{5} \]

Coloana 4

Avem \( a = \frac{3}{4} \) și \( b = 6 \). Înmulțim și simplificăm prin \( 2 \): \[ a \cdot b = \frac{3}{4} \cdot 6 = \frac{3}{\cancel{4}_2} \cdot \cancel{6}^3 = \frac{3 \cdot 3}{2} = \frac{9}{2} \] Scoatem întregii din fracție împărțind \( 9 \) la \( 2 \): \[ \frac{9}{2} = 4\frac{1}{2} \]

Coloana 5

Avem \( a = \frac{5}{21} \) și \( b = 14 \). Înmulțim și simplificăm prin \( 7 \): \[ a \cdot b = \frac{5}{21} \cdot 14 = \frac{5}{\cancel{21}_3} \cdot \cancel{14}^2 = \frac{5 \cdot 2}{3} = \frac{10}{3} \] Scoatem întregii din fracție împărțind \( 10 \) la \( 3 \): \[ \frac{10}{3} = 3\frac{1}{3} \]

Coloana 6

Avem \( a = 6 \) și \( b = \frac{5}{3} \). Înmulțim și simplificăm prin \( 3 \): \[ a \cdot b = 6 \cdot \frac{5}{3} = \cancel{6}^2 \cdot \frac{5}{\cancel{3}_1} = 2 \cdot 5 = 10 \]

Coloana 7

Avem \( a = 3\frac{2}{5} \) și \( b = 6 \). Introducem întregii în fracție: \[ 3\frac{2}{5} = \frac{3 \cdot 5 + 2}{5} = \frac{17}{5} \] Efectuăm înmulțirea: \[ a \cdot b = \frac{17}{5} \cdot 6 = \frac{102}{5} \] Scoatem întregii din fracție: \[ \frac{102}{5} = 20\frac{2}{5} \]

Coloana 8

Avem \( a = 11 \) și \( b = 2\frac{3}{22} \). Introducem întregii în fracție: \[ 2\frac{3}{22} = \frac{2 \cdot 22 + 3}{22} = \frac{44 + 3}{22} = \frac{47}{22} \] Înmulțim și simplificăm prin \( 11 \): \[ a \cdot b = 11 \cdot \frac{47}{22} = \cancel{11}^1 \cdot \frac{47}{\cancel{22}_2} = \frac{47}{2} \] Scoatem întregii din fracție: \[ \frac{47}{2} = 23\frac{1}{2} \]

Coloana 9

Avem \( a = 8 \) și \( b = 2\frac{3}{16} \). Introducem întregii în fracție: \[ 2\frac{3}{16} = \frac{2 \cdot 16 + 3}{16} = \frac{32 + 3}{16} = \frac{35}{16} \] Înmulțim și simplificăm prin \( 8 \): \[ a \cdot b = 8 \cdot \frac{35}{16} = \cancel{8}^1 \cdot \frac{35}{\cancel{16}_2} = \frac{35}{2} \] Scoatem întregii din fracție: \[ \frac{35}{2} = 17\frac{1}{2} \] Completăm tabelul cu valorile obținute: \[ \begin{array}{|c|c|c|c|c|c|c|c|c|c|} \hline a & 2 & 4 & \frac{3}{5} & \frac{3}{4} & \frac{5}{21} & 6 & 3 \frac{2}{5} & 11 & 8 \\ \hline b & \frac{3}{5} & \frac{1}{7} & 11 & 6 & 14 & \frac{5}{3} & 6 & 2 \frac{3}{22} & 2 \frac{3}{16} \\ \hline a \cdot b & 1\frac{1}{5} & \frac{4}{7} & 6\frac{3}{5} & 4\frac{1}{2} & 3\frac{1}{3} & 10 & 20\frac{2}{5} & 23\frac{1}{2} & 17\frac{1}{2} \\ \hline \end{array} \]

Rezolvare scurtă:

\[ \begin{array}{|c|c|c|c|c|c|c|c|c|c|} \hline a & 2 & 4 & \frac{3}{5} & \frac{3}{4} & \frac{5}{21} & 6 & 3 \frac{2}{5} & 11 & 8 \\ \hline b & \frac{3}{5} & \frac{1}{7} & 11 & 6 & 14 & \frac{5}{3} & 6 & 2 \frac{3}{22} & 2 \frac{3}{16} \\ \hline a \cdot b & 1\frac{1}{5} & \frac{4}{7} & 6\frac{3}{5} & 4\frac{1}{2} & 3\frac{1}{3} & 10 & 20\frac{2}{5} & 23\frac{1}{2} & 17\frac{1}{2} \\ \hline \end{array} \]

Cele mai importante aspecte ale lecției

  • Înmulțirea unui număr natural cu o fracție: Se înmulțește doar numărătorul cu numărul respectiv: \( n \cdot \frac{a}{b} = \frac{n \cdot a}{b} \). Exemplu: \( 3 \cdot \frac{5}{16} = \frac{15}{16} \).
  • Înmulțirea a două fracții ordinare: Se înmulțesc numărătorii între ei și numitorii între ei: \( \frac{a}{b} \cdot \frac{c}{d} = \frac{a \cdot c}{b \cdot d} \). Exemplu: \( \frac{2}{3} \cdot \frac{5}{7} = \frac{10}{21} \).
  • Simplificarea: Pentru a calcula mai ușor, se recomandă simplificarea termenilor înainte de a efectua înmulțirile.
  • Proprietăți: Înmulțirea fracțiilor este comutativă, asociativă, distributivă față de adunare/scădere și are pe \( 1 \) ca element neutru.
  • Fracții diadice: Sunt fracțiile cu numitorul putere a lui 2 (ex. \( \frac{3}{4} \)). Suma, diferența și produsul lor sunt tot fracții diadice.
Prin înmulțirea unui număr natural cu o fracție ordinară se înțelege adunarea repetată a acelei fracții de un număr de ori egal cu numărul natural dat. Rezultatul este o fracție în care numărătorul se înmulțește cu numărul natural, iar numitorul rămâne neschimbat.
\[ n \cdot \frac{a}{b} = \frac{n \cdot a}{b} \] pentru orice numere naturale \( a, n \) și \( b \neq 0 \)
  • \( 7 \cdot \frac{3}{25} = \frac{7 \cdot 3}{25} = \frac{21}{25} \)
  • \( \frac{4}{15} \cdot 5 = \frac{4 \cdot 5}{15} = \frac{20}{15} = \frac{4}{3} \) (după simplificare prin \( 5 \))
Calculați produsul: \( 8 \cdot \frac{5}{12} \).
\( 8 \cdot \frac{5}{12} = \frac{8 \cdot 5}{12} = \frac{40}{12} \)
Simplificăm fracția obținută prin \( 4 \):
\( \frac{40}{12}^{(4} = \frac{10}{3} \)
Produsul a două fracții ordinare este o fracție care are ca numărător produsul numărătorilor celor două fracții, iar ca numitor produsul numitorilor acestora.
\[ \frac{a}{b} \cdot \frac{c}{d} = \frac{a \cdot c}{b \cdot d} \] pentru orice numere naturale \( a, b, c, d \), unde \( b \neq 0 \) și \( d \neq 0 \)
Reprezentare grafică: Pentru a vizualiza înmulțirea \( \frac{3}{4} \cdot \frac{1}{2} \), putem folosi un model geometric:
Un dreptunghi împărțit în 4 coloane verticale egale, dintre care primele 3 coloane sunt colorate în albastru, reprezentând fracția 3/4. Același dreptunghi împărțit suplimentar printr-o linie orizontală mediană în două rânduri egale. Primele 3 celule din rândul de sus (care fac parte din zona albastră inițială) sunt colorate în verde, reprezentând o jumătate (1/2) din cele 3/4 colorate anterior, adică fracția 3/8 din întreg.

Din totalul de \( 4 \cdot 2 = 8 \) părți egale obținute, zona dublu colorată reprezintă \( 3 \cdot 1 = 3 \) părți, adică \( \frac{3}{8} \).

Pentru a simplifica calculele, se recomandă efectuarea simplificărilor (atât pe verticală, cât și pe diagonală) înainte de a înmulți numărătorii și numitorii între ei.
Calculul produsului \( \frac{9}{8} \cdot \frac{4}{15} \) prin simplificare prealabilă:
Simplificăm pe diagonală \( 9 \) și \( 15 \) prin \( 3 \), iar \( 4 \) și \( 8 \) prin \( 4 \): \[ \frac{\not{9}^{3}}{\not{8}_{2}} \cdot \frac{\not{4}^{1}}{\not{15}_{5}} = \frac{3 \cdot 1}{2 \cdot 5} = \frac{3}{10} \]
Calculați produsul: \( \frac{14}{25} \cdot \frac{10}{21} \).
Simplificăm pe diagonală înainte de înmulțire:
  • \( 14 \) și \( 21 \) se simplifică prin \( 7 \) (rămân \( 2 \) și \( 3 \))
  • \( 10 \) și \( 25 \) se simplifică prin \( 5 \) (rămân \( 2 \) și \( 5 \))
Obținem: \[ \frac{14}{25} \cdot \frac{10}{21} = \frac{2}{5} \cdot \frac{2}{3} = \frac{2 \cdot 2}{5 \cdot 3} = \frac{4}{15} \]
Înmulțirea fracțiilor ordinare moștenește toate proprietățile înmulțirii numerelor naturale:
  • Comutativitatea: Ordinea factorilor nu modifică produsul. \[ \frac{a}{b} \cdot \frac{c}{d} = \frac{c}{d} \cdot \frac{a}{b} \]
  • Asociativitatea: Gruparea factorilor nu modifică rezultatul. \[ \left( \frac{a}{b} \cdot \frac{c}{d} \right) \cdot \frac{e}{f} = \frac{a}{b} \cdot \left( \frac{c}{d} \cdot \frac{e}{f} \right) \]
  • Numărul 1 este element neutru: Orice fracție înmulțită cu 1 rămâne neschimbată. \[ \frac{a}{b} \cdot 1 = 1 \cdot \frac{a}{b} = \frac{a}{b} \]
  • Distributivitatea față de adunare și scădere: \[ \frac{e}{f} \cdot \left( \frac{a}{b} + \frac{c}{d} \right) = \frac{e}{f} \cdot \frac{a}{b} + \frac{e}{f} \cdot \frac{c}{d} \] \[ \frac{e}{f} \cdot \left( \frac{a}{b} - \frac{c}{d} \right) = \frac{e}{f} \cdot \frac{a}{b} - \frac{e}{f} \cdot \frac{c}{d} \]
Calcul rapid folosind distributivitatea (factor comun): \[ \frac{5}{9} \cdot \frac{3}{7} + \frac{5}{9} \cdot \frac{4}{7} = \frac{5}{9} \cdot \left( \frac{3}{7} + \frac{4}{7} \right) = \frac{5}{9} \cdot \frac{7}{7} = \frac{5}{9} \cdot 1 = \frac{5}{9} \]
O fracție diadică este o fracție ordinară al cărei numitor este o putere a lui 2.
\[ \frac{a}{2^n} \] unde \( a, n \) sunt numere naturale
Suma, diferența și produsul oricăror două fracții diadice va genera întotdeauna o altă fracție diadică.
Fracțiile \( \frac{5}{4} \) (deoarece \( 4 = 2^2 \)) și \( \frac{3}{2} \) (deoarece \( 2 = 2^1 \)) sunt fracții diadice.
Produsul lor: \[ \frac{5}{4} \cdot \frac{3}{2} = \frac{15}{8} \] Rezultatul \( \frac{15}{8} \) este o fracție diadică deoarece numitorul său, 8, este o putere a lui 2 (\( 8 = 2^3 \)).

Probleme practice

Problema 1 (Dificultate: Ușoară)
Efectuați înmulțirea: \( 12 \cdot \frac{5}{36} \). Scrieți rezultatul sub formă de fracție ireductibilă.
Aplicăm regula de înmulțire a unui număr natural cu o fracție: \[ 12 \cdot \frac{5}{36} = \frac{12 \cdot 5}{36} = \frac{60}{36} \] Simplificăm fracția prin cel mai mare divizor comun al numerelor 60 și 36, care este 12: \[ \frac{60}{36}^{(12} = \frac{5}{3} \] Răspuns: \( \frac{5}{3} \)
Problema 2 (Dificultate: Medie)
Calculați produsul fracțiilor: \( \frac{18}{35} \cdot \frac{14}{27} \), efectuând simplificările corespunzătoare înainte de înmulțire.
Identificăm simplificările pe diagonală:
  • Numerele \( 18 \) și \( 27 \) se divid cu \( 9 \) (rămân \( 2 \) și respectiv \( 3 \)).
  • Numerele \( 14 \) și \( 35 \) se divid cu \( 7 \) (rămân \( 2 \) și respectiv \( 5 \)).
Efectuăm calculul cu noile valori: \[ \frac{\not{18}^{2}}{\not{35}_{5}} \cdot \frac{\not{14}^{2}}{\not{27}_{3}} = \frac{2 \cdot 2}{5 \cdot 3} = \frac{4}{15} \] Fracția \( \frac{4}{15} \) este ireductibilă.
Răspuns: \( \frac{4}{15} \)
Problema 3 (Dificultate: Dificilă)
Calculați rezultatul expresiei de mai jos folosind proprietatea de distributivitate a înmulțirii: \[ \frac{8}{13} \cdot \frac{19}{11} - \frac{8}{13} \cdot \frac{8}{11} \]
Observăm că factorul \( \frac{8}{13} \) este comun în ambele produse. Îl dăm factor comun (aplicăm distributivitatea înmulțirii față de scădere): \[ \frac{8}{13} \cdot \left( \frac{19}{11} - \frac{8}{11} \right) \] Efectuăm mai întâi scăderea din paranteză: \[ \frac{19}{11} - \frac{8}{11} = \frac{19 - 8}{11} = \frac{11}{11} = 1 \] Acum înmulțim rezultatul cu factorul comun: \[ \frac{8}{13} \cdot 1 = \frac{8}{13} \] Răspuns: \( \frac{8}{13} \)

Învinge
tema cu mii de rezolvări, lecții și teste:

Matematică

17837 rezolvări

816 lecții și teste

Иконка Математика

Fizică

1095 rezolvări

352 lecții și teste

Иконка Физика

Chimie

199 rezolvări

196 lecții și teste

Иконка Химия

PhotoSolveAI

Rezolvarea problemelor din poză

Иконка Литература

PhotoSolveAI – un instrument puternic pentru rezolvarea problemelor din poză/text
Află mai multe