Copertă

50. Cel Mai Mare Divizor Comun A Două Numere. Fracții Ireductibile

Rezolvări + Recapitulare

Alege rezolvarea exercițiului:

Exercițiul 1 (gratuit)

Rezolvare scurtă

a)
\[ \overset{3)}{\frac{1}{2}} = \frac{1 \cdot 3}{2 \cdot 3} = \frac{3}{6} \]
b)
\[ \overset{3)}{\frac{3}{7}} = \frac{3 \cdot 3}{7 \cdot 3} = \frac{9}{21} \]
c)
\[ \overset{3)}{\frac{5}{4}} = \frac{5 \cdot 3}{4 \cdot 3} = \frac{15}{12} \]
d)
\[ \overset{3)}{\frac{12}{15}} = \frac{12 \cdot 3}{15 \cdot 3} = \frac{36}{45} \]
e)
\[ 2 \frac{2}{3} = \frac{2 \cdot 3 + 2}{3} = \frac{8}{3} \]\[ \overset{3)}{\frac{8}{3}} = \frac{8 \cdot 3}{3 \cdot 3} = \frac{24}{9} \]

Rezolvare detaliată

Amplificarea unei fracții

Amplificarea unei fracții cu un număr natural nenul înseamnă înmulțirea atât a numărătorului, cât și a numitorului cu acel număr: \[ \overset{k)}{\frac{a}{b}} = \frac{a \cdot k}{b \cdot k} \] În cazul nostru, factorul de amplificare este \( k = 3 \).

a) \( \frac{1}{2} \)

Înmulțim numărătorul \( 1 \) și numitorul \( 2 \) cu \( 3 \): \[ \overset{3)}{\frac{1}{2}} = \frac{1 \cdot 3}{2 \cdot 3} = \frac{3}{6} \]

b) \( \frac{3}{7} \)

Înmulțim numărătorul \( 3 \) și numitorul \( 7 \) cu \( 3 \): \[ \overset{3)}{\frac{3}{7}} = \frac{3 \cdot 3}{7 \cdot 3} = \frac{9}{21} \]

c) \( \frac{5}{4} \)

Înmulțim numărătorul \( 5 \) și numitorul \( 4 \) cu \( 3 \): \[ \overset{3)}{\frac{5}{4}} = \frac{5 \cdot 3}{4 \cdot 3} = \frac{15}{12} \]

d) \( \frac{12}{15} \)

Înmulțim numărătorul \( 12 \) și numitorul \( 15 \) cu \( 3 \): \[ \overset{3)}{\frac{12}{15}} = \frac{12 \cdot 3}{15 \cdot 3} = \frac{36}{45} \]

e) \( 2 \frac{2}{3} \)

Mai întâi transformăm fracția mixtă în fracție ordinară, introducând întregii în fracție: \[ 2 \frac{2}{3} = \frac{2 \cdot 3 + 2}{3} = \frac{8}{3} \] Apoi amplificăm fracția obținută cu \( 3 \): \[ \overset{3)}{\frac{8}{3}} = \frac{8 \cdot 3}{3 \cdot 3} = \frac{24}{9} \]

Rezolvare scurtă:

a)

\[ \overset{3)}{\frac{1}{2}} = \frac{1 \cdot 3}{2 \cdot 3} = \frac{3}{6} \]

b)

\[ \overset{3)}{\frac{3}{7}} = \frac{3 \cdot 3}{7 \cdot 3} = \frac{9}{21} \]

c)

\[ \overset{3)}{\frac{5}{4}} = \frac{5 \cdot 3}{4 \cdot 3} = \frac{15}{12} \]

d)

\[ \overset{3)}{\frac{12}{15}} = \frac{12 \cdot 3}{15 \cdot 3} = \frac{36}{45} \]

e)

\[ 2 \frac{2}{3} = \frac{8}{3} = \overset{3)}{\frac{8}{3}} = \frac{8 \cdot 3}{3 \cdot 3} = \frac{24}{9} \]

Cele mai importante aspecte ale lecției

Cel mai mare divizor comun (c.m.m.d.c.) a două numere naturale \( a \) și \( b \), scris sub forma \( (a, b) \), reprezintă cel mai mare număr natural care divide simultan ambele numere.
Exemplu: Divizorii comuni ai numerelor \( 12 \) și \( 16 \) sunt \( 1, 2 \) și \( 4 \). Deci, cel mai mare divizor comun este \( (12, 16) = 4 \).

Numere prime între ele: Două numere sunt prime între ele dacă singurul lor divizor comun este \( 1 \).
Exemplu: \( (8, 9) = 1 \), deci \( 8 \) și \( 9 \) sunt prime între ele.
Numărul natural \( d \) (\( d \neq 0 \)) este cel mai mare divizor comun al numerelor naturale nenule \( a \) și \( b \), dacă \( d \) divide ambele numere (\( d | a \) și \( d | b \)) și \( d \) se divide cu orice alt divizor comun al numerelor \( a \) și \( b \).
\( d = (a, b) \)  sau  \( d = \text{c.m.m.d.c.}(a, b) \)
Cel mai mare divizor comun al numerelor 12 și 18 este 6. Scriem: \( (12, 18) = 6 \).

Pentru a găsi cel mai mare divizor comun a două numere naturale nenule, urmăm acești pași:

Scriem divizorii fiecărui număr natural în parte.
Identificăm și alegem divizorii comuni ai celor două numere.
Găsim cel mai mare dintre acești divizori comuni.
Să aflăm cel mai mare divizor comun al numerelor 18 și 27:
  • Divizorii lui 18: \( D_{18} = \{1, 2, 3, 6, 9, 18\} \)
  • Divizorii lui 27: \( D_{27} = \{1, 3, 9, 27\} \)
Tabelul divizorilor cu evidențierea valorilor comune:
\( D_{18} \) 1 2 3 6 9 18
\( D_{27} \) 1 - 3 - 9 27
Divizorii comuni sunt 1, 3 și 9. Cel mai mare dintre ei este 9, deci \( (18, 27) = 9 \).
Dacă cel mai mare divizor comun a două sau mai multor numere naturale este 1, atunci numerele se numesc prime între ele.
Numerele 3 și 7 au singurul divizor comun pe 1, deci \( (3, 7) = 1 \). Numerele 3 și 7 sunt prime între ele.

Probleme practice

Ușoară: Determinați cel mai mare divizor comun al numerelor 12 și 15.

Urmăm pașii algoritmului:

  1. Divizorii lui 12 sunt: \( D_{12} = \{1, 2, 3, 4, 6, 12\} \).
  2. Divizorii lui 15 sunt: \( D_{15} = \{1, 3, 5, 15\} \).
  3. Divizorii comuni sunt: \( \{1, 3\} \).

Cel mai mare divizor comun este 3. Prin urmare, \( (12, 15) = 3 \).

Medie: Stabiliți dacă numerele 24 și 25 sunt prime între ele.

Determinăm divizorii fiecărui număr:

  • \( D_{24} = \{1, 2, 3, 4, 6, 8, 12, 24\} \)
  • \( D_{25} = \{1, 5, 25\} \)

Singurul divizor comun al numerelor 24 și 25 este 1. Deoarece \( (24, 25) = 1 \), numerele 24 și 25 sunt prime între ele.

Dificilă: Determinați toate perechile de numere naturale \( (a, b) \) care au suma 49 și cel mai mare divizor comun al lor este egal cu 7.

Știm că \( a + b = 49 \) și \( (a, b) = 7 \).

Deoarece cel mai mare divizor comun este 7, numerele pot fi scrise ca:

\[ a = 7 \cdot x \] \[ b = 7 \cdot y \]

unde \( x \) și \( y \) sunt numere naturale prime între ele, adică \( (x, y) = 1 \).

Înlocuim în relația sumei:

\[ 7x + 7y = 49 \implies 7(x + y) = 49 \implies x + y = 7 \]

Căutăm numerele naturale \( x \) și \( y \) care adunate dau 7 și sunt prime între ele:

  • \( x = 1, y = 6 \implies a = 7 \cdot 1 = 7 \) și \( b = 7 \cdot 6 = 42 \)
  • \( x = 2, y = 5 \implies a = 7 \cdot 2 = 14 \) și \( b = 7 \cdot 5 = 35 \)
  • \( x = 3, y = 4 \implies a = 7 \cdot 3 = 21 \) și \( b = 7 \cdot 4 = 28 \)
  • \( x = 4, y = 3 \implies a = 28 \) și \( b = 21 \)
  • \( x = 5, y = 2 \implies a = 35 \) și \( b = 14 \)
  • \( x = 6, y = 1 \implies a = 42 \) și \( b = 7 \)

Răspuns: Perechile căutate \( (a, b) \) sunt: \( (7, 42), (14, 35), (21, 28), (28, 21), (35, 14), (42, 7) \).

Învinge
tema cu mii de rezolvări, lecții și teste:

Matematică

17837 rezolvări

816 lecții și teste

Иконка Математика

Fizică

1095 rezolvări

352 lecții și teste

Иконка Физика

Chimie

199 rezolvări

196 lecții și teste

Иконка Химия

PhotoSolveAI

Rezolvarea problemelor din poză

Иконка Литература

PhotoSolveAI – un instrument puternic pentru rezolvarea problemelor din poză/text
Află mai multe