Cele mai importante aspecte ale lecției
Ordinea operațiilor: Puteri \( \rightarrow \) Înmulțiri și Împărțiri \( \rightarrow \) Adunări și Scăderi (de la stânga la dreapta).
Ordinea parantezelor: Se calculează întâi parantezele rotunde \( ( ) \), apoi cele pătrate \( [ ] \) devin rotunde, iar acoladele \( \{ \} \) devin pătrate.
Exemplu rapid: \[ \{5 + 2 \cdot [10 - (3 + 1^5)]\} = \{5 + 2 \cdot [10 - 4]\} = (5 + 2 \cdot 6) = 5 + 12 = 17 \]
Ordinea parantezelor: Se calculează întâi parantezele rotunde \( ( ) \), apoi cele pătrate \( [ ] \) devin rotunde, iar acoladele \( \{ \} \) devin pătrate.
Exemplu rapid: \[ \{5 + 2 \cdot [10 - (3 + 1^5)]\} = \{5 + 2 \cdot [10 - 4]\} = (5 + 2 \cdot 6) = 5 + 12 = 17 \]
În exercițiile fără paranteze, operațiile matematice se efectuează în funcție de ordinul lor de prioritate, de la stânga la dreapta.
Ridicarea la putere (\( a^n \)) se efectuează prima.
Înmulțirea (\( \cdot \)) și împărțirea (\( : \)) se efectuează în ordinea în care sunt scrise, de la stânga la dreapta.
Adunarea (\( + \)) și scăderea (\( - \)) se efectuează ultimele, în ordinea în care sunt scrise, de la stânga la dreapta.
Calculează: \( 13^2 - 2^3 \cdot 15 + 7 \cdot 6 : 3 \)
Rezolvare:
1. Mai întâi efectuăm ridicările la putere (ordinul III): \[ 13^2 = 169 \] \[ 2^3 = 8 \] Exercițiul devine: \( 169 - 8 \cdot 15 + 7 \cdot 6 : 3 \)
2. Efectuăm înmulțirile și împărțirile, de la stânga la dreapta (ordinul II): \[ 8 \cdot 15 = 120 \] \[ 7 \cdot 6 : 3 = 42 : 3 = 14 \] Exercițiul devine: \( 169 - 120 + 14 \)
3. Efectuăm adunările și scăderile, de la stânga la dreapta (ordinul I): \[ 169 - 120 + 14 = 49 + 14 = 63 \]
Rezolvare:
1. Mai întâi efectuăm ridicările la putere (ordinul III): \[ 13^2 = 169 \] \[ 2^3 = 8 \] Exercițiul devine: \( 169 - 8 \cdot 15 + 7 \cdot 6 : 3 \)
2. Efectuăm înmulțirile și împărțirile, de la stânga la dreapta (ordinul II): \[ 8 \cdot 15 = 120 \] \[ 7 \cdot 6 : 3 = 42 : 3 = 14 \] Exercițiul devine: \( 169 - 120 + 14 \)
3. Efectuăm adunările și scăderile, de la stânga la dreapta (ordinul I): \[ 169 - 120 + 14 = 49 + 14 = 63 \]
Calculează: \( 5^2 - 3 \cdot 4 + 12 : 2 \)
Efectuăm operațiile în ordine:
1. Ridicarea la putere: \( 5^2 = 25 \)
2. Înmulțirea și împărțirea: \( 3 \cdot 4 = 12 \) și \( 12 : 2 = 6 \)
3. Adunarea și scăderea: \( 25 - 12 + 6 = 13 + 6 = 19 \)
1. Ridicarea la putere: \( 5^2 = 25 \)
2. Înmulțirea și împărțirea: \( 3 \cdot 4 = 12 \) și \( 12 : 2 = 6 \)
3. Adunarea și scăderea: \( 25 - 12 + 6 = 13 + 6 = 19 \)
Dacă un exercițiu conține paranteze, ordinea efectuării operațiilor este dictată de tipul parantezelor!
Regula de eliminare a parantezelor:
- Se efectuează mai întâi calculele din interiorul parantezelor rotunde \( ( ) \).
- După finalizarea calculelor dintr-o paranteză rotundă, paranteza rotundă dispare.
- Parantezele pătrate \( [ ] \) se transformă în paranteze rotunde \( ( ) \).
- Acoladele \( \{ \} \) se transformă în paranteze pătrate \( [ ] \).
- Procedeul se repetă până la eliminarea tuturor parantezelor.
Calculează: \( [10^3 : (564 - 8^3 : 8) + 7]^3 \)
Rezolvare:
1. Lucrăm în paranteza rotundă, respectând ordinea operațiilor (întâi ridicarea la putere, apoi împărțirea, apoi scăderea): \[ 564 - 8^3 : 8 = 564 - 512 : 8 = 564 - 64 = 500 \]
2. Înlocuim rezultatul în expresie. Paranteza pătrată devine rotundă: \[ [10^3 : 500 + 7]^3 = (1 \ 000 : 500 + 7)^3 \]
3. Efectuăm operațiile din noua paranteză rotundă (întâi împărțirea, apoi adunarea): \[ (2 + 7)^3 = 9^3 \]
4. Efectuăm ultima operație (ridicarea la putere): \[ 9^3 = 729 \]
Rezolvare:
1. Lucrăm în paranteza rotundă, respectând ordinea operațiilor (întâi ridicarea la putere, apoi împărțirea, apoi scăderea): \[ 564 - 8^3 : 8 = 564 - 512 : 8 = 564 - 64 = 500 \]
2. Înlocuim rezultatul în expresie. Paranteza pătrată devine rotundă: \[ [10^3 : 500 + 7]^3 = (1 \ 000 : 500 + 7)^3 \]
3. Efectuăm operațiile din noua paranteză rotundă (întâi împărțirea, apoi adunarea): \[ (2 + 7)^3 = 9^3 \]
4. Efectuăm ultima operație (ridicarea la putere): \[ 9^3 = 729 \]
Efectuează: \( 2 \cdot [15 - (3 + 2^2)] \)
1. Calculăm paranteza rotundă: \( 3 + 2^2 = 3 + 4 = 7 \)
2. Înlocuim rezultatul, iar paranteza pătrată devine paranteză rotundă: \( 2 \cdot (15 - 7) \)
3. Efectuăm calculul din noua paranteză: \( 15 - 7 = 8 \)
4. Efectuăm înmulțirea finală: \( 2 \cdot 8 = 16 \)
2. Înlocuim rezultatul, iar paranteza pătrată devine paranteză rotundă: \( 2 \cdot (15 - 7) \)
3. Efectuăm calculul din noua paranteză: \( 15 - 7 = 8 \)
4. Efectuăm înmulțirea finală: \( 2 \cdot 8 = 16 \)
Probleme practice
Problemă (Dificultate: Ușoară)
Calculează valoarea expresiei: \( 30 - 3 \cdot 4 + 16 : 2^3 \)
Calculează valoarea expresiei: \( 30 - 3 \cdot 4 + 16 : 2^3 \)
Urmăm ordinea operațiilor:
1. Ridicarea la putere: \( 2^3 = 8 \)
2. Înmulțirea și împărțirea: \( 3 \cdot 4 = 12 \) și \( 16 : 8 = 2 \)
3. Adunarea și scăderea (de la stânga la dreapta): \( 30 - 12 + 2 = 18 + 2 = 20 \)
Răspuns: 20
1. Ridicarea la putere: \( 2^3 = 8 \)
2. Înmulțirea și împărțirea: \( 3 \cdot 4 = 12 \) și \( 16 : 8 = 2 \)
3. Adunarea și scăderea (de la stânga la dreapta): \( 30 - 12 + 2 = 18 + 2 = 20 \)
Răspuns: 20
Problemă (Dificultate: Medie)
Află valoarea numărului natural \( x \) din următoarea egalitate: \[ 25 - 3 \cdot (2x + 1) = 10 \]
Află valoarea numărului natural \( x \) din următoarea egalitate: \[ 25 - 3 \cdot (2x + 1) = 10 \]
Tratăm paranteza rotundă ca pe o singură necunoscută:
1. Determinăm termenul \( 3 \cdot (2x + 1) \): \[ 3 \cdot (2x + 1) = 25 - 10 \] \[ 3 \cdot (2x + 1) = 15 \]
2. Determinăm valoarea parantezei \( 2x + 1 \): \[ 2x + 1 = 15 : 3 \] \[ 2x + 1 = 5 \]
3. Determinăm termenul \( 2x \): \[ 2x = 5 - 1 \] \[ 2x = 4 \]
4. Îl aflăm pe \( x \): \[ x = 4 : 2 \] \[ x = 2 \]
Răspuns: \( x = 2 \)
1. Determinăm termenul \( 3 \cdot (2x + 1) \): \[ 3 \cdot (2x + 1) = 25 - 10 \] \[ 3 \cdot (2x + 1) = 15 \]
2. Determinăm valoarea parantezei \( 2x + 1 \): \[ 2x + 1 = 15 : 3 \] \[ 2x + 1 = 5 \]
3. Determinăm termenul \( 2x \): \[ 2x = 5 - 1 \] \[ 2x = 4 \]
4. Îl aflăm pe \( x \): \[ x = 4 : 2 \] \[ x = 2 \]
Răspuns: \( x = 2 \)
Problemă (Dificultate: Dificilă)
Calculează rezultatul următorului exercițiu: \[ [ (11 - 0^{2023}) \cdot (3^3 - 3^2) + 1^{2025} ] \cdot (3^2 - 2^3) - 3^2 \cdot 2 \]
Calculează rezultatul următorului exercițiu: \[ [ (11 - 0^{2023}) \cdot (3^3 - 3^2) + 1^{2025} ] \cdot (3^2 - 2^3) - 3^2 \cdot 2 \]
Rezolvăm pe rând componentele, respectând prioritățile:
1. Calculăm parantezele rotunde și puterile din prima parte:
\( 0^{2023} = 0 \Rightarrow 11 - 0 = 11 \)
\( 3^3 - 3^2 = 27 - 9 = 18 \)
\( 1^{2025} = 1 \)
2. Înlocuim în paranteza pătrată, care devine rotundă:
\( (11 \cdot 18 + 1) = (198 + 1) = 199 \)
3. Calculăm a doua paranteză rotundă:
\( 3^2 - 2^3 = 9 - 8 = 1 \)
4. Înlocuim rezultatele obținute în expresia inițială:
\[ 199 \cdot 1 - 3^2 \cdot 2 \]
5. Efectuăm ridicarea la putere și înmulțirea:
\( 3^2 \cdot 2 = 9 \cdot 2 = 18 \)
6. Efectuăm scăderea finală:
\[ 199 - 18 = 181 \]
Răspuns: 181
1. Calculăm parantezele rotunde și puterile din prima parte:
\( 0^{2023} = 0 \Rightarrow 11 - 0 = 11 \)
\( 3^3 - 3^2 = 27 - 9 = 18 \)
\( 1^{2025} = 1 \)
2. Înlocuim în paranteza pătrată, care devine rotundă:
\( (11 \cdot 18 + 1) = (198 + 1) = 199 \)
3. Calculăm a doua paranteză rotundă:
\( 3^2 - 2^3 = 9 - 8 = 1 \)
4. Înlocuim rezultatele obținute în expresia inițială:
\[ 199 \cdot 1 - 3^2 \cdot 2 \]
5. Efectuăm ridicarea la putere și înmulțirea:
\( 3^2 \cdot 2 = 9 \cdot 2 = 18 \)
6. Efectuăm scăderea finală:
\[ 199 - 18 = 181 \]
Răspuns: 181
