76. Număr rațional. Transformarea unei fracții zecimale periodice în fracție ordinară

a) \( 0,(3) \)

Pasul 1: Aplicarea regulii de transformare

Pentru o fracție periodică simplă cu partea întreagă nulă, scriem la numărător perioada, iar la numitor atâtea cifre de \( 9 \) câte cifre are perioada: \[ 0,(3) = \frac{3}{9} \]

Pasul 2: Simplificarea fracției

Simplificăm fracția prin \( 3 \): \[ \frac{3}{9}^{(3} = \frac{\cancel{3}^1}{\cancel{9}_3} = \frac{1}{3} \]

b) \( 0,(14) \)

Pasul 1: Aplicarea regulii de transformare

Perioada are două cifre, deci la numitor vom scrie \( 99 \): \[ 0,(14) = \frac{14}{99} \] Fracția este ireductibilă, deoarece \( 14 = 2 \cdot 7 \), iar \( 99 = 3^2 \cdot 11 \) nu au factori primi comuni.

c) \( 2,(5) \)

Pasul 1: Aplicarea regulii de transformare

Pentru o fracție periodică simplă cu parte întreagă nenulă, scriem la numărător diferența dintre numărul format din toate cifrele (fără virgulă) și partea întreagă, iar la numitor atâtea cifre de \( 9 \) câte cifre are perioada: \[ 2,(5) = \frac{25 - 2}{9} = \frac{23}{9} \] Fracția este ireductibilă.

d) \( 15,(12) \)

Pasul 1: Aplicarea regulii de transformare

Scriem diferența dintre întregul număr fără virgulă și partea aflată înaintea perioadei, iar la numitor scriem \( 99 \): \[ 15,(12) = \frac{1512 - 15}{99} = \frac{1497}{99} \]

Pasul 2: Simplificarea fracției

Suma cifrelor numărătorului este \( 1 + 4 + 9 + 7 = 21 \), care se divide cu \( 3 \). Numitorul se divide și el cu \( 3 \). Simplificăm prin \( 3 \): \[ \frac{1497}{99}^{(3} = \frac{\cancel{1497}^{499}}{\cancel{99}_{33}} = \frac{499}{33} \]

e) \( 21,(36) \)

Pasul 1: Aplicarea regulii de transformare

Aplicăm formula de transformare: \[ 21,(36) = \frac{2136 - 21}{99} = \frac{2115}{99} \]

Pasul 2: Simplificarea fracției

Suma cifrelor numărătorului este \( 2 + 1 + 1 + 5 = 9 \), deci se divide cu \( 9 \). Simplificăm fracția prin \( 9 \): \[ \frac{2115}{99}^{(9} = \frac{\cancel{2115}^{235}}{\cancel{99}_{11}} = \frac{235}{11} \]

f) \( 0,2(32) \)

Pasul 1: Aplicarea regulii de transformare

Pentru o fracție periodică mixtă, scriem la numărător numărul de după virgulă fără paranteze minus partea neperiodică, iar la numitor atâtea cifre de \( 9 \) câte cifre are perioada, urmate de atâtea cifre de \( 0 \) câte cifre are partea neperiodică: \[ 0,2(32) = \frac{232 - 2}{990} = \frac{230}{990} \]

Pasul 2: Simplificarea fracției

Simplificăm fracția prin \( 10 \): \[ \frac{230}{990}^{(10} = \frac{\cancel{230}^{23}}{\cancel{990}_{99}} = \frac{23}{99} \]

g) \( 0,54(2) \)

Pasul 1: Aplicarea regulii de transformare

Avem o fracție periodică mixtă cu două zecimale neperiodice și o cifră în perioadă: \[ 0,54(2) = \frac{542 - 54}{900} = \frac{488}{900} \]

Pasul 2: Simplificarea fracției

Numerele sunt divizibile cu \( 4 \): \[ \frac{488}{900}^{(4} = \frac{\cancel{488}^{122}}{\cancel{900}_{225}} = \frac{122}{225} \]

h) \( 0,0(4) \)

Pasul 1: Aplicarea regulii de transformare

Partea neperiodică este formată din cifra \( 0 \), iar perioada are o cifră: \[ 0,0(4) = \frac{4 - 0}{90} = \frac{4}{90} \]

Pasul 2: Simplificarea fracției

Simplificăm prin \( 2 \): \[ \frac{4}{90}^{(2} = \frac{\cancel{4}^2}{\cancel{90}_{45}} = \frac{2}{45} \]

a)

\( 0,(3) = \frac{3}{9} = \frac{1}{3} \)

b)

\( 0,(14) = \frac{14}{99} \)

c)

\( 2,(5) = \frac{25 - 2}{9} = \frac{23}{9} \)

d)

\( 15,(12) = \frac{1512 - 15}{99} = \frac{1497}{99} = \frac{499}{33} \)

e)

\( 21,(36) = \frac{2136 - 21}{99} = \frac{2115}{99} = \frac{235}{11} \)

f)

\( 0,2(32) = \frac{232 - 2}{990} = \frac{230}{990} = \frac{23}{99} \)

g)

\( 0,54(2) = \frac{542 - 54}{900} = \frac{488}{900} = \frac{122}{225} \)

h)

\( 0,0(4) = \frac{4}{90} = \frac{2}{45} \)