Cele mai importante aspecte ale lecției
Ridicarea la putere a unei fracții ordinare:
- Formula generală: \(\left( \frac{a}{b} \right)^n = \frac{a^n}{b^n}\) (se ridică atât numărătorul, cât și numitorul la acea putere).
- Convenții importante: \(\left( \frac{a}{b} \right)^0 = 1\) și \(\left( \frac{a}{b} \right)^1 = \frac{a}{b}\).
- Metodă de calcul: Simplificați întotdeauna fracțiile sau introduceți întregii în fracție înainte de a efectua ridicarea la putere pentru a lucra cu valori mai mici și mai ușor de calculat.
Fie \(\frac{a}{b}\) o fracție ordinară (\(a, b \in \mathbb{N}\), cu \(b \neq 0\)) și \(n\) un număr natural, \(n \geq 2\). Produsul a \(n\) factori egali cu \(\frac{a}{b}\) se numește puterea a n-a a fracției ordinare.
Se notează cu \(\left(\frac{a}{b}\right)^n\).
În scrierea \(\left(\frac{a}{b}\right)^n\), fracția \(\frac{a}{b}\) reprezintă baza puterii, iar \(n\) reprezintă exponentul puterii.
\[ \underbrace{\left( \frac{a}{b} \right)^n = \frac{a}{b} \cdot \frac{a}{b} \cdot \dots \cdot \frac{a}{b}}_{n \text{ factori}} = \frac{a^n}{b^n} \]
Regulă: Pentru a ridica o fracție ordinară la o putere, ridicăm atât numărătorul, cât și numitorul la acea putere.
\[ \left( \frac{1}{3} \right)^2 = \frac{1^2}{3^2} = \frac{1}{9} \]
Prin convenție, pentru orice fracție ordinară \(\frac{a}{b}\) (cu \(b \neq 0\)):
- Orice fracție ridicată la puterea \(0\) este egală cu \(1\): \[ \left( \frac{a}{b} \right)^0 = 1 \]
- Orice fracție ridicată la puterea \(1\) este egală cu ea însăși: \[ \left( \frac{a}{b} \right)^1 = \frac{a}{b} \]
- Simplificarea înainte de ridicarea la putere: Dacă este posibil, simplificați fracția din paranteză înainte de a efectua calculele pentru a lucra cu numere mai mici.
Exemplu: \(\left( \frac{75}{100} \right)^3 = \left( \frac{3}{4} \right)^3 = \frac{3^3}{4^3} = \frac{27}{64}\) - Introducerea întregilor în fracție: În cazul numerelor mixte, acestea trebuie transformate în fracții ordinare înainte de a le ridica la putere.
Exemplu: \(\left( 2\frac{1}{7} \right)^2 = \left( \frac{15}{7} \right)^2 = \frac{15^2}{7^2} = \frac{225}{49} = 4\frac{29}{49}\)
Probleme propuse
Problema 1 (Dificultate: Ușoară): Calculați:
a) \(\left( \frac{2}{5} \right)^3\)
b) \(\left( \frac{4}{7} \right)^2\)
a) \(\left( \frac{2}{5} \right)^3\)
b) \(\left( \frac{4}{7} \right)^2\)
a) \(\left( \frac{2}{5} \right)^3 = \frac{2^3}{5^3} = \frac{8}{125}\)
b) \(\left( \frac{4}{7} \right)^2 = \frac{4^2}{7^2} = \frac{16}{49}\)
b) \(\left( \frac{4}{7} \right)^2 = \frac{4^2}{7^2} = \frac{16}{49}\)
Problema 2 (Dificultate: Medie): Calculați, aplicând simplificarea sau introducerea întregilor în fracție:
a) \(\left( \frac{12}{18} \right)^3\)
b) \(\left( 1\frac{1}{2} \right)^4\)
a) \(\left( \frac{12}{18} \right)^3\)
b) \(\left( 1\frac{1}{2} \right)^4\)
a) Mai întâi simplificăm fracția \(\frac{12}{18}\) prin \(6\) și obținem \(\frac{2}{3}\):
\[ \left( \frac{12}{18} \right)^3 = \left( \frac{2}{3} \right)^3 = \frac{2^3}{3^3} = \frac{8}{27} \]
b) Introducem întregul în fracție: \(1\frac{1}{2} = \frac{1 \cdot 2 + 1}{2} = \frac{3}{2}\): \[ \left( 1\frac{1}{2} \right)^4 = \left( \frac{3}{2} \right)^4 = \frac{3^4}{2^4} = \frac{81}{16} = 5\frac{1}{16} \]
b) Introducem întregul în fracție: \(1\frac{1}{2} = \frac{1 \cdot 2 + 1}{2} = \frac{3}{2}\): \[ \left( 1\frac{1}{2} \right)^4 = \left( \frac{3}{2} \right)^4 = \frac{3^4}{2^4} = \frac{81}{16} = 5\frac{1}{16} \]
Problema 3 (Dificultate: Dificilă): Calculați valoarea următoarei expresii:
\[ E = \left( \frac{15}{30} \right)^3 + \left( \frac{4}{5} \right)^2 \cdot \left( \frac{5}{2} \right)^1 - \left( \frac{13}{19} \right)^0 \]
Calculăm fiecare termen al expresiei:
Răspuns final: \(E = \frac{29}{40}\)
- Simplificăm fracția \(\frac{15}{30}\) prin \(15\) și obținem \(\frac{1}{2}\): \[ \left( \frac{15}{30} \right)^3 = \left( \frac{1}{2} \right)^3 = \frac{1^3}{2^3} = \frac{1}{8} \]
- Efectuăm ridicarea la putere și apoi înmulțirea: \[ \left( \frac{4}{5} \right)^2 \cdot \left( \frac{5}{2} \right)^1 = \frac{16}{25} \cdot \frac{5}{2} \] Simplificăm pe diagonală (16 cu 2 prin 2, și 25 cu 5 prin 5): \[ \frac{16}{25} \cdot \frac{5}{2} = \frac{8}{5} \cdot \frac{1}{1} = \frac{8}{5} \]
- Orice număr nenul la puterea 0 este 1: \[ \left( \frac{13}{19} \right)^0 = 1 \]
Răspuns final: \(E = \frac{29}{40}\)
