IV.4. Numere Prime. Numere Compuse

Pentru a găsi numerele prime \( a \), \( b \) și \( c \) care verifică egalitatea dată, vom analiza paritatea termenilor și vom folosi proprietatea că singurul număr prim par este 2.

Pasul 1: Analiza parității ecuației

Ecuația este: \[ 3 \cdot a + 10 \cdot b + 14 \cdot c = 146 \] Observăm natura fiecărui termen: - \( 10 \cdot b \) este par (orice număr înmulțit cu 10 este par). - \( 14 \cdot c \) este par (orice număr înmulțit cu 14 este par). - Rezultatul \( 146 \) este un număr par. Suma a două numere pare este un număr par, deci \( (10 \cdot b + 14 \cdot c) \) este par. Atunci ecuația devine: \[ 3 \cdot a + \text{par} = \text{par} \Rightarrow 3 \cdot a \text{ trebuie să fie par.} \] Deoarece 3 este impar, pentru ca produsul \( 3 \cdot a \) să fie par, rezultă că \( a \) trebuie să fie un număr par.

Pasul 2: Determinarea valorii lui \( a \)

Știm că \( a \) este un număr prim. Singurul număr prim par este 2. Astfel, avem: \[ a = 2 \]

Pasul 3: Simplificarea ecuației

Înlocuim \( a = 2 \) în ecuația inițială: \[ 3 \cdot 2 + 10 \cdot b + 14 \cdot c = 146 \] \[ 6 + 10 \cdot b + 14 \cdot c = 146 \] Scădem 6 din ambele părți: \[ 10 \cdot b + 14 \cdot c = 146 - 6 \] \[ 10 \cdot b + 14 \cdot c = 140 \] Împărțim întreaga ecuație la 2 pentru a o simplifica: \[ 5 \cdot b + 7 \cdot c = 70 \]

Pasul 4: Analiza noii relații pentru \( b \) și \( c \)

Avem \( 5 \cdot b + 7 \cdot c = 70 \). Deoarece rezultatul \( 70 \) și termenul \( 5 \cdot b \) se termină în 0 sau 5, analizăm posibilitățile: - Observăm că \( 70 \) este divizibil cu 7 și \( 7 \cdot c \) este divizibil cu 7. Rezultă că \( 5 \cdot b \) trebuie să fie divizibil cu 7. Deoarece 5 nu se divide cu 7, rezultă că \( b \) trebuie să fie divizibil cu 7. Singurul număr prim divizibil cu 7 este 7. Dacă \( b = 7 \): \[ 5 \cdot 7 + 7 \cdot c = 70 \] \[ 35 + 7 \cdot c = 70 \] \[ 7 \cdot c = 70 - 35 \] \[ 7 \cdot c = 35 \Rightarrow c = 35 : 7 \Rightarrow c = 5 \] Verificăm dacă \( c = 5 \) este număr prim. Da, 5 este prim.

Pasul 5: Verificarea altor cazuri

Dacă am analiza paritatea în \( 5 \cdot b + 7 \cdot c = 70 \), deoarece 70 este par, \( 5 \cdot b \) și \( 7 \cdot c \) trebuie să aibă aceeași paritate (ambele pare sau ambele impare). - Dacă ambele sunt pare, unul dintre numere ar trebui să fie 2. Dacă \( b = 2 \Rightarrow 10 + 7 \cdot c = 70 \Rightarrow 7 \cdot c = 60 \) (nu se divide). Dacă \( c = 2 \Rightarrow 5 \cdot b + 14 = 70 \Rightarrow 5 \cdot b = 56 \) (nu se divide). Singura soluție rămâne cea în care \( b \) și \( c \) sunt impare, iar singura combinație de numere prime găsită este \( b = 7 \) și \( c = 5 \). Soluția este \( a = 2, b = 7, c = 5 \).

\( 3a + 10b + 14c = 146 \Rightarrow 3a = \text{par} \Rightarrow a=2 \) \( 6 + 10b + 14c = 146 \Rightarrow 10b + 14c = 140 \Rightarrow 5b + 7c = 70 \) \( 5b = 7(10-c) \Rightarrow b \vdots 7 \Rightarrow b=7 \) \( 35 + 7c = 70 \Rightarrow 7c = 35 \Rightarrow c=5 \) \( a=2, b=7, c=5 \)