IV.4. Numere Prime. Numere Compuse

Pentru a găsi numerele prime \( a \) și \( b \) care satisfac egalitatea dată, vom analiza paritatea numerelor implicate, folosind proprietățile numerelor prime învățate.

Pasul 1: Analiza parității sumei

Avem ecuația: \[ a + b = 19 \] Observăm că rezultatul sumei, \( 19 \), este un număr **impar**. Conform regulilor de calcul cu parități, suma a două numere naturale este un număr impar dacă și numai dacă unul dintre numere este **par** și celălalt este **impar**: \[ \text{par} + \text{impar} = \text{impar} \] Prin urmare, unul dintre numerele prime (\( a \) sau \( b \)) trebuie să fie par.

Pasul 2: Identificarea numărului prim par

Din definiția numerelor prime, știm că singurul număr prim care este și par este numărul **2**. Toate celelalte numere prime (\( 3, 5, 7, 11, \dots \)) sunt impare. Așadar, unul dintre numere trebuie să fie \( 2 \). Vom considera, pe rând, două cazuri posibile.

Pasul 3: Cazul 1 - Presupunem că \( a = 2 \)

Înlocuim pe \( a \) cu \( 2 \) în ecuația inițială: \[ 2 + b = 19 \] Pentru a afla valoarea lui \( b \), scădem \( 2 \) din ambele părți: \[ b = 19 - 2 \] \[ b = 17 \] Acum verificăm dacă \( 17 \) este număr prim. Împărțim succesiv la numere prime mici: - \( 17 : 2 = 8 \text{ rest } 1 \) - \( 17 : 3 = 5 \text{ rest } 2 \) - \( 17 : 5 = 3 \text{ rest } 2 \) Deoarece câtul (\( 3 \)) este mai mic decât împărțitorul (\( 5 \)) și nu am găsit divizori, \( 17 \) este număr prim. Deci, o soluție este perechea \( (2, 17) \).

Pasul 4: Cazul 2 - Presupunem că \( b = 2 \)

În mod analog, dacă \( b = 2 \): \[ a + 2 = 19 \] \[ a = 19 - 2 \] \[ a = 17 \] Deoarece \( 17 \) este număr prim, obținem a doua pereche de soluții \( (17, 2) \). În concluzie, numerele prime care verifică egalitatea sunt \( 2 \) și \( 17 \).

\( a, b \in \text{prime} \), \( a + b = 19 \text{ (impar)} \Rightarrow \) unul dintre ele este \( 2 \) (singurul prim par). Dacă \( a = 2 \Rightarrow 2 + b = 19 \Rightarrow b = 19 - 2 = 17 \in \text{prime} \). Dacă \( b = 2 \Rightarrow a + 2 = 19 \Rightarrow a = 19 - 2 = 17 \in \text{prime} \). Numerele sunt \( 2 \) și \( 17 \).