Copertă

IV.4. Numere Prime. Numere Compuse

Rezolvări + Recapitulare

Alege rezolvarea exercițiului:

Exercițiul 8

Rezolvare scurtă

\[ n = 2^{10} \cdot 5^{11} + 1 = 2^{10} \cdot 5^{10} \cdot 5^1 + 1 \] \[ n = 5 \cdot (2 \cdot 5)^{10} + 1 = 5 \cdot 10^{10} + 1 \] \[ n = 50000000000 + 1 = 50000000001 \] \[ S = 5 + 0 + 0 + 0 + 0 + 0 + 0 + 0 + 0 + 0 + 1 = 6 \] \[ S = 6 \Rightarrow 6 \vdots 3 \Rightarrow n \vdots 3 \] Deoarece \( n > 3 \) și \( n \vdots 3 \), rezultă că \( n \) este număr compus.

Rezolvare detaliată

Pentru a demonstra că numărul \( n = 2^{10} \cdot 5^{11} + 1 \) este un număr compus, vom arăta că acesta are cel puțin un divizor propriu (diferit de 1 și de el însuși). Vom utiliza criteriile de divizibilitate învățate, analizând structura numărului prin gruparea puterilor.

Pasul 1: Simplificarea expresiei folosind puterile lui 10

Vom aplica regula de calcul cu puteri \( a^m \cdot b^m = (a \cdot b)^m \). Deoarece exponenții bazelor 2 și 5 sunt diferiți, vom descompune factorul cu exponentul mai mare pentru a evidenția o putere comună: \[ n = 2^{10} \cdot 5^{11} + 1 \] \[ n = 2^{10} \cdot 5^{10} \cdot 5^1 + 1 \] \[ n = (2 \cdot 5)^{10} \cdot 5 + 1 \] \[ n = 5 \cdot 10^{10} + 1 \]

Pasul 2: Scrierea numărului sub formă zecimală

Puterea \( 10^{10} \) reprezintă cifra 1 urmată de 10 zerouri. Înmulțind cu 5, obținem cifra 5 urmată de 10 zerouri. Adunând 1, ultima cifră (a unităților) se modifică din 0 în 1: \[ n = 5\underbrace{000.000.000.0}_{10 \text{ cifre de 0}} + 1 \] \[ n = 5\underbrace{000.000.000}_{9 \text{ cifre de 0}}1 \]

Pasul 3: Calcularea sumei cifrelor numărului

Pentru a verifica divizibilitatea cu 3, calculăm suma cifrelor numărului \( n \): \[ S = 5 + 0 + 0 + 0 + 0 + 0 + 0 + 0 + 0 + 0 + 1 \] \[ S = 5 + 1 = 6 \]

Pasul 4: Aplicarea criteriului de divizibilitate cu 3

Conform criteriului de divizibilitate cu 3, un număr este divizibil cu 3 dacă suma cifrelor sale este un multiplu al lui 3. Deoarece suma cifrelor este \( S = 6 \) și \( 6 = 3 \cdot 2 \), rezultă că \( 6 \vdots 3 \), deci \( n \vdots 3 \).

Pasul 5: Concluzia

Am găsit că numărul \( n \) este divizibil cu 3. Deoarece \( n = 50.000.000.001 \), este evident că \( n > 3 \). Conform definiției din manual, un număr natural care are și alți divizori în afară de 1 și el însuși se numește număr compus. Așadar, \( n \) fiind divizibil cu 3 și mai mare decât 3, este număr compus.

Rezolvare pe scurt:

\[ n = 2^{10} \cdot 5^{11} + 1 = 5 \cdot (2 \cdot 5)^{10} + 1 = 5 \cdot 10^{10} + 1 = 50000000001 \] \[ S = 5 + 1 = 6 \vdots 3 \Rightarrow n \vdots 3 \] Cum \( n > 3 \), \( n \) este număr compus.

Cele mai importante aspecte ale lecției

  • Numerele prime au doar doi divizori (pe 1 și pe ele însele). Exemplu: \( 2, 3, 5, 7, 11 \dots \)
  • Numerele compuse au și alți divizori în afară de 1 și ele însele. Exemplu: \( 4, 6, 8, 9 \dots \)
  • Numerele 0 și 1 nu sunt nici prime, nici compuse.
  • Numărul 2 este singurul număr prim par.
  • Algoritmul de verificare: Se împarte numărul la numere prime succesive. Dacă obținem restul 0, este compus. Dacă obținem un cât mai mic decât împărțitorul, fără ca restul să fi fost vreodată 0, este prim.
Orice număr natural \( n > 1 \) are cel puțin doi divizori, numiți divizori improprii: pe 1 și pe el însuși.
Dacă numărul are și alți divizori, aceștia se numesc divizori proprii.
Să analizăm divizorii numărului 10:
  • Divizorii lui 10 sunt: 1, 2, 5, 10.
  • Divizorii improprii sunt: 1 și 10.
  • Divizorii proprii sunt: 2 și 5.
Un număr prim este un număr natural nenul care are exact doi divizori (adică doar divizorii improprii: pe 1 și pe el însuși).
Un număr compus este un număr natural nenul care are și alți divizori în afară de 1 și el însuși (are cel puțin un divizor propriu).
Numerele 0 și 1 nu sunt nici prime, nici compuse.
Singurul număr prim care este și par este 2. Toate celelalte numere prime sunt numere impare.
  • Numere prime: 2, 3, 5, 7, 11, 13, 17, 19, 23 etc.
  • Numere compuse: 4 (divizorii sunt 1, 2, 4), 6 (divizorii sunt 1, 2, 3, 6), 9 (divizorii sunt 1, 3, 9).

Pentru a determina dacă un număr natural este prim sau compus, urmăm acești pași:

Împărțim numărul dat, pe rând, la toate numerele prime în ordine crescătoare (\(2, 3, 5, 7, 11, \dots\)).
Continuăm procesul până când:
  • obținem o împărțire cu restul 0 (în acest caz, numărul este compus);
  • câtul împărțirii devine mai mic decât împărțitorul, fără ca vreo împărțire să se fi efectuat exact (în acest caz, numărul este prim).
Verificăm dacă 43 este număr prim:
  • \( 43 : 2 = 21 \) rest 1
  • \( 43 : 3 = 14 \) rest 1
  • \( 43 : 5 = 8 \) rest 3
  • \( 43 : 7 = 6 \) rest 1
Deoarece câtul 6 este mai mic decât împărțitorul 7 (\( 6 < 7 \)) și nu am obținut niciun rest 0, rezultă că 43 este un număr prim.

Fie \( S \) suma tuturor divizorilor unui număr natural \( N \) care sunt mai mici decât \( N \) (adică divizorii proprii plus 1).

Un număr se numește perfect dacă suma \( S \) este egală cu \( N \).
Un număr se numește deficient dacă suma \( S < N \).
Un număr se numește abundent dacă suma \( S > N \).
  • Numărul 6 este perfect, deoarece divizorii săi mai mici decât 6 sunt 1, 2, 3, iar \( 1 + 2 + 3 = 6 \).
  • Numărul 8 este deficient, deoarece divizorii săi mai mici decât 8 sunt 1, 2, 4, iar \( 1 + 2 + 4 = 7 < 8 \).
  • Numărul 12 este abundent, deoarece divizorii săi mai mici decât 12 sunt 1, 2, 3, 4, 6, iar \( 1 + 2 + 3 + 4 + 6 = 16 > 12 \).

Practice problems

Problema 1 (Ușoară): Scrieți numărul natural 20 ca:
a) sumă de două numere prime;
b) sumă dintre un număr prim și un număr compus.
a) O variantă este: \( 20 = 3 + 17 \) (unde atât 3, cât și 17 sunt numere prime). O altă variantă corectă este \( 20 = 7 + 13 \).
b) O variantă este: \( 20 = 2 + 18 \) (unde 2 este număr prim, iar 18 este număr compus).
Problema 2 (Medie): Folosind algoritmul de recunoaștere, stabiliți dacă numărul 109 este prim sau compus.
Împărțim numărul 109 la numere prime succesive:
  • \( 109 : 2 = 54 \) rest 1
  • \( 109 : 3 = 36 \) rest 1
  • \( 109 : 5 = 21 \) rest 4
  • \( 109 : 7 = 15 \) rest 4
  • \( 109 : 11 = 9 \) rest 10
La ultima împărțire, câtul 9 este mai mic decât împărțitorul 11 (\( 9 < 11 \)). Toate resturile obținute sunt diferite de 0, deci 109 este un număr prim.
Problema 3 (Dificilă): Determinați numerele prime \( x \) și \( y \) care verifică egalitatea: \[ 5x + 2y = 31 \]
Termenul \( 2y \) este întotdeauna un număr par (fiind multiplu de 2).
Deoarece suma este un număr impar (\( 31 \)), rezultă că termenul \( 5x \) trebuie să fie un număr impar. Pentru ca \( 5x \) să fie impar, trebuie ca \( x \) să fie un număr impar.
De asemenea, trebuie ca \( 5x < 31 \), deci \( x < 6.2 \). Singurele numere prime impare mai mici decât 6.2 sunt 3 și 5.
  • Dacă \( x = 3 \):
    \( 5 \cdot 3 + 2y = 31 \Rightarrow 15 + 2y = 31 \Rightarrow 2y = 16 \Rightarrow y = 8 \). Dar 8 nu este număr prim (este compus).
  • Dacă \( x = 5 \):
    \( 5 \cdot 5 + 2y = 31 \Rightarrow 25 + 2y = 31 \Rightarrow 2y = 6 \Rightarrow y = 3 \). Deoarece 3 este număr prim, această soluție este corectă.
Răspuns: Numerele prime sunt \( x = 5 \) și \( y = 3 \).

Învinge
tema cu mii de rezolvări, lecții și teste:

Matematică

17977 rezolvări

932 lecții și teste

Иконка Математика

Fizică

572 rezolvări

394 lecții și teste

Иконка Физика
Clasa a 6-a

Chimie

29 rezolvări

214 lecții și teste

Иконка Химия

PhotoSolveAI – un instrument puternic pentru rezolvarea problemelor din poză/text
Află mai multe