Cele mai importante aspecte ale lecției
Sistemul zecimal (baza 10) folosește zece cifre (\(0-9\)) și puteri ale lui 10.
Exemplu: \( 582 = 5 \cdot 10^2 + 8 \cdot 10^1 + 2 \cdot 10^0 \).
Sistemul binar (baza 2) folosește doar cifrele \(0\) și \(1\) și puteri ale lui 2.
Exemplu: \( 1101_{(2)} = 1 \cdot 2^3 + 1 \cdot 2^2 + 0 \cdot 2^1 + 1 \cdot 2^0 = 8+4+0+1 = 13_{(10)} \).
Transformarea din baza 10 în baza 2 se face prin împărțiri succesive la 2, citind resturile de jos în sus.
Exemplu: \( 582 = 5 \cdot 10^2 + 8 \cdot 10^1 + 2 \cdot 10^0 \).
Sistemul binar (baza 2) folosește doar cifrele \(0\) și \(1\) și puteri ale lui 2.
Exemplu: \( 1101_{(2)} = 1 \cdot 2^3 + 1 \cdot 2^2 + 0 \cdot 2^1 + 1 \cdot 2^0 = 8+4+0+1 = 13_{(10)} \).
Transformarea din baza 10 în baza 2 se face prin împărțiri succesive la 2, citind resturile de jos în sus.
Sistemul zecimal este sistemul de numerație în care baza este 10. În scrierea numerelor se utilizează zece cifre: 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8 și 9.
Descompunerea în baza 10 reprezintă scrierea unică a oricărui număr natural ca o sumă de produse între cifrele sale și puteri ale lui 10.
\[ \overline{ab}_{(10)} = a \cdot 10^1 + b \cdot 10^0 \]
\[ \overline{abc}_{(10)} = a \cdot 10^2 + b \cdot 10^1 + c \cdot 10^0 \]
\[ \overline{abcd}_{(10)} = a \cdot 10^3 + b \cdot 10^2 + c \cdot 10^1 + d \cdot 10^0 \]
unde \( a, b, c, d \) sunt cifre, cu \( a \neq 0 \).
Descompunerea numărului \( 273 \) în baza 10:
\[ 273 = 2 \cdot 100 + 7 \cdot 10 + 3 = 2 \cdot 10^2 + 7 \cdot 10^1 + 3 \cdot 10^0 \]
Scrieți descompunerea în baza 10 a numărului \( 204 \).
Folosind puterile lui 10, avem:
\[ 204 = 2 \cdot 10^2 + 0 \cdot 10^1 + 4 \cdot 10^0 \]
Sistemul binar este sistemul de numerație în care baza este 2. În scrierea numerelor se folosesc doar două cifre: 0 și 1.
Descompunerea în baza 2 reprezintă scrierea unui număr natural sub formă de sumă de produse în care un factor este o putere a lui 2, iar celălalt factor este cifra binară 0 sau 1.
\[ \overline{ab}_{(2)} = (a \cdot 2^1 + b \cdot 2^0)_{10} \]
\[ \overline{abc}_{(2)} = (a \cdot 2^2 + b \cdot 2^1 + c \cdot 2^0)_{10} \]
\[ \overline{abcd}_{(2)} = (a \cdot 2^3 + b \cdot 2^2 + c \cdot 2^1 + d \cdot 2^0)_{10} \]
unde \( a, b, c, d \in \{0, 1\} \), cu \( a \neq 0 \).
Descompunerea numărului \( 13 \) ca sumă de puteri ale lui 2:
\[ 13 = 8 + 4 + 1 = 2^3 + 2^2 + 2^0 = 1 \cdot 2^3 + 1 \cdot 2^2 + 0 \cdot 2^1 + 1 \cdot 2^0 \]
Deci, \( 13_{(10)} = 1101_{(2)} \).
Pentru a transforma un număr scris în baza 2 în baza 10, se efectuează suma produselor dintre cifrele sale și puterile descrescătoare ale lui 2, începând de la dreapta spre stânga (de la poziția unităților, corespunzătoare lui \( 2^0 \)).
Transformarea numărului \( 100111_{(2)} \) în baza 10:
\[ 100111_{(2)} = 1 \cdot 2^5 + 0 \cdot 2^4 + 0 \cdot 2^3 + 1 \cdot 2^2 + 1 \cdot 2^1 + 1 \cdot 2^0 \]
\[ 100111_{(2)} = 32 + 0 + 0 + 4 + 2 + 1 = 39_{(10)} \]
Transformați numărul \( 1101_{(2)} \) în baza 10.
\[ 1101_{(2)} = 1 \cdot 2^3 + 1 \cdot 2^2 + 0 \cdot 2^1 + 1 \cdot 2^0 \]
\[ = 8 + 4 + 0 + 1 = 13_{(10)} \]
Pentru a transforma un număr din baza 10 în baza 2, utilizăm metoda împărțirilor succesive la 2:
- Împărțim numărul la 2 și notăm restul (care va fi întotdeauna 0 sau 1).
- Împărțim noul cât obținut la 2 și notăm din nou restul.
- Repetăm procedeul până când obținem câtul 0.
- Scriem numărul în baza 2 luând ultimul cât diferit de zero, urmat de toate resturile obținute în ordine inversă (de jos în sus).
Arătați că \( 35_{(10)} = 100011_{(2)} \).
- \( 35 : 2 = 17 \text{ rest } 1 \)
- \( 17 : 2 = 8 \text{ rest } 1 \)
- \( 8 : 2 = 4 \text{ rest } 0 \)
- \( 4 : 2 = 2 \text{ rest } 0 \)
- \( 2 : 2 = 1 \text{ rest } 0 \)
- \( 1 : 2 = 0 \text{ rest } 1 \)
Practice problems
Problema 1 (Dificultate: Ușoară)
Transformați numărul zecimal \( 47_{(10)} \) în baza 2.
Transformați numărul zecimal \( 47_{(10)} \) în baza 2.
Efectuăm împărțirile succesive la 2:
- \( 47 : 2 = 23 \) rest \( 1 \)
- \( 23 : 2 = 11 \) rest \( 1 \)
- \( 11 : 2 = 5 \) rest \( 1 \)
- \( 5 : 2 = 2 \) rest \( 1 \)
- \( 2 : 2 = 1 \) rest \( 0 \)
- \( 1 : 2 = 0 \) rest \( 1 \)
Problema 2 (Dificultate: Medie)
Determinați numărul natural \( n \), știind că \( 3^{n+2} + 3^{n+1} = 100100_{(2)} \).
Determinați numărul natural \( n \), știind că \( 3^{n+2} + 3^{n+1} = 100100_{(2)} \).
Mai întâi, transformăm numărul binar \( 100100_{(2)} \) în baza 10:
\[ 100100_{(2)} = 1 \cdot 2^5 + 0 \cdot 2^4 + 0 \cdot 2^3 + 1 \cdot 2^2 + 0 \cdot 2^1 + 0 \cdot 2^0 \]
\[ = 32 + 4 = 36_{(10)} \]
Ecuția devine:
\[ 3^{n+2} + 3^{n+1} = 36 \]
Dăm factor comun pe \( 3^{n+1} \):
\[ 3^{n+1} \cdot (3^1 + 1) = 36 \]
\[ 3^{n+1} \cdot 4 = 36 \]
\[ 3^{n+1} = 9 \]
Deoarece \( 9 = 3^2 \), rezultă:
\[ n + 1 = 2 \implies n = 1 \]
Răspuns: \( n = 1 \)
Problema 3 (Dificultate: Dificilă)
Găsiți numărul natural scris în baza 10, de forma \( \overline{ab} \), care îndeplinește condiția \( \overline{ab} = 5a + 3b \).
Găsiți numărul natural scris în baza 10, de forma \( \overline{ab} \), care îndeplinește condiția \( \overline{ab} = 5a + 3b \).
Scriem descompunerea în baza 10 a numărului \( \overline{ab} \):
\[ \overline{ab} = 10a + b \]
Înlocuim în relația dată:
\[ 10a + b = 5a + 3b \]
Scădem \( 5a \) și \( b \) din ambii membri ai ecuației:
\[ 5a = 2b \]
Deoarece \( a \) și \( b \) sunt cifre în baza 10, iar \( a \neq 0 \) (fiind prima cifră a numărului):
Din egalitatea \( 5a = 2b \) rezultă că \( 5a \) este un număr par, deci \( a \) trebuie să fie o cifră pară nenulă.
- Dacă \( a = 2 \implies 5 \cdot 2 = 2b \implies 10 = 2b \implies b = 5 \) (soluție validă, cifrele sunt \( 2 \) și \( 5 \)).
- Dacă \( a = 4 \implies 5 \cdot 4 = 2b \implies 20 = 2b \implies b = 10 \) (nu convine, \( b \) trebuie să fie o cifră de o singură cifră).
