I.3. Exersează, Fixează Și Aprofundează Cunoștințele

Pentru a determina câte două soluții întregi pentru fiecare inecuație, vom rezolva mai întâi inecuațiile în mulțimea numerelor reale (\( \mathbb{R} \)) prin izolarea necunoscutei \( x \), iar apoi vom alege două valori convenabile din mulțimea soluțiilor care aparțin lui \( \mathbb{Z} \).

a) \( 2x + 1 \ge 5 \)

Scădem \( 1 \) din ambii membri ai inecuației: \[ 2x \ge 5 - 1 \implies 2x \ge 4 \] Împărțim ambii membri la \( 2 \) (număr pozitiv, sensul inegalității se păstrează): \[ x \ge \frac{4}{2} \implies x \ge 2 \] Două soluții numere întregi sunt: \[ x \in \{2, 3\} \]

b) \( 3x - 1 < 2 \)

Adunăm \( 1 \) în ambii membri ai inecuației: \[ 3x < 2 + 1 \implies 3x < 3 \] Împărțim ambii membri la \( 3 \): \[ x < \frac{3}{3} \implies x < 1 \] Două soluții numere întregi sunt: \[ x \in \{0, -1\} \]

c) \( 11x - 6 \le 0 \)

Adunăm \( 6 \) în ambii membri ai inecuației: \[ 11x \le 6 \] Împărțim ambii membri la \( 11 \): \[ x \le \frac{6}{11} \] Deoarece \( \frac{6}{11} \approx 0,54 \), numerele întregi mai mici sau egale cu această valoare sunt \( 0, -1, -2, \dots \). Două soluții numere întregi sunt: \[ x \in \{0, -1\} \]

d) \( -x + 4 > -2 \)

Scădem \( 4 \) din ambii membri ai inecuației: \[ -x > -2 - 4 \implies -x > -6 \] Înmulțim sau împărțim cu \( -1 \). Atenție: **sensul inegalității se schimbă** deoarece operăm cu un număr negativ: \[ x < 6 \] Două soluții numere întregi sunt: \[ x \in \{5, 4\} \]

a) \( 2x \ge 4 \implies x \ge 2 \implies x \in \{2, 3\} \) b) \( 3x < 3 \implies x < 1 \implies x \in \{0, -1\} \) c) \( 11x \le 6 \implies x \le \frac{6}{11} \implies x \in \{0, -1\} \) d) \( -x > -6 \implies x < 6 \implies x \in \{5, 4\} \)