IV.8. Exersează, Fixează Și Aprofundează Cunoștințele

Pasul 1: Analiza elementelor trunchiului de piramidă

Avem un trunchi de piramidă triunghiulară regulată \( ABCA''B''C'' \) (notat standard \( ABCA'B'C' \) pentru o utilizare mai simplă a notațiilor matematice, unde \( A', B', C' \) sunt vârfurile bazei mici): - Muchia bazei mari: \( AB = 8 \text{ cm} \) - Muchia bazei mici: \( A'B' = 2 \text{ cm} \) - Muchia laterală a trunchiului: \( AA' = 5 \text{ cm} \) Acest trunchi provine dintr-o piramidă regulată \( VABC \) cu vârful în \( V \), secționată cu un plan paralel cu baza. Astfel, punctele \( V \), \( A' \) și \( A \) sunt coliniare, iar \( VA = VA' + AA' \).

a) Determină lungimea muchiei laterale a piramidei din care provine trunchiul

Pasul 2: Aplicarea Teoremei Fundamentale a Asemănării în spațiu

Deoarece planul bazei mici \( (A'B'C') \) este paralel cu planul bazei mari \( (ABC) \), conform Teoremei Fundamentale a Asemănării aplicată în triunghiul format de muchiile laterale și bază, avem piramida mică \( VA'B'C' \) asemenea cu piramida mare \( VABC \). Relația de proporționalitate pentru muchiile laterale și muchiile bazelor este: \[ \frac{VA'}{VA} = \frac{A'B'}{AB} \]

Pasul 3: Calcularea lungimii muchiei laterale a piramidei mari

Știm că \( VA = VA' + AA' \). Înlocuind \( AA' = 5 \text{ cm} \), avem \( VA = VA' + 5 \). Înlocuim valorile cunoscute în raportul de asemănare: \[ \frac{VA'}{VA' + 5} = \frac{\cancel{2}^1}{\cancel{8}_4} \] \[ \frac{VA'}{VA' + 5} = \frac{1}{4} \] Produsul mezilor este egal cu produsul extremilor: \[ 4 \cdot VA' = 1 \cdot (VA' + 5) \] \[ 4 \cdot VA' = VA' + 5 \] \[ 3 \cdot VA' = 5 \implies VA' = \frac{5}{3} \text{ cm} \] Acum determinăm lungimea muchiei laterale a piramidei mari, \( VA \): \[ VA = VA' + AA' = \frac{5}{3} + 5 = \frac{5 + 15}{3} = \frac{20}{3} \text{ cm} \]

b) Calculează măsura unghiului dintre dreptele \( AB \) și \( B''C'' \)

Pasul 4: Identificarea poziției relative și a unghiului format

Dreptele \( AB \) și \( B'C' \) (notată în enunț \( B''C'' \)) sunt drepte necoplanare. - Deoarece bazele trunchiului de piramidă sunt paralele, laturile corespunzătoare sunt paralele: \( B'C' \parallel BC \). - Măsura unghiului dintre dreptele \( AB \) și \( B'C' \) este egală cu măsura unghiului dintre dreptele concurente \( AB \) și \( BC \): \[ \sphericalangle(AB, B'C') = \sphericalangle(AB, BC) = \sphericalangle ABC \]

Pasul 5: Determinarea măsurii unghiului din baza triunghiulară regulată

Baza \( ABC \) a trunchiului este un triunghi echilateral (deoarece trunchiul provine dintr-o piramidă triunghiulară regulată). Într-un triunghi echilateral, toate unghiurile interioare au măsura de \( 60^\circ \). Prin urmare: \[ m(\sphericalangle ABC) = 60^\circ \] Rezultă că măsura unghiului dintre dreptele \( AB \) și \( B''C'' \) este de \( 60^\circ \).

a)

\( \frac{VA'}{VA' + 5} = \frac{2}{8} \implies \frac{VA'}{VA' + 5} = \frac{1}{4} \implies 4 \cdot VA' = VA' + 5 \implies VA' = \frac{5}{3} \text{ cm} \) \( VA = \frac{5}{3} + 5 = \frac{20}{3} \text{ cm} \)

b)

\( B'C' \parallel BC \implies \sphericalangle(AB, B'C') = \sphericalangle ABC = 60^\circ \)