Lecția I.7 conține următoarele grupuri de exerciții:
Alege rezolvarea exercițiului:
Exercițiul 1 (gratuit)
Rezolvare scurtă
a)
\( A = \{x \in \mathbb{R} \mid x + 2 > 4\} \cup \{x \in \mathbb{R} \mid x < -6\} \)
\( x + 2 > 4 \implies x > 2 \implies x \in (2, +\infty) \)
\( A = (-\infty, -6) \cup (2, +\infty) \)
\( A \cap [-7, 3] = ( (-\infty, -6) \cup (2, +\infty) ) \cap [-7, 3] \)
\( A \cap [-7, 3] = ( (-\infty, -6) \cap [-7, 3] ) \cup ( (2, +\infty) \cap [-7, 3] ) \)
\( A \cap [-7, 3] = [-7, -6) \cup (2, 3] \)
b)
\( \mathbb{Z}^{-} \cap A = \{ \dots, -9, -8, -7 \} \implies \max(\mathbb{Z}^{-} \cap A) = -7 \)
\( \mathbb{N} \cap A = \{ 3, 4, 5, \dots \} \implies \min(\mathbb{N} \cap A) = 3 \)
\( S = -7 + 3 = -4 \)
Rezolvare detaliată
Pasul 1: Determinarea mulțimii \( A \) sub formă de intervale
Mulțimea \( A \) este reuniunea a două mulțimi definite prin inegalități. Vom rezolva prima inecuație: \( x + 2 > 4 \implies x > 4 - 2 \implies x > 2 \). Sub formă de interval, această mulțime este \( (2, +\infty) \). A doua parte a mulțimii este deja dată sub formă de inegalitate: \( x < -6 \), ceea ce corespunde intervalului \( (-\infty, -6) \). Așadar, mulțimea \( A \) este: \[ A = (-\infty, -6) \cup (2, +\infty) \]a) Calculează \( A \cap [-7, 3] \)
Pasul 2: Intersecția intervalelor
Trebuie să calculăm intersecția dintre reuniunea determinată anterior și intervalul închis \( [-7, 3] \). Aplicăm proprietatea de distributivitate a intersecției față de reuniune: \[ A \cap [-7, 3] = \left( (-\infty, -6) \cup (2, +\infty) \right) \cap [-7, 3] \] \[ = \left( (-\infty, -6) \cap [-7, 3] \right) \cup \left( (2, +\infty) \cap [-7, 3] \right) \] Analizăm fiecare intersecție în parte: 1. Pentru \( (-\infty, -6) \cap [-7, 3] \): numerele trebuie să fie mai mici decât \( -6 \) și, în același timp, între \( -7 \) și \( 3 \). Rezultatul este intervalul \( [-7, -6) \). 2. Pentru \( (2, +\infty) \cap [-7, 3] \): numerele trebuie să fie mai mari decât \( 2 \) și între \( -7 \) și \( 3 \). Rezultatul este intervalul \( (2, 3] \). Prin urmare, \( A \cap [-7, 3] = [-7, -6) \cup (2, 3] \).b) Calculează suma dintre cel mai mare număr întreg negativ din mulțimea \( A \) și cel mai mic număr natural din mulțimea \( A \)
Pasul 3: Identificarea numerelor cerute
1. **Cel mai mare număr întreg negativ din \( A \)**: Mulțimea numerelor întregi negative din \( A \) provine din intervalul \( (-\infty, -6) \). Acestea sunt \( \{ \dots, -9, -8, -7 \} \). Numărul \( -6 \) nu este inclus deoarece intervalul este deschis la dreapta. Cel mai mare dintre acestea este \( -7 \). 2. **Cel mai mic număr natural din \( A \)**: Mulțimea numerelor naturale din \( A \) provine din intervalul \( (2, +\infty) \). Numerele naturale din acest interval sunt \( \{ 3, 4, 5, \dots \} \). Numărul \( 2 \) nu este inclus (interval deschis), iar numerele \( 0 \) și \( 1 \) nu aparțin mulțimii \( A \). Cel mai mic număr natural este \( 3 \).Pasul 4: Calcularea sumei
Suma cerută este: \[ S = -7 + 3 = -4 \]Rezolvare scurtă:
\( A = (-\infty, -6) \cup (2, +\infty) \)
a) \( A \cap [-7, 3] = ( (-\infty, -6) \cap [-7, 3] ) \cup ( (2, +\infty) \cap [-7, 3] ) = [-7, -6) \cup (2, 3] \)
b) Max întreg negativ din \( A \) este \( -7 \); Min natural din \( A \) este \( 3 \).
\( S = -7 + 3 = -4 \)
