Cele mai importante aspecte ale lecției
Înălțimea corpurilor geometrice cu vârf (piramidă, con) este segmentul perpendicular dus din vârf pe planul bazei (\( VO \perp (bază) \)).
Puncte cheie de reținut:
Puncte cheie de reținut:
- La o piramidă regulată și la un con circular drept, piciorul înălțimii cade exact în centrul bazei.
- Calculele se bazează pe identificarea triunghiului dreptunghic format de înălțime, raza bazei (distanța de la centrul bazei la un vârf al bazei / un punct de pe cerc) și muchia laterală / generatoare.
- Relația fundamentală (Teorema lui Pitagora): \( \text{Înălțime}^2 + \text{Rază}^2 = \text{Muchie laterală}^2 \) (sau Generatoare\(^2\)).
Perpendiculara coborâtă din vârful unei piramide pe planul bazei sale se numește înălțimea piramidei.
\( VO \perp (ABC) \), unde \( O \in (ABC) \), implică faptul că \( VO \) este înălțimea piramidei.
Punctul \( O \) se numește piciorul înălțimii.
Într-o piramidă regulată, piciorul înălțimii coincide cu centrul bazei (centrul cercului circumscris bazei, care este un poligon regulat).
Reciproca este, de asemenea, valabilă: Dacă o piramidă are ca bază un poligon regulat, iar piciorul înălțimii sale este centrul bazei, atunci piramida este regulată.
Pentru a calcula înălțimea, se folosește adesea Teorema lui Pitagora în triunghiul dreptunghic format de înălțime (\( VO \)), raza cercului circumscris bazei (\( AO \)) și muchia laterală (\( VA \)): \[ VO^2 + AO^2 = VA^2 \]
Calculul înălțimii unui tetraedru regulat (piramidă triunghiulară regulată) \( VABC \) cu toate muchiile egale cu \( a \):
1. Baza \( ABC \) este triunghi echilateral. Punctul \( O \) este centrul său, deci \( AO \) reprezintă două treimi din înălțimea bazei: \[ AO = \frac{2}{3} \cdot \frac{a\sqrt{3}}{2} = \frac{a\sqrt{3}}{3} \] 2. În triunghiul dreptunghic \( VAO \) (\( \sphericalangle VOA = 90^\circ \)): \[ VO^2 = VA^2 - AO^2 = a^2 - \left(\frac{a\sqrt{3}}{3}\right)^2 = a^2 - \frac{3a^2}{9} = \frac{6a^2}{9} \] 3. Prin extragerea radicalului, obținem înălțimea: \( VO = \frac{a\sqrt{6}}{3} \).
1. Baza \( ABC \) este triunghi echilateral. Punctul \( O \) este centrul său, deci \( AO \) reprezintă două treimi din înălțimea bazei: \[ AO = \frac{2}{3} \cdot \frac{a\sqrt{3}}{2} = \frac{a\sqrt{3}}{3} \] 2. În triunghiul dreptunghic \( VAO \) (\( \sphericalangle VOA = 90^\circ \)): \[ VO^2 = VA^2 - AO^2 = a^2 - \left(\frac{a\sqrt{3}}{3}\right)^2 = a^2 - \frac{3a^2}{9} = \frac{6a^2}{9} \] 3. Prin extragerea radicalului, obținem înălțimea: \( VO = \frac{a\sqrt{6}}{3} \).
Perpendiculara coborâtă din vârful unui con circular drept pe planul bazei sale se numește înălțimea conului.
Într-un con circular drept, piciorul înălțimii este întotdeauna centrul bazei (centrul cercului de la bază).
Între înălțimea conului (\( h = VO \)), raza bazei (\( r = AO \)) și generatoarea conului (\( G = VA \)) se formează un triunghi dreptunghic în care se aplică Teorema lui Pitagora:
\[ h^2 + r^2 = G^2 \]
Dacă un con circular drept are raza bazei \( r = 6 \text{ cm} \) și generatoarea \( G = 10 \text{ cm} \), înălțimea sa se află astfel:
\[ VO^2 = VA^2 - AO^2 = 10^2 - 6^2 = 100 - 36 = 64 \Rightarrow VO = \sqrt{64} = 8 \text{ cm} \]
Probleme de antrenament
Nivel Ușor: Un con circular drept are raza bazei de \( 5 \text{ cm} \) și înălțimea de \( 12 \text{ cm} \). Calculează lungimea generatoarei conului.
Notăm vârful conului cu \( V \), centrul bazei cu \( O \) și un punct pe cercul bazei cu \( A \).
În triunghiul dreptunghic \( VOA \) (\( \sphericalangle VOA = 90^\circ \)), avem catetele \( VO = 12 \text{ cm} \) și \( AO = 5 \text{ cm} \).
Aplicăm Teorema lui Pitagora pentru a afla ipotenuza \( VA \) (generatoarea): \[ VA^2 = VO^2 + AO^2 \] \[ VA^2 = 12^2 + 5^2 = 144 + 25 = 169 \] \[ VA = \sqrt{169} = 13 \text{ cm} \]
În triunghiul dreptunghic \( VOA \) (\( \sphericalangle VOA = 90^\circ \)), avem catetele \( VO = 12 \text{ cm} \) și \( AO = 5 \text{ cm} \).
Aplicăm Teorema lui Pitagora pentru a afla ipotenuza \( VA \) (generatoarea): \[ VA^2 = VO^2 + AO^2 \] \[ VA^2 = 12^2 + 5^2 = 144 + 25 = 169 \] \[ VA = \sqrt{169} = 13 \text{ cm} \]
Nivel Mediu: O piramidă patrulateră regulată \( VABCD \) are muchia bazei \( AB = 8 \text{ cm} \) și muchia laterală \( VA = 4\sqrt{6} \text{ cm} \). Calculează lungimea înălțimii piramidei.
Baza \( ABCD \) este un pătrat cu latura \( l = 8 \text{ cm} \).
Diagonala pătratului este \( AC = l\sqrt{2} = 8\sqrt{2} \text{ cm} \).
Punctul \( O \) este centrul bazei, deci \( AO \) este jumătate din diagonală: \[ AO = \frac{8\sqrt{2}}{2} = 4\sqrt{2} \text{ cm} \] În triunghiul dreptunghic \( VOA \) (\( VO \perp (ABCD) \)), aplicăm Teorema lui Pitagora: \[ VO^2 + AO^2 = VA^2 \Rightarrow VO^2 = VA^2 - AO^2 \] \[ VO^2 = (4\sqrt{6})^2 - (4\sqrt{2})^2 = 96 - 32 = 64 \] \[ VO = \sqrt{64} = 8 \text{ cm} \]
Diagonala pătratului este \( AC = l\sqrt{2} = 8\sqrt{2} \text{ cm} \).
Punctul \( O \) este centrul bazei, deci \( AO \) este jumătate din diagonală: \[ AO = \frac{8\sqrt{2}}{2} = 4\sqrt{2} \text{ cm} \] În triunghiul dreptunghic \( VOA \) (\( VO \perp (ABCD) \)), aplicăm Teorema lui Pitagora: \[ VO^2 + AO^2 = VA^2 \Rightarrow VO^2 = VA^2 - AO^2 \] \[ VO^2 = (4\sqrt{6})^2 - (4\sqrt{2})^2 = 96 - 32 = 64 \] \[ VO = \sqrt{64} = 8 \text{ cm} \]
Nivel Dificil: Într-o piramidă hexagonală regulată \( VABCDEF \), înălțimea \( VO \) are lungimea de \( 4 \text{ cm} \), iar muchia laterală \( VA \) este de \( 5 \text{ cm} \). Determină perimetrul bazei piramidei.
În triunghiul dreptunghic \( VOA \) aplicăm Teorema lui Pitagora pentru a afla \( AO \) (raza cercului circumscris bazei):
\[ AO^2 = VA^2 - VO^2 \]
\[ AO^2 = 5^2 - 4^2 = 25 - 16 = 9 \]
\[ AO = \sqrt{9} = 3 \text{ cm} \]
Baza este un hexagon regulat. Într-un hexagon regulat, latura bazei este egală cu raza cercului circumscris bazei:
\[ AB = AO = 3 \text{ cm} \]
Perimetrul bazei (formată din 6 laturi egale) este:
\[ P_{bazei} = 6 \cdot AB = 6 \cdot 3 = 18 \text{ cm} \]
