Alege rezolvarea exercițiului:
Exercițiul 1 (gratuit)
Rezolvare scurtă
a)
\( \sqrt{49} + 2 \cdot \sqrt{25} = 7 + 2 \cdot 5 = 7 + 10 = 17 \)
b)
\( (15 - \sqrt{81}) : (-\sqrt{36}) = (15 - 9) : (-6) = 6 : (-6) = -1 \)
c)
\( \sqrt{5184} = \sqrt{2^6 \cdot 3^4} = 2^3 \cdot 3^2 = 8 \cdot 9 = 72 \)
d)
\( 1,(7) = \frac{17-1}{9} = \frac{16}{9} \)
\( 0,25 = \frac{25}{100} = \frac{1}{4} \)
\( \sqrt{1,(7)} + \sqrt{0,25} = \sqrt{\frac{16}{9}} + \sqrt{\frac{1}{4}} = \frac{4}{3} + \frac{1}{2} = \frac{8+3}{6} = \frac{11}{6} \)
e)
\( \sqrt{17^2 - 15^2} + \sqrt{144} = \sqrt{289 - 225} + 12 = \sqrt{64} + 12 = 8 + 12 = 20 \)
f)
\( \sqrt{3^2 + 4^2 + 12^2} - \sqrt{441} = \sqrt{9 + 16 + 144} - 21 = \sqrt{169} - 21 = 13 - 21 = -8 \)
Rezolvare detaliată
Pentru a rezolva aceste exerciții, vom folosi regulile de calcul cu numere reale, proprietățile radicalilor și ordinea efectuării operațiilor.
a) Calculul \( \sqrt{49} + 2 \cdot \sqrt{25} \)
Pasul 1: Extragerea rădăcinilor pătrate
Știm că \( 49 = 7^2 \) și \( 25 = 5^2 \), deci: \( \sqrt{49} = 7 \) și \( \sqrt{25} = 5 \).Pasul 2: Efectuarea calculelor
Înlocuim valorile obținute în expresie și respectăm ordinea operațiilor (înmulțirea are prioritate): \[ 7 + 2 \cdot 5 = 7 + 10 = 17 \]b) Calculul \( (15 - \sqrt{81}) : (-\sqrt{36}) \)
Pasul 1: Calcularea radicalilor
Identificăm pătratele perfecte: \( 81 = 9^2 \) și \( 36 = 6^2 \). \( \sqrt{81} = 9 \) și \( \sqrt{36} = 6 \).Pasul 2: Calculul parantezei și împărțirea
\[ (15 - 9) : (-6) = 6 : (-6) = -1 \]c) Calculul \( \sqrt{5184} \)
Pasul 1: Descompunerea în factori primi
Descompunem numărul pentru a extrage radicalul: \( 5184 = 2^6 \cdot 3^4 \).Pasul 2: Aplicarea proprietății \( \sqrt{a^{2n}} = a^n \)
\[ \sqrt{5184} = \sqrt{2^6 \cdot 3^4} = 2^{6:2} \cdot 3^{4:2} = 2^3 \cdot 3^2 = 8 \cdot 9 = 72 \]d) Calculul \( \sqrt{1,(7)} + \sqrt{0,25} \)
Pasul 1: Transformarea fracțiilor zecimale în fracții ordinare
\( 1,(7) = \frac{17 - 1}{9} = \frac{16}{9} \) \( 0,25 = \frac{25}{100} = \frac{1}{4} \)Pasul 2: Extragerea radicalilor și adunarea
\[ \sqrt{\frac{16}{9}} + \sqrt{\frac{1}{4}} = \frac{4}{3} + \frac{1}{2} = \frac{8}{6} + \frac{3}{6} = \frac{11}{6} \]e) Calculul \( \sqrt{17^2 - 15^2} + \sqrt{144} \)
Pasul 1: Calculul de sub primul radical
Atenție: Calculăm mai întâi operația de sub radical. \( 17^2 - 15^2 = 289 - 225 = 64 \).Pasul 2: Finalizarea calculului
\[ \sqrt{64} + 12 = 8 + 12 = 20 \]f) Calculul \( \sqrt{3^2 + 4^2 + 12^2} - \sqrt{441} \)
Pasul 1: Calculul sumei de sub radical
\( 3^2 + 4^2 + 12^2 = 9 + 16 + 144 = 25 + 144 = 169 \).Pasul 2: Extragerea radicalilor și scăderea
Știm că \( \sqrt{169} = 13 \) și \( \sqrt{441} = 21 \). \[ 13 - 21 = -8 \]Rezolvare scurtă:
a) \( 7 + 2 \cdot 5 = 17 \)
b) \( (15 - 9) : (-6) = 6 : (-6) = -1 \)
c) \( \sqrt{2^6 \cdot 3^4} = 8 \cdot 9 = 72 \)
d) \( \sqrt{\frac{16}{9}} + \sqrt{\frac{1}{4}} = \frac{4}{3} + \frac{1}{2} = \frac{11}{6} \)
e) \( \sqrt{289-225} + 12 = \sqrt{64} + 12 = 8 + 12 = 20 \)
f) \( \sqrt{9+16+144} - 21 = \sqrt{169} - 21 = 13 - 21 = -8 \)
