Cele mai importante aspecte ale lecției
Cubul este perfect simetric, fiind definit complet de lungimea muchiei sale, notată cu \(l\).
• Diagonala feței: \( l\sqrt{2} \) | Diagonala cubului: \( l\sqrt{3} \)
• Arii: Laterală \( = 4l^2 \), Totală \( = 6l^2 \)
• Volum: \( \mathcal{V} = l^3 \)
Distanțele și unghiurile se rezolvă prin izolarea triunghiurilor secțiunilor (deseori dreptunghice sau echilaterale) și utilizarea funcțiilor trigonometrice sau a teoremelor cunoscute (Pitagora, Teorema celor 3 perpendiculare).
• Diagonala feței: \( l\sqrt{2} \) | Diagonala cubului: \( l\sqrt{3} \)
• Arii: Laterală \( = 4l^2 \), Totală \( = 6l^2 \)
• Volum: \( \mathcal{V} = l^3 \)
Distanțele și unghiurile se rezolvă prin izolarea triunghiurilor secțiunilor (deseori dreptunghice sau echilaterale) și utilizarea funcțiilor trigonometrice sau a teoremelor cunoscute (Pitagora, Teorema celor 3 perpendiculare).
Cubul este un corp geometric ale cărui fețe sunt toate pătrate congruente. Se notează cu \( l \) lungimea muchiei sale.
Diagonala feței: \( d_{față} = l\sqrt{2} \)
Reprezintă segmentul care unește două vârfuri opuse ale aceleiași fețe pătrate.
Diagonala cubului: \( d = l\sqrt{3} \)
Reprezintă segmentul determinat de două vârfuri care nu se află pe aceeași față a cubului (traversează interiorul).
Aria laterală: \[ \mathcal{A}_{lat} = 4l^2 \]
Suma ariilor celor 4 fețe laterale.
Aria totală: \[ \mathcal{A}_{tot} = 6l^2 \]
Suma ariilor tuturor celor 6 fețe ale cubului.
Volumul: \[ \mathcal{V} = l^3 \]
Măsura spațiului tridimensional ocupat de cub.
Dacă un cub are muchia \( l = 3 \) cm, atunci calculele sunt:
\( \mathcal{A}_{lat} = 4 \cdot 3^2 = 4 \cdot 9 = 36 \) cm²
\( \mathcal{A}_{tot} = 6 \cdot 3^2 = 6 \cdot 9 = 54 \) cm²
\( \mathcal{V} = 3^3 = 27 \) cm³
\( \mathcal{A}_{lat} = 4 \cdot 3^2 = 4 \cdot 9 = 36 \) cm²
\( \mathcal{A}_{tot} = 6 \cdot 3^2 = 6 \cdot 9 = 54 \) cm²
\( \mathcal{V} = 3^3 = 27 \) cm³
Rezolvarea problemelor de geometrie în spațiu se bazează pe identificarea corectă a proiecțiilor și aplicarea Teoremei lui Pitagora sau a Teoremei celor trei perpendiculare.
Unghiul dintre o dreaptă și un plan: Este unghiul format de acea dreaptă cu proiecția sa ortogonală pe planul respectiv.
Exemplu: Pentru a găsi unghiul dintre diagonala cubului și baza sa, se proiectează diagonala pe planul bazei (obținând diagonala bazei). Unghiul se calculează apoi folosind funcții trigonometrice în triunghiul dreptunghic format de muchia verticală, diagonala bazei și diagonala cubului.
Exemplu: Pentru a găsi unghiul dintre diagonala cubului și baza sa, se proiectează diagonala pe planul bazei (obținând diagonala bazei). Unghiul se calculează apoi folosind funcții trigonometrice în triunghiul dreptunghic format de muchia verticală, diagonala bazei și diagonala cubului.
Unghiul dintre două drepte (diagonale): Dacă se formează un triunghi ale cărui laturi sunt toate diagonale de fețe ale cubului, acel triunghi este echilateral (toate laturile au lungimea \( l\sqrt{2} \)). Prin urmare, unghiul dintre oricare două astfel de diagonale care pornesc din același vârf este de 60°.
Pentru a calcula distanța de la un punct la o dreaptă:
1. Se coboară o perpendiculară din punct pe un plan care conține dreapta.
2. Se coboară o perpendiculară din piciorul primei perpendiculare pe dreaptă.
3. Se aplică Teorema celor 3 perpendiculare pentru a demonstra distanța cerută.
4. Se calculează lungimea segmentului rezultat folosind Teorema lui Pitagora.
2. Se coboară o perpendiculară din piciorul primei perpendiculare pe dreaptă.
3. Se aplică Teorema celor 3 perpendiculare pentru a demonstra distanța cerută.
4. Se calculează lungimea segmentului rezultat folosind Teorema lui Pitagora.
Probleme de exersare
Nivel ușor: Calculează volumul și aria totală ale unui cub care are lungimea muchiei de \( 5 \) cm.
Cunoaștem muchia \( l = 5 \) cm.
Aria totală: \( \mathcal{A}_{tot} = 6 \cdot l^2 = 6 \cdot 5^2 = 6 \cdot 25 = 150 \) cm².
Volumul: \( \mathcal{V} = l^3 = 5^3 = 125 \) cm³.
Aria totală: \( \mathcal{A}_{tot} = 6 \cdot l^2 = 6 \cdot 5^2 = 6 \cdot 25 = 150 \) cm².
Volumul: \( \mathcal{V} = l^3 = 5^3 = 125 \) cm³.
Nivel mediu: Determină aria laterală a unui cub știind că lungimea diagonalei cubului este de \( 4\sqrt{3} \) cm.
Formula pentru diagonala cubului este \( d = l\sqrt{3} \).
Egalând formula cu valoarea dată, obținem: \( l\sqrt{3} = 4\sqrt{3} \Rightarrow l = 4 \) cm.
Aria laterală se calculează astfel: \( \mathcal{A}_{lat} = 4 \cdot l^2 = 4 \cdot 4^2 = 4 \cdot 16 = 64 \) cm².
Egalând formula cu valoarea dată, obținem: \( l\sqrt{3} = 4\sqrt{3} \Rightarrow l = 4 \) cm.
Aria laterală se calculează astfel: \( \mathcal{A}_{lat} = 4 \cdot l^2 = 4 \cdot 4^2 = 4 \cdot 16 = 64 \) cm².
Nivel dificil: Într-un cub cu muchia \( l = 6 \) cm, determină tangenta unghiului format de o diagonală a cubului cu planul bazei.
Fie cubul \( ABCDA'B'C'D' \) și diagonala sa \( BD' \).
Proiecția punctului \( D' \) pe planul bazei \( (ABC) \) este punctul \( D \). Proiecția punctului \( B \) este el însuși.
Așadar, proiecția dreptei \( BD' \) pe \( (ABC) \) este \( BD \) (diagonala bazei).
Unghiul căutat este \( \sphericalangle(BD', (ABC)) = \sphericalangle D'BD \).
În triunghiul dreptunghic \( \triangle D'DB \) (unde \( \sphericalangle D = 90^\circ \)):
Cateta opusă unghiului este muchia cubului: \( DD' = l = 6 \) cm.
Cateta alăturată este diagonala bazei: \( DB = l\sqrt{2} = 6\sqrt{2} \) cm.
Calculăm tangenta: \( \tan(\sphericalangle D'BD) = \frac{DD'}{DB} = \frac{6}{6\sqrt{2}} = \frac{1}{\sqrt{2}} = \frac{\sqrt{2}}{2} \).
Proiecția punctului \( D' \) pe planul bazei \( (ABC) \) este punctul \( D \). Proiecția punctului \( B \) este el însuși.
Așadar, proiecția dreptei \( BD' \) pe \( (ABC) \) este \( BD \) (diagonala bazei).
Unghiul căutat este \( \sphericalangle(BD', (ABC)) = \sphericalangle D'BD \).
În triunghiul dreptunghic \( \triangle D'DB \) (unde \( \sphericalangle D = 90^\circ \)):
Cateta opusă unghiului este muchia cubului: \( DD' = l = 6 \) cm.
Cateta alăturată este diagonala bazei: \( DB = l\sqrt{2} = 6\sqrt{2} \) cm.
Calculăm tangenta: \( \tan(\sphericalangle D'BD) = \frac{DD'}{DB} = \frac{6}{6\sqrt{2}} = \frac{1}{\sqrt{2}} = \frac{\sqrt{2}}{2} \).
