Lecția I.0.2 conține următoarele grupuri de exerciții:
I.0.2. Test De Evaluare Inițială – Algebră - Subiectul I
I.0.2. Test De Evaluare Inițială – Algebră - Subiectul II
I.0.2. Test De Evaluare Inițială – Algebră - Subiectul III
I.0.2. Test De Evaluare Inițială – Algebră - Subiectele IV Și V
I.0.2. Test De Evaluare Inițială – Geometrie - Subiectul I
I.0.2. Test De Evaluare Inițială – Geometrie - Subiectul II
I.0.2. Test De Evaluare Inițială – Geometrie - Subiectul III
I.0.2. Test De Evaluare Inițială – Geometrie - Subiectele IV Și V
Alege rezolvarea exercițiului:
Exercițiul 1 (gratuit)
Rezolvare scurtă
\( a = 6 + \sqrt{27} = 6 + \sqrt{9 \cdot 3} = 6 + 3\sqrt{3} = 3(2 + \sqrt{3}) \)
\( b = 5(2 - \sqrt{3}) + 2(\sqrt{3} - 2) = 5(2 - \sqrt{3}) - 2(2 - \sqrt{3}) \)
\( b = (5 - 2)(2 - \sqrt{3}) = 3(2 - \sqrt{3}) \)
\( m_g = \sqrt{a \cdot b} \)
\( m_g = \sqrt{3(2 + \sqrt{3}) \cdot 3(2 - \sqrt{3})} = \sqrt{9 \cdot (2 + \sqrt{3})(2 - \sqrt{3})} \)
\( m_g = \sqrt{9 \cdot (2^2 - (\sqrt{3})^2)} = \sqrt{9 \cdot (4 - 3)} = \sqrt{9 \cdot 1} = 3 \)
Răspuns corect: c) 3
Rezolvare detaliată
Analiza problemei
Pentru a găsi media geometrică a numerelor \( a \) și \( b \), trebuie mai întâi să simplificăm expresiile acestora. Media geometrică a două numere reale pozitive este definită prin formula \( m_g = \sqrt{a \cdot b} \).Pasul 1: Simplificarea numărului \( a \)
Numărul \( a \) este dat de expresia \( a = 6 + \sqrt{27} \). Vom scoate factorii de sub radical pentru \( \sqrt{27} \): \[ 27 = 9 \cdot 3 = 3^2 \cdot 3 \] Deci, \( \sqrt{27} = 3\sqrt{3} \). Expresia devine: \[ a = 6 + 3\sqrt{3} \] Putem da factor comun pe \( 3 \): \[ a = 3(2 + \sqrt{3}) \]Pasul 2: Simplificarea numărului \( b \)
Numărul \( b \) este dat de expresia \( b = 5(2 - \sqrt{3}) + 2(\sqrt{3} - 2) \). Observăm că în a doua paranteză avem \( (\sqrt{3} - 2) \), care este opusul lui \( (2 - \sqrt{3}) \). Putem scrie \( (\sqrt{3} - 2) = -(2 - \sqrt{3}) \). Expresia devine: \[ b = 5(2 - \sqrt{3}) - 2(2 - \sqrt{3}) \] Reducem termenii asemenea (avem \( 5 \) unități dintr-o paranteză minus \( 2 \) unități din aceeași paranteză): \[ b = (5 - 2)(2 - \sqrt{3}) \] \[ b = 3(2 - \sqrt{3}) \]Pasul 3: Calcularea mediei geometrice
Aplicăm formula \( m_g = \sqrt{a \cdot b} \) folosind formele simplificate: \[ m_g = \sqrt{3(2 + \sqrt{3}) \cdot 3(2 - \sqrt{3})} \] Grupăm factorii numerici și parantezele: \[ m_g = \sqrt{3 \cdot 3 \cdot (2 + \sqrt{3})(2 - \sqrt{3})} \] \[ m_g = \sqrt{9 \cdot (2 + \sqrt{3})(2 - \sqrt{3})} \]Pasul 4: Calcularea produsului parantezelor
Folosim formula diferenței de pătrate: \( (u + v)(u - v) = u^2 - v^2 \). Aici \( u = 2 \) și \( v = \sqrt{3} \): \[ (2 + \sqrt{3})(2 - \sqrt{3}) = 2^2 - (\sqrt{3})^2 = 4 - 3 = 1 \] Înlocuim în expresia mediei: \[ m_g = \sqrt{9 \cdot 1} = \sqrt{9} \] \[ m_g = 3 \]Concluzie
Rezultatul calculului este \( 3 \). Comparând cu variantele de răspuns din coloana B, acesta corespunde variantei c).Rezolvare scurtă:
\( a = 6 + 3\sqrt{3} = 3(2 + \sqrt{3}) \)
\( b = 5(2 - \sqrt{3}) - 2(2 - \sqrt{3}) = 3(2 - \sqrt{3}) \)
\( m_g = \sqrt{3(2 + \sqrt{3}) \cdot 3(2 - \sqrt{3})} = \sqrt{9 \cdot (4 - 3)} = \sqrt{9} = 3 \)
Răspuns: c)
