Cele mai importante aspecte ale lecției
Într-un paralelipiped dreptunghic cu dimensiunile \(a\) (lungime), \(b\) (lățime) și \(c\) (înălțime), rețineți următoarele 4 formule esențiale:
- Aria laterală: \( \mathcal{A}_{lat} = 2(a + b) \cdot c \)
- Aria totală: \( \mathcal{A}_{tot} = 2ab + 2ac + 2bc \)
- Volumul: \( \mathcal{V} = a \cdot b \cdot c \)
- Diagonala (\(d\)): \( d^2 = a^2 + b^2 + c^2 \)
Paralelipipedul dreptunghic este un corp geometric ale cărui fețe sunt toate dreptunghiuri.
Dimensiunile sale se notează de obicei cu \(a\) (lungimea bazei), \(b\) (lățimea bazei) și \(c\) (înălțimea corpului).
Distanțele și lungimile muchiilor se măsoară în unități liniare (ex. $\text{cm}$, $\text{m}$), ariile se măsoară în unități la pătrat (ex. $\text{cm}^2$, $\text{m}^2$), iar volumul în unități la cub (ex. $\text{cm}^3$, $\text{m}^3$).
Aria laterală reprezintă suma ariilor celor patru fețe laterale (care sunt dreptunghiuri).
\[ \mathcal{A}_{lat} = \mathcal{P}_{bază} \cdot h = 2(a + b) \cdot c \]
Aria totală este suma ariilor tuturor celor șase fețe (aria laterală plus aria celor două baze).
\[ \mathcal{A}_{tot} = 2ab + 2ac + 2bc \]
sau \( \mathcal{A}_{tot} = 2(ab + ac + bc) \)
Volumul indică spațiul ocupat de paralelipiped.
\[ \mathcal{V} = a \cdot b \cdot c \]
Dacă avem un paralelipiped cu \(a = 3\text{ cm}\), \(b = 4\text{ cm}\) și \(c = 5\text{ cm}\):
\( \mathcal{V} = 3 \cdot 4 \cdot 5 = 60\text{ cm}^3 \)
\( \mathcal{V} = 3 \cdot 4 \cdot 5 = 60\text{ cm}^3 \)
Diagonala paralelipipedului (notată cu \(d\)) este segmentul care unește două vârfuri opuse (ex. $AC'$ sau $BD'$).
\[ d = \sqrt{a^2 + b^2 + c^2} \]
sau \( d^2 = a^2 + b^2 + c^2 \)
Calculați lungimea diagonalei unui paralelipiped dreptunghic știind că dimensiunile sale sunt \(a = 5\text{ cm}\), \(b = 12\text{ cm}\) și \(c = 13\text{ cm}\).
Aplicăm formula diagonalei:
\[ d^2 = 5^2 + 12^2 + 13^2 \]
\[ d^2 = 25 + 144 + 169 = 338 \]
\[ d = \sqrt{338} = \sqrt{169 \cdot 2} = 13\sqrt{2}\text{ cm} \]
Pentru a calcula distanța de la un punct la o muchie sau o dreaptă în spațiu, se folosește frecvent Teorema celor trei perpendiculare pentru a construi distanța, urmată de Teorema lui Pitagora pentru a o calcula.
Proiecția unei diagonale a paralelipipedului pe planul bazei este chiar diagonala bazei (ex: proiecția lui $BD'$ pe planul $(ABC)$ este $BD$).
Pentru a afla unghiul dintre două plane, se caută o dreaptă perpendiculară pe unul din plane care este inclusă în celălalt plan. Dacă există, planele sunt perpendiculare (unghi de $90^\circ$).
Probleme practice
Ușoară: Determinați volumul și aria totală a unui paralelipiped dreptunghic cu dimensiunile de \(2\text{ cm}\), \(5\text{ cm}\), respectiv \(3\text{ cm}\).
Fie \(a = 5\text{ cm}\), \(b = 2\text{ cm}\), \(c = 3\text{ cm}\).
1. Volumul: \( \mathcal{V} = a \cdot b \cdot c = 5 \cdot 2 \cdot 3 = 30\text{ cm}^3 \).
2. Aria totală: \( \mathcal{A}_{tot} = 2(ab + ac + bc) = 2(5\cdot 2 + 5\cdot 3 + 2\cdot 3) = 2(10 + 15 + 6) = 2 \cdot 31 = 62\text{ cm}^2 \).
1. Volumul: \( \mathcal{V} = a \cdot b \cdot c = 5 \cdot 2 \cdot 3 = 30\text{ cm}^3 \).
2. Aria totală: \( \mathcal{A}_{tot} = 2(ab + ac + bc) = 2(5\cdot 2 + 5\cdot 3 + 2\cdot 3) = 2(10 + 15 + 6) = 2 \cdot 31 = 62\text{ cm}^2 \).
Medie: Dacă volumul unui paralelipiped dreptunghic este \(900\text{ cm}^3\), iar două dintre dimensiuni sunt de \(9\text{ cm}\), respectiv \(4\text{ cm}\), determinați lungimea diagonalei paralelipipedului.
Fie \(a = 9\text{ cm}\), \(b = 4\text{ cm}\). Știm că \( \mathcal{V} = a \cdot b \cdot c \).
\( 900 = 9 \cdot 4 \cdot c \Rightarrow 900 = 36 \cdot c \Rightarrow c = 900 : 36 = 25\text{ cm} \).
Calculăm diagonala:
\( d = \sqrt{a^2 + b^2 + c^2} = \sqrt{9^2 + 4^2 + 25^2} = \sqrt{81 + 16 + 625} = \sqrt{722} \).
Deoarece \( 722 = 361 \cdot 2 \), obținem \( d = 19\sqrt{2}\text{ cm} \).
\( 900 = 9 \cdot 4 \cdot c \Rightarrow 900 = 36 \cdot c \Rightarrow c = 900 : 36 = 25\text{ cm} \).
Calculăm diagonala:
\( d = \sqrt{a^2 + b^2 + c^2} = \sqrt{9^2 + 4^2 + 25^2} = \sqrt{81 + 16 + 625} = \sqrt{722} \).
Deoarece \( 722 = 361 \cdot 2 \), obținem \( d = 19\sqrt{2}\text{ cm} \).
Dificilă: Într-un paralelipiped dreptunghic $ABCDA'B'C'D'$, lungimea este \(AB = 8\text{ cm}\), lățimea este \(BC = 5\text{ cm}\), iar înălțimea este \(AA' = 6\text{ cm}\). Determinați distanța de la punctul $A'$ la muchia $BC$.
Trebuie să găsim perpendiculara din $A'$ pe dreapta $BC$. Folosim Teorema celor trei perpendiculare (T3P):
\( AA' \perp (ABC) \)
\( AB \perp BC \) (deoarece baza $ABCD$ este dreptunghi)
\( AB, BC \subset (ABC) \)
Din acestea rezultă, conform T3P, că \( A'B \perp BC \). Prin urmare, distanța cerută este lungimea segmentului $A'B$.
În triunghiul dreptunghic $\triangle A'AB$ (\(\measuredangle A = 90^\circ\)), aplicăm Teorema lui Pitagora:
\( A'B^2 = A'A^2 + AB^2 = 6^2 + 8^2 = 36 + 64 = 100 \).
Deci, \( A'B = \sqrt{100} = 10\text{ cm} \). Distanța este de $10\text{ cm}$.
\( AA' \perp (ABC) \)
\( AB \perp BC \) (deoarece baza $ABCD$ este dreptunghi)
\( AB, BC \subset (ABC) \)
Din acestea rezultă, conform T3P, că \( A'B \perp BC \). Prin urmare, distanța cerută este lungimea segmentului $A'B$.
În triunghiul dreptunghic $\triangle A'AB$ (\(\measuredangle A = 90^\circ\)), aplicăm Teorema lui Pitagora:
\( A'B^2 = A'A^2 + AB^2 = 6^2 + 8^2 = 36 + 64 = 100 \).
Deci, \( A'B = \sqrt{100} = 10\text{ cm} \). Distanța este de $10\text{ cm}$.
