Alege rezolvarea exercițiului:
Exercițiul 1 (gratuit)
Rezolvare scurtă
A
\(A = \{ x \in \mathbb{R} \mid -\sqrt{2} < x \le \sqrt{3} \}\) \(A = (-\sqrt{2}, \sqrt{3}]\)B
\(B = \{ x \in \mathbb{Z} \mid -\sqrt{2} < x \le \sqrt{3} \}\) \(-\sqrt{2} \approx -1,41\) \(\sqrt{3} \approx 1,73\) \(-1,41 < x \le 1,73, x \in \mathbb{Z}\) \(B = \{-1, 0, 1\}\)C
\(C = \{ x \in \mathbb{N}^* \mid -\sqrt{2} < x \le \sqrt{3} \}\) \(x \in \{-1, 0, 1\} \cap \mathbb{N}^*\) \(C = \{1\}\)Rezolvare detaliată
Analiza intervalului de numere reale
Pentru a determina elementele mulțimilor date, trebuie mai întâi să aproximăm valorile radicalilor care definesc limitele intervalului: \(\sqrt{2} \approx 1,41\), deci \(-\sqrt{2} \approx -1,41\). \(\sqrt{3} \approx 1,73\). Condiția comună pentru toate cele trei mulțimi este \(-\sqrt{2} < x \le \sqrt{3}\), ceea ce se traduce aproximativ prin \(-1,41 < x \le 1,73\).Determinarea mulțimii A
Mulțimea \(A\) conține toate numerele reale (\(\mathbb{R}\)) care satisfac inegalitatea. Aceasta reprezintă un interval pe axa numerelor. Deoarece avem \(<\) la limita inferioară, intervalul este deschis la stânga. Deoarece avem \(\le\) la limita superioară, intervalul este închis la dreapta. Așadar, \(A = (-\sqrt{2}, \sqrt{3}]\).Determinarea mulțimii B
Mulțimea \(B\) conține toate numerele întregi (\(\mathbb{Z}\)) din intervalul menționat. Căutăm numerele \(x \in \mathbb{Z}\) astfel încât \(-1,41 < x \le 1,73\). Numerele întregi care verifică această condiție sunt: \(-1, 0, 1\). Așadar, \(B = \{-1, 0, 1\}\).Determinarea mulțimii C
Mulțimea \(C\) conține toate numerele naturale nenule (\(\mathbb{N}^*\)) din același interval. Știm că \(\mathbb{N}^* = \{1, 2, 3, \dots\}\). Din numerele identificate anterior pentru mulțimea \(B\), singurul care este număr natural nenul este \(1\). Așadar, \(C = \{1\}\).Rezolvare scurtă:
\(A = \{ x \in \mathbb{R} \mid -\sqrt{2} < x \le \sqrt{3} \} \implies A = (-\sqrt{2}, \sqrt{3}]\)
\(B = \{ x \in \mathbb{Z} \mid -1,41 < x \le 1,73 \} \implies B = \{-1, 0, 1\}\)
\(C = \{ x \in \mathbb{N}^* \mid -1,41 < x \le 1,73 \} \implies C = \{1\}\)
