Cele mai importante aspecte ale lecției
- Cilindrul circular drept se obține prin rotirea unui dreptunghi. Suprafața sa laterală se desfășoară sub forma unui dreptunghi având dimensiunile \( G \) (generatoarea) și \( 2\pi R \) (lungimea cercului bazei).
- Conul circular drept se obține prin rotirea unui triunghi dreptunghic. Suprafața sa laterală se desfășoară sub forma unui sector de cerc cu raza \( G \) (generatoarea) și lungimea arcului \( 2\pi R \). Unghiul acestui sector se calculează cu relația \( u = 360^{\circ} \cdot \frac{R}{G} \).
Un cilindru circular drept se obține prin rotația completă a unui dreptunghi în jurul uneia dintre laturile sale.
Bazele cilindrului: Două discuri paralele și congruente de rază \( R \).
Axa de rotație: Dreapta care trece prin centrele celor două baze (\( OO' \)).
Generatoarea (\( G \)): Orice segment de pe suprafața laterală, paralel cu axa de rotație, care unește cele două baze. Lungimea sa este egală cu distanța dintre baze.
Cilindrul se numește drept deoarece orice generatoare este perpendiculară pe razele bazelor în punctele de contact.
Prin desfășurarea suprafeței laterale a unui cilindru pe un plan, se obține o suprafață dreptunghiulară.
Dimensiunile dreptunghiului obținut prin desfășurarea suprafeței laterale sunt:
- O latură este egală cu generatoarea cilindrului (\( G \)).
- Cealaltă latură este egală cu lungimea cercului bazei (\( 2\pi R \)).
Dacă un cilindru are raza bazei \( R = 5 \text{ cm} \) și generatoarea \( G = 10 \text{ cm} \), dreptunghiul obținut prin desfășurarea suprafeței laterale va avea lățimea de \( 10 \text{ cm} \) și lungimea de \( 2 \cdot \pi \cdot 5 = 10\pi \text{ cm} \).
Un con circular drept se obține prin rotația completă a unui triunghi dreptunghic în jurul uneia dintre catetele sale.
Baza conului: Un disc de rază \( R \).
Vârful (apexul): Punctul superior al conului (\( V \)), opus bazei.
Axa de rotație: Dreapta determinată de vârf și centrul bazei (\( VO \)).
Generatoarea (\( G \)): Segmentul care unește vârful conului cu oricare punct de pe cercul bazei.
Conul se numește drept deoarece axa sa de rotație este perpendiculară pe planul bazei. Într-un con circular drept, raza \( R \), înălțimea conului (segmentul \( VO \)) și generatoarea \( G \) formează un triunghi dreptunghic.
Prin desfășurarea suprafeței laterale a unui con pe un plan, se obține un sector de cerc.
Elementele sectorului de cerc obținut din desfășurarea suprafeței laterale:
- Raza sectorului de cerc este egală cu generatoarea conului (\( G \)).
- Lungimea arcului de cerc este egală cu lungimea cercului bazei (\( 2\pi R \)).
Calculul măsurii unghiului sectorului de cerc (\( u \)) care reprezintă desfășurarea laterală:
\[ u = 360^{\circ} \cdot \frac{R}{G} \]
Probleme de antrenament
Ușoară: Un cilindru circular drept are raza bazei \( R = 4 \text{ cm} \) și generatoarea \( G = 7 \text{ cm} \). Care sunt dimensiunile dreptunghiului obținut prin desfășurarea suprafeței sale laterale?
Identificăm prima dimensiune a dreptunghiului, care este egală cu generatoarea: \( l = G = 7 \text{ cm} \).
Calculăm a doua dimensiune, care este egală cu lungimea cercului bazei: \( L = 2\pi R = 2 \cdot \pi \cdot 4 = 8\pi \text{ cm} \).
Răspuns: Dreptunghiul are dimensiunile de \( 7 \text{ cm} \) și \( 8\pi \text{ cm} \).
Medie: Un con circular drept se obține prin rotirea unui triunghi dreptunghic cu catetele de \( 6 \text{ cm} \) și \( 8 \text{ cm} \) în jurul catetei de \( 8 \text{ cm} \). Determinați raza bazei și lungimea generatoarei conului obținut.
Deoarece rotația se face în jurul catetei de \( 8 \text{ cm} \), aceasta devine axa conului. Cealaltă catetă, de \( 6 \text{ cm} \), va descrie baza. Deci raza bazei este \( R = 6 \text{ cm} \).
Generatoarea conului (\( G \)) corespunde ipotenuzei triunghiului dreptunghic rotit. Aplicăm Teorema lui Pitagora: \( G^2 = 6^2 + 8^2 = 36 + 64 = 100 \).
Extragem radicalul: \( G = \sqrt{100} = 10 \text{ cm} \).
Răspuns: \( R = 6 \text{ cm} \), \( G = 10 \text{ cm} \).
Medie: Măsura unghiului sectorului de cerc obținut prin desfășurarea suprafeței laterale a unui con este de \( 120^{\circ} \). Dacă raza bazei conului este \( R = 5 \text{ cm} \), aflați lungimea generatoarei \( G \).
Folosim formula pentru unghiul la centru al desfășurării: \( u = 360^{\circ} \cdot \frac{R}{G} \).
Înlocuim valorile cunoscute: \( 120^{\circ} = 360^{\circ} \cdot \frac{5}{G} \).
Rezolvăm ecuația: \( \frac{120}{360} = \frac{5}{G} \Rightarrow \frac{1}{3} = \frac{5}{G} \Rightarrow G = 3 \cdot 5 = 15 \text{ cm} \).
Răspuns: Generatoarea are lungimea de \( 15 \text{ cm} \).
Dificilă: Dintr-o foaie de carton având forma unui semicerc cu raza de \( 18 \text{ cm} \) se confecționează suprafața laterală a unui con circular drept (prin lipirea razelor care delimitează semicercul). Determinați raza bazei conului format.
Raza semicercului de carton devine generatoarea conului. Prin urmare, \( G = 18 \text{ cm} \).
Arcul semicercului devine, după înfășurare, cercul bazei conului. Lungimea arcului unui semicerc este jumătate din lungimea unui cerc întreg: \( L_{arc} = \frac{2\pi \cdot r_{semicerc}}{2} = \pi \cdot 18 = 18\pi \text{ cm} \).
Lungimea cercului bazei conului este \( 2\pi R \). Egalăm cele două valori: \( 2\pi R = 18\pi \).
Împărțim la \( 2\pi \) pentru a afla \( R \): \( R = \frac{18\pi}{2\pi} = 9 \text{ cm} \).
Răspuns: Raza bazei conului format este \( 9 \text{ cm} \).
