Cele mai importante aspecte ale lecției
- Adunarea combină termenii pentru a obține o sumă: \( a + b = S \).
- Proprietăți fundamentale:
- Comutativitate: \( a + b = b + a \)
- Asociativitate: \( (a + b) + c = a + (b + c) \)
- Element neutru: \( a + 0 = a \)
- Suma lui Gauss: Se aplică pentru suma numerelor de la \( 1 \) la \( n \): \( S = \frac{n(n+1)}{2} \). Exemplu: \( 1 + 2 + \dots + 10 = \frac{10 \cdot 11}{2} = 55 \).
- Paritate: Termenii de aceeași paritate dau o sumă pară (\( \text{impar} + \text{impar} = \text{par} \)), iar cei de parități diferite dau o sumă impară (\( \text{par} + \text{impar} = \text{impar} \)).
Rezultatul adunării a două sau mai multe numere se numește sumă, iar numerele care se adună se numesc termeni.
\[ \underbrace{a}_{\text{termen}} + \underbrace{b}_{\text{termen}} = \underbrace{S}_{\text{sumă}} \]
Pentru mai mulți termeni: \( S = t_1 + t_2 + t_3 + \dots + t_n \)
Trecerea peste ordin: Atunci când adunăm cifrele de același ordin (de la dreapta la stânga) și obținem un rezultat mai mare sau egal cu \(10\), grupa de \(10\) unități se transformă într-o unitate de ordin imediat superior (pe care o adunăm la coloana următoare).
Să calculăm \( 1\,058 + 283 \):
- Unități: \( 8 + 3 = 11 \) (scriem \(1\), reținem \(1\) unitate de ordin superior)
- Zeci: \( 5 + 8 + 1 \text{ (reținut)} = 14 \) (scriem \(4\), reținem \(1\))
- Sute: \( 0 + 2 + 1 \text{ (reținut)} = 3 \) (scriem \(3\))
- Mii: \( 1 \)
- Rezultat: \( 1\,341 \)
Calculați suma: \( 4\,876 + 5\,164 \).
Efectuăm adunarea de la dreapta la stânga:
- Unități: \( 6 + 4 = 10 \rightarrow \) scriem \(0\), reținem \(1\)
- Zeci: \( 7 + 6 + 1 = 14 \rightarrow \) scriem \(4\), reținem \(1\)
- Sute: \( 8 + 1 + 1 = 10 \rightarrow \) scriem \(0\), reținem \(1\)
- Mii: \( 4 + 5 + 1 = 10 \rightarrow \) scriem \(10\)
Comutativitatea: Schimbarea ordinii termenilor nu modifică suma.
\[ a + b = b + a \]
Asociativitatea: Gruparea termenilor în moduri diferite nu modifică valoarea sumei.
\[ (a + b) + c = a + (b + c) \]
Elementul neutru: Numărul \( 0 \) este elementul neutru la adunare. Orice număr adunat cu \( 0 \) își păstrează valoarea.
\[ a + 0 = 0 + a = a \]
Proprietățile ne permit să grupăm termenii convenabil pentru a calcula mai ușor:
\[ 99 + 46 + 198 + 1 + 54 + 2 = (99 + 1) + (46 + 54) + (198 + 2) = 100 + 100 + 200 = 400 \]
Calculați convenabil suma: \( 147 + 250 + 53 \).
Grupăm termenii folosind comutativitatea și asociativitatea:
\[ (147 + 53) + 250 = 200 + 250 = 450 \]
Suma primelor \( n \) numere naturale consecutive se numește Suma lui Gauss.
\[ S = 1 + 2 + 3 + \dots + n = \frac{n \cdot (n + 1)}{2} \]
Alternativ, se poate scrie: \( [n \cdot (n + 1)] : 2 \)
Să calculăm suma primelor 100 de numere naturale consecutive (\( n = 100 \)):
\[ S = 1 + 2 + 3 + \dots + 100 = \frac{100 \cdot (100 + 1)}{2} = \frac{100 \cdot 101}{2} = 50 \cdot 101 = 5\,050 \]
Dacă suma nu începe de la \( 1 \), o putem calcula ca diferență de două sume Gauss:
\[ 11 + 12 + \dots + 20 = (1 + 2 + \dots + 20) - (1 + 2 + \dots + 10) \]
\[ = \frac{20 \cdot 21}{2} - \frac{10 \cdot 11}{2} = 210 - 55 = 155 \]
Calculați suma: \( 1 + 2 + 3 + \dots + 50 \).
Aplicăm formula pentru \( n = 50 \):
\[ S = \frac{50 \cdot (50 + 1)}{2} = \frac{50 \cdot 51}{2} = 25 \cdot 51 = 1\,275 \]
Un număr natural este par dacă are ultima cifră \( 0, 2, 4, 6, 8 \), și este impar dacă are ultima cifră \( 1, 3, 5, 7, 9 \).
Regulile de paritate pentru sumă:
- Dacă termenii au aceeași paritate, suma este întotdeauna un număr par:
- \( \text{par} + \text{par} = \text{par} \) (Exemplu: \( 302 + 156 = 458 \))
- \( \text{impar} + \text{impar} = \text{par} \) (Exemplu: \( 479 + 267 = 746 \))
- Dacă termenii au parități diferite, suma este întotdeauna un număr impar:
- \( \text{par} + \text{impar} = \text{impar} \) (Exemplu: \( 438 + 507 = 945 \))
- \( \text{impar} + \text{par} = \text{impar} \) (Exemplu: \( 507 + 438 = 945 \))
Fără a efectua calculul, determinați dacă suma \( 234\,567 + 891\,235 \) este pară sau impară.
Identificăm paritatea termenilor:
- \( 234\,567 \) se termină în \( 7 \), deci este un număr impar.
- \( 891\,235 \) se termină în \( 5 \), deci este un număr impar.
Probleme practice
Problemă ușoară: Determinați paritatea sumei \( S = 124 + 567 + 890 + 131 \) fără a o calcula efectiv.
Analizăm paritatea fiecărui termen:
Răspuns: Suma este un număr par.
- \( 124 \) este par
- \( 567 \) este impar
- \( 890 \) este par
- \( 131 \) este impar
- \( 124 \text{ (par)} + 890 \text{ (par)} = \text{număr par} \)
- \( 567 \text{ (impar)} + 131 \text{ (impar)} = \text{număr par} \)
Răspuns: Suma este un număr par.
Problemă medie: Calculați rapid suma convenabilă:
\[ S = 1\,485 + 2\,784 + 1\,515 + 2\,216 \]
Grupăm termenii care adunați formează sute sau mii rotunde:
\[ S = (1\,485 + 1\,515) + (2\,784 + 2\,216) \]
Calculăm fiecare paranteză în parte:
- \( 1\,485 + 1\,515 = 3\,000 \)
- \( 2\,784 + 2\,216 = 5\,000 \)
Problemă dificilă: Determinați cifrele distincte \( a \), \( b \) și \( c \) din următoarea egalitate:
\[ \overline{2acb} + \overline{58bb} = \overline{829c} \]
Scriem adunarea pe coloane:
\[
\begin{array}{c@{\quad}c@{\quad}c@{\quad}c@{\quad}c}
2 & a & c & b & + \\
5 & 8 & b & b & \\
\hline
8 & 2 & 9 & c &
\end{array}
\]
- Coloana miilor: Avem \( 2 + 5 = 7 \), dar rezultatul este \( 8 \). Acest lucru înseamnă că a existat un transport (o unitate în plus) de la coloana sutelor. Deci \( 2 + 5 + 1 = 8 \).
- Coloana sutelor: Suma este \( a + 8 + (\text{eventualul transport de la zeci}) = 12 \) (pentru a avea cifra \( 2 \) și transportul de \( 1 \) la mii).
- Coloana unităților: Avem \( b + b = c \) sau \( b + b = 10 + c \). Presupunem \( b + b = c \) (fără transport la zeci). De aici, \( c \) trebuie să fie o cifră pară.
- Coloana zecilor: Avem \( c + b = 9 \) (fără transport de la unități și fără a depăși pentru a trimite transport la sute). Înlocuind \( c = 2b \) în această relație, obținem: \[ 2b + b = 9 \Rightarrow 3b = 9 \Rightarrow b = 3 \] Dacă \( b = 3 \), atunci \( c = 2 \cdot 3 = 6 \).
- Verificăm dacă datele se potrivesc pentru coloana sutelor: Deoarece la zeci am avut \( c + b = 6 + 3 = 9 \), nu avem transport către sute. Atunci: \( a + 8 = 12 \Rightarrow a = 4 \).
