Cele mai importante aspecte ale lecției
- Împărțirea exactă: Reprezintă o scădere repetată în urma căreia se obține restul 0.
- Relația fundamentală: \( a : b = c \) înseamnă că \( a = b \cdot c \), unde \( b \neq 0 \).
- Factori: \( a \) este deîmpărțitul, \( b \) este împărțitorul, iar \( c \) este câtul.
- Proba: Se efectuează prin înmulțire (\( b \cdot c = a \)) sau prin împărțire (\( a : c = b \)).
- Proprietate esențială: Împărțirea la zero nu este posibilă!
Împărțirea exactă (cu rest 0) a două numere naturale poate fi înțeleasă ca o scădere repetată a aceluiași număr până când se obține restul 0.
\[ a : b = c, \quad b \neq 0 \]
Elementele componente ale unei împărțiri se numesc factorii împărțirii:
- \( a \) (deîmpărțit): numărul care se împarte;
- \( b \) (împărțitor): numărul la care se împarte;
- \( c \) (cât): rezultatul împărțirii.
Pentru a împărți \( 120 \) de elevi în grupuri de câte \( 30 \), scădem repetat:
\[ 120 - 30 - 30 - 30 - 30 = 0 \]
Deoarece s-au efectuat \( 4 \) scăderi, rezultatul împărțirii este:
\[ 120 : 30 = 4 \]
Împărțirea la 0 nu are sens! Împărțitorul \( b \) trebuie să fie întotdeauna diferit de zero (\( b \neq 0 \)).
Împărțirea lui \( 0 \) la orice număr natural nenul \( n \) are ca rezultat tot \( 0 \):
\[ 0 : n = 0, \quad \text{pentru orice } n \neq 0 \]
Proba împărțirii exacte se poate face în două moduri:
- Prin înmulțire: \( \text{cât} \cdot \text{împărțitor} = \text{deîmpărțit} \) \( (c \cdot b = a) \)
- Prin împărțire: \( \text{deîmpărțit} : \text{cât} = \text{împărțitor} \) \( (a : c = b) \)
Pentru împărțirea \( 120 : 30 = 4 \), proba se face prin:
\[ 120 : 4 = 30 \quad \text{sau} \quad 30 \cdot 4 = 120 \]
Pentru a calcula câtul numerelor mari (de exemplu \( 27\,542 : 47 \)), se folosește un algoritm de calcul în mai mulți pași:
Se selectează primele cifre ale deîmpărțitului pentru a forma un număr mai mare sau egal cu împărțitorul.
Exemplu: Luăm \( 275 \) (deoarece \( 27 \) este mai mic decât \( 47 \)) și aproximăm câtul: \( 275 : 47 \approx 5 \).
Exemplu: Luăm \( 275 \) (deoarece \( 27 \) este mai mic decât \( 47 \)) și aproximăm câtul: \( 275 : 47 \approx 5 \).
Se înmulțește aproximarea cu împărțitorul și se scade din numărul selectat pentru a obține restul parțial.
Exemplu: \( 5 \cdot 47 = 235 \). Calculăm diferența: \( 275 - 235 = 40 \).
Exemplu: \( 5 \cdot 47 = 235 \). Calculăm diferența: \( 275 - 235 = 40 \).
Se coboară următoarea cifră a deîmpărțitului lângă restul obținut și se reia procesul de aproximare.
Exemplu: Coborâm pe \( 4 \) lângă \( 40 \) și obținem \( 404 \). Aproximăm: \( 404 : 47 \approx 8 \). Calculăm \( 8 \cdot 47 = 376 \) și scădem: \( 404 - 376 = 28 \).
Exemplu: Coborâm pe \( 4 \) lângă \( 40 \) și obținem \( 404 \). Aproximăm: \( 404 : 47 \approx 8 \). Calculăm \( 8 \cdot 47 = 376 \) și scădem: \( 404 - 376 = 28 \).
Se repetă pașii până când s-au coborât toate cifrele deîmpărțitului, iar restul final este \( 0 \).
Exemplu: Coborâm ultima cifră, pe \( 2 \), obținând \( 282 \). Calculăm \( 282 : 47 = 6 \). Deoarece \( 6 \cdot 47 = 282 \), restul final este \( 0 \). Câtul este \( 586 \).
Exemplu: Coborâm ultima cifră, pe \( 2 \), obținând \( 282 \). Calculăm \( 282 : 47 = 6 \). Deoarece \( 6 \cdot 47 = 282 \), restul final este \( 0 \). Câtul este \( 586 \).
Probleme practice
Problema 1 (Dificultate: Ușoară)
Efectuați împărțirea \( 3\,800 : 25 \) și realizați proba prin înmulțire.
Efectuați împărțirea \( 3\,800 : 25 \) și realizați proba prin înmulțire.
Efectuăm împărțirea:
\[ 3\,800 : 25 = 152 \]
Realizăm proba prin înmulțire:
\[ 152 \cdot 25 = 3\,800 \]
Împărțirea este corectă.
Problema 2 (Dificultate: Medie)
De câte ori este mai mare câtul numerelor \( 65\,780 \) și \( 46 \) decât numărul natural \( 26 \)?
De câte ori este mai mare câtul numerelor \( 65\,780 \) și \( 46 \) decât numărul natural \( 26 \)?
Pasul 1: Calculăm câtul celor două numere:
\[ 65\,780 : 46 = 1\,430 \]
Pasul 2: Aflăm de câte ori este mai mare numărul obținut față de \( 26 \), împărțindu-l la acesta:
\[ 1\,430 : 26 = 55 \]
Răspuns: Câtul este de \( 55 \) de ori mai mare decât \( 26 \).
Problema 3 (Dificultate: Dificilă)
Arătați că numerele \( a = 1\,656 \) și \( b = 2\,254 \) se împart exact la \( 23 \) și verificați dacă suma lor \( a + b \) se împarte, de asemenea, exact la \( 23 \).
Arătați că numerele \( a = 1\,656 \) și \( b = 2\,254 \) se împart exact la \( 23 \) și verificați dacă suma lor \( a + b \) se împarte, de asemenea, exact la \( 23 \).
Pasul 1: Verificăm dacă \( a \) se împarte exact la \( 23 \):
\[ 1\,656 : 23 = 72 \quad (\text{rest } 0) \]
Pasul 2: Verificăm dacă \( b \) se împarte exact la \( 23 \):
\[ 2\,254 : 23 = 98 \quad (\text{rest } 0) \]
Ambele numere se împart exact la \( 23 \).
Pasul 3: Calculăm suma \( a + b \):
\[ a + b = 1\,656 + 2\,254 = 3\,910 \]
Pasul 4: Verificăm dacă suma se împarte exact la \( 23 \):
\[ 3\,910 : 23 = 170 \quad (\text{rest } 0) \]
Concluzie: Deoarece ambele numere se împart exact la \( 23 \), și suma lor se împarte exact la \( 23 \).
