Cele mai importante aspecte ale lecției
Reguli cheie pentru puteri:
- Baze egale: La înmulțire se adună exponenții \( (a^m \cdot a^n = a^{m+n}) \), iar la împărțire se scad \( (a^m : a^n = a^{m-n}) \).
- Puterea unei puteri: Se înmulțesc exponenții \( ((a^m)^n = a^{m \cdot n}) \).
- Exponenți egali: Puterea se distribuie la produs/cât: \( (a \cdot b)^n = a^n \cdot b^n \), respectiv \( (a : b)^n = a^n : b^n \).
- Pătrate perfecte: Orice putere cu exponent par este pătrat perfect, adică are forma \( (a^n)^2 = a^{2n} \).
- Factor comun: Sumele de puteri de tipul \( a^{n+k} + a^n \) se rezolvă dând factor comun pe \( a^n \).
Pentru a ușura calculele cu puteri care au aceeași bază sau același exponent, aplicăm o serie de reguli de calcul fundamentale.
| Regulă | Formulă | Exemplu |
|---|---|---|
| Înmulțirea puterilor cu aceeași bază Se scrie baza și se adună exponenții. |
\[ a^m \cdot a^n = a^{m+n} \] | \( 3^5 \cdot 3^4 = 3^{5+4} = 3^9 \) \( 5^4 \cdot 5 = 5^{4+1} = 5^5 \) |
| Împărțirea puterilor cu aceeași bază Se scrie baza și se scad exponenții. |
\[ a^m : a^n = a^{m-n} \] (unde \( a \neq 0, m \ge n \)) |
\( 7^8 : 7^6 = 7^{8-6} = 7^2 = 49 \) \( 3^4 : 3 = 3^{4-1} = 3^3 = 27 \) |
| Puterea unei puteri Se scrie baza și se înmulțesc exponenții. |
\[ (a^m)^n = a^{m \cdot n} \] | \( (15^6)^2 = 15^{6 \cdot 2} = 15^{12} \) \( (37^{63})^0 = 37^0 = 1 \) |
| Puterea unui produs Se ridică la putere fiecare factor al produsului. |
\[ (a \cdot b)^n = a^n \cdot b^n \] | \( (2 \cdot 3)^2 = 2^2 \cdot 3^2 = 4 \cdot 9 = 36 \) |
| Puterea unui cât Se ridică la putere fiecare factor al câtului. |
\[ (a : b)^n = a^n : b^n \] (unde \( b \neq 0 \)) |
\( (35 : 7)^4 = 35^4 : 7^4 = 5^4 = 625 \) |
Efectuați, aplicând regulile de calcul: \( (3^6)^2 \cdot (9^4)^4 : (81^5)^2 \).
Aducem toate puterile la aceeași bază, care este \( 3 \):
\( (3^6)^2 = 3^{6 \cdot 2} = 3^{12} \)
\( (9^4)^4 = 9^{16} = (3^2)^{16} = 3^{32} \)
\( (81^5)^2 = 81^{10} = (3^4)^{10} = 3^{40} \)
Înlocuim în expresia inițială: \[ 3^{12} \cdot 3^{32} : 3^{40} = 3^{12+32} : 3^{40} = 3^{44} : 3^{40} = 3^{44-40} = 3^4 = 81 \]
\( (3^6)^2 = 3^{6 \cdot 2} = 3^{12} \)
\( (9^4)^4 = 9^{16} = (3^2)^{16} = 3^{32} \)
\( (81^5)^2 = 81^{10} = (3^4)^{10} = 3^{40} \)
Înlocuim în expresia inițială: \[ 3^{12} \cdot 3^{32} : 3^{40} = 3^{12+32} : 3^{40} = 3^{44} : 3^{40} = 3^{44-40} = 3^4 = 81 \]
Un număr este pătrat perfect dacă poate fi scris sub forma unei puteri cu exponentul 2 (un număr ridicat la pătrat).
Proprietatea 1: Orice putere cu exponent par este pătrat perfect:
\[ a^{2n} = (a^n)^2 \]
Exemplu: \( 10^6 = 10^{2 \cdot 3} = (10^3)^2 = (1\,000)^2 \) (deci \( 10^6 \) este pătrat perfect).
Proprietatea 2: Produsul a două sau mai multor pătrate perfecte este tot un pătrat perfect:
\[ a^2 \cdot b^2 = (a \cdot b)^2 \]
Exemplu: \( 3^4 \cdot 10^6 = (3^2)^2 \cdot (10^3)^2 = 9^2 \cdot 1\,000^2 = (9 \cdot 1\,000)^2 = 9\,000^2 \).
Arătați că numărul \( A = 25^{13} \) este pătrat perfect.
Scriem baza \( 25 \) ca \( 5^2 \):
\[ A = (5^2)^{13} = 5^{2 \cdot 13} = 5^{26} \]
Deoarece exponentul \( 26 \) este par, putem scrie:
\[ 5^{26} = (5^{13})^2 \]
Prin urmare, \( A \) este pătratul numărului \( 5^{13} \), deci este pătrat perfect.
Atunci când avem sume sau diferențe de puteri cu baze egale și exponenți diferiți, descompunem puterile folosind regulile de calcul și dăm factor comun puterea cu exponentul cel mai mic.
Exemplu: Simplificați expresia \( 7^{n+3} + 3 \cdot 7^{n+1} - 4 \cdot 7^n \).
Rezolvare: Scriem termenii desfășurat: \[ 7^{n+3} = 7^n \cdot 7^3 \] \[ 7^{n+1} = 7^n \cdot 7^1 \] Înlocuim în expresie și dăm factor comun pe \( 7^n \): \[ 7^n \cdot 7^3 + 3 \cdot 7^n \cdot 7^1 - 4 \cdot 7^n = 7^n \cdot (7^3 + 3 \cdot 7 - 4) \] Efectuăm calculele din paranteză: \[ 7^n \cdot (343 + 21 - 4) = 7^n \cdot 360 = 360 \cdot 7^n \]
Exemplu: Simplificați expresia \( 7^{n+3} + 3 \cdot 7^{n+1} - 4 \cdot 7^n \).
Rezolvare: Scriem termenii desfășurat: \[ 7^{n+3} = 7^n \cdot 7^3 \] \[ 7^{n+1} = 7^n \cdot 7^1 \] Înlocuim în expresie și dăm factor comun pe \( 7^n \): \[ 7^n \cdot 7^3 + 3 \cdot 7^n \cdot 7^1 - 4 \cdot 7^n = 7^n \cdot (7^3 + 3 \cdot 7 - 4) \] Efectuăm calculele din paranteză: \[ 7^n \cdot (343 + 21 - 4) = 7^n \cdot 360 = 360 \cdot 7^n \]
Pentru a calcula o sumă de puteri consecutive de forma \( S = 1 + a + a^2 + a^3 + \dots + a^n \), înmulțim întreaga sumă cu baza \( a \) și scădem apoi suma inițială din cea obținută.
Exemplu: Calculați \( s = 1 + 2 + 2^2 + 2^3 + \dots + 2^{27} \).
Rezolvare: Înmulțim suma \( s \) cu baza \( 2 \): \[ 2s = 2 + 2^2 + 2^3 + 2^4 + \dots + 2^{27} + 2^{28} \] Observăm că primii termeni ai lui \( 2s \) reprezintă chiar \( s - 1 \): \[ 2 + 2^2 + 2^3 + \dots + 2^{27} = s - 1 \] Înlocuim această parte în relația lui \( 2s \): \[ 2s = (s - 1) + 2^{28} \] Scăzând \( s \) din ambele părți, obținem: \[ s = 2^{28} - 1 \]
Exemplu: Calculați \( s = 1 + 2 + 2^2 + 2^3 + \dots + 2^{27} \).
Rezolvare: Înmulțim suma \( s \) cu baza \( 2 \): \[ 2s = 2 + 2^2 + 2^3 + 2^4 + \dots + 2^{27} + 2^{28} \] Observăm că primii termeni ai lui \( 2s \) reprezintă chiar \( s - 1 \): \[ 2 + 2^2 + 2^3 + \dots + 2^{27} = s - 1 \] Înlocuim această parte în relația lui \( 2s \): \[ 2s = (s - 1) + 2^{28} \] Scăzând \( s \) din ambele părți, obținem: \[ s = 2^{28} - 1 \]
Probleme practice
Problemă 1 (Ușoară): Efectuați calculele și scrieți rezultatul sub forma unei singure puteri:
\[ 2^{10} \cdot 4^3 : 8^2 \]
Scriem bazele \( 4 \) și \( 8 \) ca puteri ale lui \( 2 \):
\( 4^3 = (2^2)^3 = 2^6 \)
\( 8^2 = (2^3)^2 = 2^6 \)
Înlocuim în expresie: \[ 2^{10} \cdot 2^6 : 2^6 = 2^{10+6-6} = 2^{10} \]
Răspuns: \( 2^{10} \)
\( 4^3 = (2^2)^3 = 2^6 \)
\( 8^2 = (2^3)^2 = 2^6 \)
Înlocuim în expresie: \[ 2^{10} \cdot 2^6 : 2^6 = 2^{10+6-6} = 2^{10} \]
Răspuns: \( 2^{10} \)
Problemă 2 (Medie): Comparați numerele \( A \) și \( B \) folosind regulile de calcul cu puteri:
\[ A = (5^4)^3 : 5^2 \quad \text{și} \quad B = 25^5 \]
Calculăm valoarea lui \( A \):
\[ A = 5^{4 \cdot 3} : 5^2 = 5^{12} : 5^2 = 5^{12-2} = 5^{10} \]
Aducem și numărul \( B \) la baza \( 5 \):
\[ B = 25^5 = (5^2)^5 = 5^{2 \cdot 5} = 5^{10} \]
Comparând cele două rezultate obținem \( 5^{10} = 5^{10} \).
Răspuns: \( A = B \)
Răspuns: \( A = B \)
Problemă 3 (Dificilă): Determinați numărul natural \( x \) din următoarea egalitate:
\[ 3^{x+2} + 3^{x+1} + 3^x = 351 \]
Descompunem puterile folosind regula înmulțirii cu aceeași bază:
\[ 3^x \cdot 3^2 + 3^x \cdot 3^1 + 3^x = 351 \]
Scoatem factor comun pe \( 3^x \):
\[ 3^x \cdot (3^2 + 3^1 + 1) = 351 \]
Calculăm paranteza:
\[ 3^x \cdot (9 + 3 + 1) = 351 \]
\[ 3^x \cdot 13 = 351 \]
Aflăm valoarea lui \( 3^x \):
\[ 3^x = 351 : 13 \]
\[ 3^x = 27 \]
Deoarece \( 27 = 3^3 \), obținem:
\[ x = 3 \]
Răspuns: \( x = 3 \)
Răspuns: \( x = 3 \)
