V.8. Împărțirea Fracțiilor

Pasul 1: Descompunerea numerelor în baza 10

Pentru a rezolva această problemă, vom folosi scrierea numerelor sub formă de sumă de puteri ale lui 10 (sute, zeci și unități). Expresiile pentru numerele de două cifre sunt: \[ \overline{ab} = 10 \cdot a + b \] \[ \overline{ba} = 10 \cdot b + a \] Expresiile pentru numerele de trei cifre sunt: \[ \overline{abc} = 100 \cdot a + 10 \cdot b + c \] \[ \overline{bca} = 100 \cdot b + 10 \cdot c + a \] \[ \overline{cab} = 100 \cdot c + 10 \cdot a + b \]

Pasul 2: Simplificarea primei fracții din paranteză

Calculăm suma de la numărătorul primei fracții: \[ \overline{ab} + \overline{ba} = (10a + b) + (10b + a) \] Grupăm termenii: \[ 10a + a + 10b + b = 11a + 11b = 11 \cdot (a + b) \] Acum înlocuim în prima parte a expresiei \( n \): \[ \left(\frac{\overline{ab} + \overline{ba}}{a + b}\right)^2 = \left(\frac{11 \cdot \cancel{(a + b)}}{\cancel{a + b}}\right)^2 = 11^2 = 121 \]

Pasul 3: Simplificarea celei de-a doua fracții

Calculăm suma de la numitorul celei de-a doua fracții: \[ \overline{abc} + \overline{bca} + \overline{cab} = (100a + 10b + c) + (100b + 10c + a) + (100c + 10a + b) \] Grupăm termenii după cifrele \( a, b, c \): \[ (100a + 10a + a) + (10b + 100b + b) + (c + 10c + 100c) = 111a + 111b + 111c \] Scoatem factorul comun \( 111 \): \[ 111 \cdot (a + b + c) \] Înlocuim în a doua parte a expresiei \( n \): \[ \frac{a + b + c}{\overline{abc} + \overline{bca} + \overline{cab}} = \frac{\cancel{a + b + c}}{111 \cdot \cancel{(a + b + c)}} = \frac{1}{111} \]

Pasul 4: Calcularea rezultatului final

Acum combinăm cele două rezultate obținute pentru a găsi valoarea lui \( n \): \[ n = 121 : \frac{1}{111} \] Conform regulii de împărțire a fracțiilor ordinare (înmulțim cu inversa): \[ n = 121 \cdot \frac{111}{1} = 121 \cdot 111 \] Efectuăm înmulțirea: \[ \begin{array}{} & 1 & 1 & 1 & \cdot & 1 & 2 & 1 & \\ \hline & & & & & 1 & 1 & 1 \\ & & & & 2 & 2 & 2 & \\ + & & & 1 & 1 & 1 & & \\ \hline & & 1 & 3 & 4 & 3 & 1 \\ \end{array} \] \[ n = 13431 \] Deoarece \( 13431 \) este un număr întreg fără parte fracționară, rezultă că \( n \) este un număr natural pentru orice cifre nenule \( a, b, c \).

\( \overline{ab} + \overline{ba} = 11(a + b) \Rightarrow \left(\frac{11(a + b)}{a + b}\right)^2 = 121 \) \( \overline{abc} + \overline{bca} + \overline{cab} = 111(a + b + c) \Rightarrow \frac{a + b + c}{111(a + b + c)} = \frac{1}{111} \) \( n = 121 : \frac{1}{111} = 121 \cdot 111 = 13431 \in \mathbb{N} \)