Cele mai importante aspecte ale lecției
Punctul este elementul de bază în geometrie, nu are dimensiuni și se notează cu litere mari (\(A, B\)).
Dreapta este o linie infinită și dreaptă, fără lățime, notată cu litere mici (\(d\)) sau prin două puncte (\(AB\)).
Planul (\(\alpha\)) este o suprafață netedă infinită, divizată de o dreaptă (frontieră) în două semiplane.
Semidreapta (\(OA\)) pornește dintr-o origine \(O\) și merge la infinit într-o direcție. Semidreptele opuse au aceeași origine, dar sensuri opuse.
Segmentul (\(AB\)) este porțiunea de dreaptă delimitată de două capete, fiind singurul element din această lecție care poate fi măsurat.
Dreapta este o linie infinită și dreaptă, fără lățime, notată cu litere mici (\(d\)) sau prin două puncte (\(AB\)).
Planul (\(\alpha\)) este o suprafață netedă infinită, divizată de o dreaptă (frontieră) în două semiplane.
Semidreapta (\(OA\)) pornește dintr-o origine \(O\) și merge la infinit într-o direcție. Semidreptele opuse au aceeași origine, dar sensuri opuse.
Segmentul (\(AB\)) este porțiunea de dreaptă delimitată de două capete, fiind singurul element din această lecție care poate fi măsurat.
Cea mai simplă figură geometrică. Nu are dimensiuni (lungime, lățime, grosime) și poate fi imaginat ca urma lăsată de vârful unui ac pe o foaie de hârtie.
Se notează cu litere mari de tipar ale alfabetului latin (\(A, B, C, \dots\)), cu indici (\(A_1, A_2, \dots\)) sau cu semne „prim” (\(A', A''\)). Se reprezintă grafic printr-un „x” sau un punct.
Punctele pot fi:
- identice (confundate): ocupă exact același loc în plan (\(A = B\));
- distincte (diferite): ocupă locuri diferite în plan (\(A \neq B\)).
Dacă avem punctele \(A\), \(B\) și \(C\) astfel încât \(A = B\) și \(B \neq C\), ce putem spune despre relația dintre \(A\) și \(C\)?
Deoarece \(A\) se află în același loc cu \(B\), iar \(C\) se află într-un loc diferit față de \(B\), înseamnă că \(A\) și \(C\) se află în locuri diferite. Prin urmare, punctele \(A\) și \(C\) sunt distincte (\(A \neq C\)).
O linie perfect întinsă, fără grosime sau lățime, care se prelungește la infinit în ambele direcții. Este formată dintr-o mulțime infinită de puncte.
Se notează cu o literă mică a alfabetului latin (\(d, g, h, \dots\)) sau cu ajutorul a două puncte distincte situate pe ea (de exemplu, dreapta \(AB\)). Instrumentul folosit pentru desenarea ei este rigla.
Fie o dreaptă pe care se află punctele distincte \(A\), \(B\) și \(C\). În câte moduri diferite poate fi notată această dreaptă folosind punctele date?
Dreapta poate fi notată folosind oricare două puncte distincte de pe ea, ordinea literelor nefiind importantă. Modurile de notare sunt:
\(AB\) (sau \(BA\)), \(BC\) (sau \(CB\)), \(AC\) (sau \(CA\)). Toate aceste notații reprezintă aceeași dreaptă.
Planul este o suprafață netedă, nelimitată în toate direcțiile, fără grosime (cum ar fi suprafața infinită a unei ape liniștite). Se notează cu litere din alfabetul grecesc (\(\alpha, \beta, \gamma, \pi\)).
Semiplanul este fiecare dintre cele două porțiuni în care o dreaptă împarte un plan. Dreapta de demarcație se numește frontieră.
Dacă trasăm două drepte distincte paralele într-un plan, în câte regiuni vor împărți acestea planul respectiv?
O primă dreaptă împarte planul în 2 semiplane. Cea de-a doua dreaptă, fiind paralelă cu prima, va tăia unul dintre cele două semiplane, împărțindu-l la rândul său în două părți. Astfel, planul va fi împărțit în total în 3 regiuni distincte.
O porțiune dintr-o dreaptă, limitată la un singur capăt numit originea semidreptei și infinită în cealaltă direcție. Semidreapta nu are o lungime ce poate fi măsurată.
Se notează cu două litere mari, prima reprezentând întotdeauna originea, iar a doua un alt punct de pe semidreaptă care indică direcția (de exemplu, semidreapta \(OA\)).
Relații între semidrepte:
- Semidrepte opuse: situate pe aceeași dreaptă, au aceeași origine și se îndreaptă în direcții opuse (singurul punct comun este originea).
- Semidrepte identice (confundate): situate pe aceeași dreaptă, au aceeași origine și aceeași direcție (toate punctele comune).
- Semidrepte diferite: semidrepte care nu sunt nici identice, nici opuse.
Pe o dreaptă avem punctele în ordinea \(A - O - B\). Precizați tipul semidreptelor \(OA\) și \(OB\).
Semidreptele \(OA\) și \(OB\) se află pe aceeași dreaptă, au aceeași origine \(O\) și merg în direcții opuse (deoarece \(O\) se află între \(A\) și \(B\)). Prin urmare, ele sunt semidrepte opuse.
Porțiunea dintr-o dreaptă limitată la ambele capete. Punctele care îl mărginesc se numesc capetele sau extremitățile segmentului.
Se notează cu literele capetelor sale: segmentul \(AB\) sau segmentul \(BA\).
Segmentul este o figură geometrică măsurabilă, lungimea lui fiind distanța dintre cele două capete.
Câte segmente se pot forma având capetele în oricare două dintre punctele distincte \(M\), \(N\) și \(P\)?
Putem forma segmente alegând câte două puncte dintre cele trei disponibile. Acestea sunt:
- Segmentul \(MN\) (identic cu \(NM\))
- Segmentul \(NP\) (identic cu \(PN\))
- Segmentul \(MP\) (identic cu \(PM\))
Probleme propuse
Problema 1 (Ușoară): Care dintre următoarele figuri geometrice poate fi măsurată (are lungime finită): dreapta, planul, segmentul de dreaptă sau semidreapta? Justificați răspunsul.
Singura figură geometrică măsurabilă este segmentul de dreaptă.
Justificare:
Justificare:
- Dreapta este infinită în ambele sensuri, deci nu are o lungime definită.
- Planul este infinit în lungime și lățime.
- Semidreapta este limitată la un capăt (origine), dar infinită la celălalt, deci nu poate fi măsurată.
- Segmentul este limitat la ambele capete, având o lungime bine determinată ce poate fi măsurată cu rigla gradată.
Problema 2 (Medie): Pe o dreaptă \(g\) se consideră în ordine punctele \(M\), \(N\), \(P\) și \(Q\).
a) Identificați o pereche de semidrepte opuse cu originea în \(P\).
b) Identificați o pereche de semidrepte identice cu originea în \(N\).
c) Scrieți toate segmentele care au ca una dintre extremități punctul \(N\).
a) Identificați o pereche de semidrepte opuse cu originea în \(P\).
b) Identificați o pereche de semidrepte identice cu originea în \(N\).
c) Scrieți toate segmentele care au ca una dintre extremități punctul \(N\).
Având în vedere ordinea punctelor pe dreaptă (\(M - N - P - Q\)):
a) Semidreptele opuse cu originea în \(P\) sunt \(PM\) (care merge spre stânga, conținându-l și pe \(N\)) și \(PQ\) (care merge spre dreapta). O altă variantă corectă este perechea \(PN\) și \(PQ\).
b) Semidreptele identice cu originea în \(N\) sunt cele care pornesc din \(N\) și merg în aceeași direcție. De exemplu, semidreptele \(NP\) și \(NQ\) sunt identice, deoarece ambele pornesc din \(N\) și se prelungesc la infinit trecând prin aceleași puncte din dreapta lui \(N\).
c) Segmentele care au ca extremitate punctul \(N\) sunt: \(NM\), \(NP\) și \(NQ\).
a) Semidreptele opuse cu originea în \(P\) sunt \(PM\) (care merge spre stânga, conținându-l și pe \(N\)) și \(PQ\) (care merge spre dreapta). O altă variantă corectă este perechea \(PN\) și \(PQ\).
b) Semidreptele identice cu originea în \(N\) sunt cele care pornesc din \(N\) și merg în aceeași direcție. De exemplu, semidreptele \(NP\) și \(NQ\) sunt identice, deoarece ambele pornesc din \(N\) și se prelungesc la infinit trecând prin aceleași puncte din dreapta lui \(N\).
c) Segmentele care au ca extremitate punctul \(N\) sunt: \(NM\), \(NP\) și \(NQ\).
Problema 3 (Dificilă): Pe o dreaptă \(d\) se consideră punctele \(A\), \(B\), \(C\), \(D\) în această ordine. Știind că segmentul \(AB\) are lungimea de \(3\text{ cm}\), segmentul \(BC\) are \(4\text{ cm}\), iar segmentul \(CD\) are \(5\text{ cm}\):
a) Determinați lungimea segmentului \(AD\).
b) Determinați lungimea segmentului care unește mijlocul segmentului \(AB\) cu mijlocul segmentului \(CD\).
a) Determinați lungimea segmentului \(AD\).
b) Determinați lungimea segmentului care unește mijlocul segmentului \(AB\) cu mijlocul segmentului \(CD\).
Desenăm punctele pe dreaptă în ordinea indicată: \(A - B - C - D\).
a) Deoarece punctele sunt coliniare în această ordine, lungimea segmentului \(AD\) este suma lungimilor segmentelor componente: \[ AD = AB + BC + CD = 3\text{ cm} + 4\text{ cm} + 5\text{ cm} = 12\text{ cm} \]
b) Fie \(M\) mijlocul segmentului \(AB\) și \(N\) mijlocul segmentului \(CD\).
a) Deoarece punctele sunt coliniare în această ordine, lungimea segmentului \(AD\) este suma lungimilor segmentelor componente: \[ AD = AB + BC + CD = 3\text{ cm} + 4\text{ cm} + 5\text{ cm} = 12\text{ cm} \]
b) Fie \(M\) mijlocul segmentului \(AB\) și \(N\) mijlocul segmentului \(CD\).
- Distanța de la \(M\) la \(B\) este jumătate din \(AB\): \(MB = 3 : 2 = 1,5\text{ cm}\).
- Distanța dintre punctele \(B\) și \(C\) este \(BC = 4\text{ cm}\).
- Distanța de la \(C\) la \(N\) este jumătate din \(CD\): \(CN = 5 : 2 = 2,5\text{ cm}\).
