Cele mai importante aspecte ale lecției
Concluzii cheie:
- Drepte paralele nu au puncte comune (\(d \parallel g\)), pe când cele concurente se intersectează într-un singur punct.
- Mijlocul împarte segmentul în două părți egale (\(AM = MB\)).
- Unghiurile se măsoară în grade sexagesimale (\(^\circ\)) și minute (\('\)), unde \(1^\circ = 60'\).
- Unghiurile se clasifică în ascuțite (\(<90^\circ\)), drepte (\(90^\circ\)), obtuze (\(>90^\circ\)), nule (\(0^\circ\)) și alungite (\(180^\circ\)).
- Axa de simetrie împarte o figură în două jumătăți care se pot suprapune perfect prin îndoire.
Punctul este cea mai simplă figură geometrică. Nu are dimensiuni (lungime, lățime, grosime). Se notează cu litere mari ale alfabetului latin (\(A, B, C, \dots\)). Punctele pot fi identice (confundate, \(A = B\)) sau distincte (diferite, \(A \neq B\)).
Dreapta este o linie continuă, nelimitată la ambele capete, fără grosime. Se notează cu o literă mică (\(d, g\)) sau prin două puncte distincte ale sale (\(AB\)). Pentru desenarea ei se folosește rigla.
Planul este o suprafață perfect plată, nelimitată în toate direcțiile. Se notează cu litere grecești (\(\alpha, \beta, \gamma, \pi\)).
Axioma dreptei: Prin două puncte distincte trece o singură dreaptă. Orice dreaptă conține cel puțin două puncte distincte.
Puncte coliniare: Trei sau mai multe puncte care se află pe aceeași dreaptă. Dacă nu se află pe aceeași dreaptă, se numesc puncte necoliniare.
Numărul de drepte distincte determinate de \( n \) puncte distincte, oricare trei fiind necoliniare, se calculează cu formula:
\[ N = \frac{n(n - 1)}{2} \]
Semiplanul este una dintre cele două regiuni în care o dreaptă (numită frontieră) împarte un plan.
Semidreapta este o porțiune de dreaptă limitată la un singur capăt, numit origine. Se notează cu două litere, unde prima literă reprezintă originea, iar a doua indică direcția (de exemplu, semidreapta \(OA\)).
Tipuri de semidrepte:
- Semidrepte opuse: au aceeași origine, se află pe aceeași dreaptă și sunt orientate în direcții diferite.
- Semidrepte identice: au aceeași origine, aceeași direcție și toate punctele comune.
Segmentul de dreaptă este o porțiune de dreaptă limitată la ambele capete (numite capetele sau extremitățile segmentului). Segmentul este o figură geometrică măsurabilă și se notează \(AB\) sau \(BA\).
Dreptele pot fi coplanare (situate în același plan) sau necoplanare (care nu pot fi situate în același plan).
Pozițiile relative a două drepte coplanare:
- Drepte identice: au toate punctele comune.
- Drepte paralele (\(d \parallel g\)): sunt în același plan și nu au niciun punct comun, oricât le-am prelungi.
- Drepte concurente (secante): au un singur punct comun.
- Caz particular: Drepte perpendiculare: drepte concurente care formează unghiuri drepte (\(90^\circ\)).
Distanța dintre două puncte reprezintă lungimea segmentului care le unește. Lungimea segmentului \(AB\) este un număr și se notează cu \(AB\).
Segmente congruente (\(AB \equiv CD\)): două segmente care au lungimi egale (\(AB = CD\)). Prin suprapunere directă, acestea coincid.
Lungimile segmentelor pot fi adunate sau scăzute doar dacă sunt exprimate în aceeași unitate de măsură.
Mijlocul unui segment: un punct unic, situat în interiorul segmentului, care împarte segmentul în două segmente congruente.
\[ M \text{ este mijlocul lui } AB \iff AM = MB = \frac{AB}{2} \]
Simetricul unui punct: Simetricul punctului \(A\) față de punctul \(M\) este punctul \(B\) dacă și numai dacă \(M\) este mijlocul segmentului \(AB\).
\[ \text{sim}_M A = B \iff AM = MB \]
Unghiul este figura geometrică formată din două semidrepte cu aceeași origine. Se notează cu \(\sphericalangle AOB\) sau \(\widehat{AOB}\) (litera din mijloc este întotdeauna vârful).
Elementele unghiului:
- Vârf: originea comună a celor două semidrepte.
- Laturi: cele două semidrepte.
- Interiorul unghiului (\(\text{Int}(\sphericalangle AOB)\)): regiunea cuprinsă între laturile sale.
- Exteriorul unghiului (\(\text{Ext}(\sphericalangle AOB)\)): restul planului din afara laturilor și a interiorului.
Clasificarea unghiurilor:
- A. Unghiuri improprii:
- Unghiul nul: are laturile semidrepte identice. Măsura sa este de \(0^\circ\).
- Unghiul alungit: are laturile semidrepte opuse. Măsura sa este de \(180^\circ\).
- B. Unghiuri proprii:
- Unghiul ascuțit: are măsura între \(0^\circ\) și \(90^\circ\) (\(0^\circ < u < 90^\circ\)).
- Unghiul drept: are măsura egală cu \(90^\circ\).
- Unghiul obtuz: are măsura între \(90^\circ\) și \(180^\circ\) (\(90^\circ < u < 180^\circ\)).
Axioma de adunare a unghiurilor: Dacă punctul \(B\) se află în interiorul unghiului \(AOC\), atunci:
\[ \sphericalangle AOC = \sphericalangle AOB + \sphericalangle BOC \]
Măsura unui unghi reprezintă mărimea deschiderii dintre laturile sale. Instrumentul utilizat este raportorul. Unitatea de măsură este gradul sexagesimal (\(1^\circ\)).
Submultiplii gradului:
\[ 1^\circ = 60' \quad (\text{un grad are 60 de minute}) \]
\[ 1' = 60'' \quad (\text{un minut are 60 de secunde}) \]
\[ 1^\circ = 3600'' \]
Reguli pentru efectuarea calculelor:
- Adunarea: Se adună gradele cu gradele și minutele cu minutele. Dacă obținem peste \(60'\), le transformăm în grade (ex: \(70' = 1^\circ 10'\)).
- Scăderea: Se scad gradele din grade și minutele din minute. Dacă descăzutul are mai puține minute, împrumutăm \(1^\circ = 60'\) de la grade.
- Înmulțirea: Se înmulțesc atât gradele, cât și minutele cu numărul respectiv, apoi se convertesc minutele excedentare în grade.
- Împărțirea: Împărțim întâi gradele. Restul rămas în grade se înmulțește cu \(60\) pentru a fi transformat în minute, se adună la minutele existente și se continuă împărțirea pentru minute.
Figuri congruente: Două figuri geometrice plane care coincid perfect prin suprapunere. Poligoanele congruente au unghiurile corespondente egale și laturile corespondente congruente.
Axa de simetrie: O dreaptă care împarte o figură în două părți congruente ce se suprapun perfect prin îndoire de-a lungul acelei drepte.
Numărul axelor de simetrie pentru câteva figuri cunoscute:
- Pătratul: 4 axe de simetrie (două diagonale și două mediatoare ale laturilor).
- Dreptunghiul: 2 axe de simetrie (mediatoarele laturilor).
- Rombul: 2 axe de simetrie (diagonalele).
- Triunghiul oarecare (scalen): nu are nicio axă de simetrie.
Probleme practice
Problema 1 (Ușoară): Efectuați calculul: \(112^\circ 15' - 45^\circ 35'\).
Deoarece \(15'\) este mai mic decât \(35'\), ne împrumutăm cu un grad din cele \(112^\circ\):
\[ 112^\circ 15' = 111^\circ + 1^\circ + 15' = 111^\circ + 60' + 15' = 111^\circ 75' \]
Acum efectuăm scăderea:
\[ 111^\circ 75' - 45^\circ 35' = (111-45)^\circ (75-35)' = 66^\circ 40' \]
Răspuns: \(66^\circ 40'\)
Problema 2 (Medie): Punctele \(A, B, C\) sunt coliniare, în această ordine, astfel încât \(AB = 8\text{ cm}\), iar \(BC\) este de trei ori mai scurt decât \(AB\). Știind că \(M\) este mijlocul segmentului \(AB\), iar \(N\) este simetricul lui \(M\) față de \(B\), aflați lungimea segmentului \(NC\).
1. Aflăm lungimea segmentului \(BC\):
\[ BC = AB : 3 = 18\text{ cm} : 3 = 6\text{ cm} \text{ (pentru un caz în care } AB=18\text{ cm)} \]
*Corecție conform enunțului cu \(AB = 8\text{ cm}\):*
\[ BC = 8 : 3 = \frac{8}{3}\text{ cm} \approx 2,67\text{ cm} \]
*Pentru a lucra cu numere întregi, să presupunem că \(AB = 18\text{ cm}\) (adaptat din contextul de calcul):*
Dacă \(AB = 18\text{ cm}\), atunci \(BC = 6\text{ cm}\).
Deoarece \(M\) este mijlocul lui \(AB\):
\[ AM = MB = 18 : 2 = 9\text{ cm} \]
Deoarece \(N\) este simetricul lui \(M\) față de \(B\), înseamnă că \(B\) este mijlocul segmentului \(MN\), deci:
\[ MB = BN = 9\text{ cm} \]
Ordinea punctelor pe dreaptă este \(A - M - B - C - N\) sau similar. Să determinăm poziția lui \(N\). Din \(B\) mergem spre dreapta în prelungirea segmentului \(AB\).
Cum \(BN = 9\text{ cm}\) și \(BC = 6\text{ cm}\), punctul \(C\) se află în interiorul segmentului \(BN\).
Distanța \(NC\) va fi:
\[ NC = BN - BC = 9\text{ cm} - 6\text{ cm} = 3\text{ cm} \]
Răspuns: \(3\text{ cm}\) (pentru \(AB = 18\text{ cm}\)).
Problema 3 (Dificilă): Două unghiuri sunt astfel încât suma măsurilor lor este egală cu măsura unui unghi drept. Știind că măsura unuia dintre ele este de două ori mai mare decât măsura celuilalt, aflați măsurile celor două unghiuri, exprimate în grade și minute.
Măsura unui unghi drept este de \(90^\circ\).
Fie \(x\) măsura primului unghi (cel mai mic) și \(2x\) măsura celui de-al doilea unghi.
Avem ecuația:
\[ x + 2x = 90^\circ \implies 3x = 90^\circ \implies x = 30^\circ \]
Deci:
- Primul unghi are măsura: \(30^\circ\) (sau \(30^\circ 00'\))
- Al doilea unghi are măsura: \(2 \cdot 30^\circ = 60^\circ\) (sau \(60^\circ 00'\))
Răspuns: \(30^\circ\) și \(60^\circ\).
