21. Compararea Puterilor

Compararea puterilor cu aceeași bază sau același exponent

Dacă două puteri au aceeași bază nenulă și diferită de 1, este mai mare puterea cu exponentul mai mare. Dacă două puteri au același exponent nenul, este mai mare puterea cu baza mai mare. Pentru \( 2^{45} \) și \( 2^{48} \): Bazele sunt egale (\( 2 = 2 \)). Deoarece \( 45 < 48 \), avem: \[ 2^{45} < 2^{48} \] Pentru \( 8^{57} \) și \( 9^{57} \): Exponenții sunt egali (\( 57 = 57 \)). Deoarece \( 8 < 9 \), avem: \[ 8^{57} < 9^{57} \] Pentru \( 6^{31} \) și \( 5^{31} \): Exponenții sunt egali (\( 31 = 31 \)). Deoarece \( 6 > 5 \), avem: \[ 6^{31} > 5^{31} \] Pentru \( 203^{4} \) și \( 211^{5} \): Avem \( 203 < 211 \) și \( 4 < 5 \). Baza și exponentul primului număr sunt mai mici decât baza și exponentul celui de-al doilea număr, deci: \[ 203^{4} < 211^{5} \]

Compararea prin calcul direct

Calculăm valorile numerice ale fiecărei puteri: Pentru \( 4^{3} \) și \( 3^{4} \): \[ 4^{3} = 4 \cdot 4 \cdot 4 = 64 \] \[ 3^{4} = 3 \cdot 3 \cdot 3 \cdot 3 = 81 \] Deoarece \( 64 < 81 \), avem: \[ 4^{3} < 3^{4} \] Pentru \( 5^{2} \) și \( 2^{5} \): \[ 5^{2} = 5 \cdot 5 = 25 \] \[ 2^{5} = 32 \] Deoarece \( 25 < 32 \), avem: \[ 5^{2} < 2^{5} \] Pentru \( 4^{1} \) și \( 1^{42} \): \[ 4^{1} = 4 \] \[ 1^{42} = 1 \] Deoarece \( 4 > 1 \), avem: \[ 4^{1} > 1^{42} \] Pentru \( 101^{1} \) și \( 9^{2} \): \[ 101^{1} = 101 \] \[ 9^{2} = 81 \] Deoarece \( 101 > 81 \), avem: \[ 101^{1} > 9^{2} \] Pentru \( 0^{31} \) și \( 31^{0} \): \[ 0^{31} = 0 \] \[ 31^{0} = 1 \] Deoarece \( 0 < 1 \), avem: \[ 0^{31} < 31^{0} \]

Compararea prin aducere la aceeași bază

Folosim proprietatea \( (a^m)^n = a^{m \cdot n} \) pentru a scrie puterile cu aceeași bază: Pentru \( 4^{3} \) și \( 2^{6} \): \[ 4^{3} = (2^2)^3 = 2^{2 \cdot 3} = 2^6 \] Deci: \[ 4^{3} = 2^{6} \] Pentru \( 8^{13} \) și \( 16^{9} \): \[ 8^{13} = (2^3)^{13} = 2^{3 \cdot 13} = 2^{39} \] \[ 16^{9} = (2^4)^9 = 2^{4 \cdot 9} = 2^{36} \] Deoarece \( 39 > 36 \), avem \( 2^{39} > 2^{36} \), deci: \[ 8^{13} > 16^{9} \] Pentru \( 2^{31} \) și \( 16^{7} \): \[ 16^{7} = (2^4)^7 = 2^{4 \cdot 7} = 2^{28} \] Deoarece \( 31 > 28 \), avem \( 2^{31} > 2^{28} \), deci: \[ 2^{31} > 16^{7} \] Pentru \( 9^{10} \) și \( 3^{19} \): \[ 9^{10} = (3^2)^{10} = 3^{2 \cdot 10} = 3^{20} \] Deoarece \( 20 > 19 \), avem \( 3^{20} > 3^{19} \), deci: \[ 9^{10} > 3^{19} \] Pentru \( 3^{129} \) și \( 81^{31} \): \[ 81^{31} = (3^4)^{31} = 3^{4 \cdot 31} = 3^{124} \] Deoarece \( 129 > 124 \), avem \( 3^{129} > 3^{124} \), deci: \[ 3^{129} > 81^{31} \] Pentru \( 36^{11} \) și \( 6^{21} \): \[ 36^{11} = (6^2)^{11} = 6^{2 \cdot 11} = 6^{22} \] Deoarece \( 22 > 21 \), avem \( 6^{22} > 6^{21} \), deci: \[ 36^{11} > 6^{21} \] Pentru \( 5^{24} \) și \( 25^{12} \): \[ 25^{12} = (5^2)^{12} = 5^{2 \cdot 12} = 5^{24} \] Deci: \[ 5^{24} = 25^{12} \]

Compararea prin aducere la același exponent

Găsim un divizor comun pentru exponenți și scriem puterile cu același exponent: Pentru \( 2^{35} \) și \( 5^{14} \): Exponenții sunt multipli de 7: \[ 2^{35} = (2^5)^7 = 32^7 \] \[ 5^{14} = (5^2)^7 = 25^7 \] Deoarece \( 32 > 25 \), avem \( 32^7 > 25^7 \), deci: \[ 2^{35} > 5^{14} \] Pentru \( 4^{15} \) și \( 7^{10} \): Exponenții sunt multipli de 5: \[ 4^{15} = (4^3)^5 = 64^5 \] \[ 7^{10} = (7^2)^5 = 49^5 \] Deoarece \( 64 > 49 \), avem \( 64^5 > 49^5 \), deci: \[ 4^{15} > 7^{10} \] Pentru \( 20^{30} \) și \( 30^{20} \): Exponenții sunt multipli de 10: \[ 20^{30} = (20^3)^{10} = 8000^{10} \] \[ 30^{20} = (30^2)^{10} = 900^{10} \] Deoarece \( 8000 > 900 \), avem \( 8000^{10} > 900^{10} \), deci: \[ 20^{30} > 30^{20} \] Pentru \( 9^{74} \) și \( 2^{111} \): Observăm mai întâi că \( 9^{74} = (3^2)^{74} = 3^{148} \). Exponenții 148 și 111 au divizorul comun 37 (\( 148 = 4 \cdot 37 \), \( 111 = 3 \cdot 37 \)): \[ 3^{148} = (3^4)^{37} = 81^{37} \] \[ 2^{111} = (2^3)^{37} = 8^{37} \] Deoarece \( 81 > 8 \), avem \( 81^{37} > 8^{37} \), deci: \[ 9^{74} > 2^{111} \] Pentru \( 8^{123} \) și \( 10^{41} \): Scriem baza 8 ca putere a lui 2: \[ 8^{123} = (2^3)^{123} = 2^{369} \] Aducem la exponentul 41, deoarece \( 369 = 9 \cdot 41 \): \[ 2^{369} = (2^9)^{41} = 512^{41} \] Deoarece \( 512 > 10 \), avem \( 512^{41} > 10^{41} \), deci: \[ 8^{123} > 10^{41} \]

\( 2^{45} < 2^{48} \); \( 8^{57} < 9^{57} \); \( 6^{31} > 5^{31} \); \( 4^3 = 64 < 81 = 3^4 \); \( 5^2 = 25 < 32 = 2^5 \); \( 4^1 = 4 > 1 = 1^{42} \); \( 101^1 = 101 > 81 = 9^2 \); \( 0^{31} = 0 < 1 = 31^0 \); \( 4^3 = 2^6 \); \( 203^4 < 211^5 \); \( 8^{13} = 2^{39} > 2^{36} = 16^9 \); \( 2^{31} > 2^{28} = 16^7 \); \( 9^{10} = 3^{20} > 3^{19} \); \( 3^{129} > 3^{124} = 81^{31} \); \( 36^{11} = 6^{22} > 6^{21} \); \( 5^{24} = 25^{12} \); \( 2^{35} = 32^7 > 25^7 = 5^{14} \); \( 4^{15} = 64^5 > 49^5 = 7^{10} \); \( 20^{30} = 8000^{10} > 900^{10} = 30^{20} \); \( 9^{74} = 81^{37} > 8^{37} = 2^{111} \); \( 8^{123} = 512^{41} > 10^{41} \).