Cele mai importante aspecte ale lecției
Concluzii cheie:
- Unitatea principală de măsură a lungimii este metrul (m).
- Pentru a transforma dintr-o unitate mai mare în una mai mică înmulțim cu puteri ale lui 10 (ex: \(1,5 \text{ km} = 1,5 \cdot 1\,000 = 1\,500 \text{ m}\)), iar pentru a transforma dintr-o unitate mai mică în una mai mare împărțim (ex: \(350 \text{ mm} = 350 : 10 = 35 \text{ cm}\)).
- Perimetrul (\(\mathcal{P}\)) reprezintă suma tuturor laturilor.
- Pătrat: \(\mathcal{P} = 4 \cdot l\)
- Dreptunghi: \(\mathcal{P} = 2 \cdot (L + l)\)
- Triunghi: \(\mathcal{P} = a + b + c\)
Metrul (m) este unitatea principală de măsură pentru lungime în Sistemul Internațional de Unități (SI).
Pentru măsurarea lungimilor se folosesc diverse instrumente: rigla gradată, ruleta, metrul de croitorie, metru de tâmplărie, șublerul, micrometrul.
Multiplii metrului (se folosesc pentru măsurarea lungimilor mai mari decât metrul):
- decametrul (\(\text{dam}\)) — de \(10\) ori mai mare;
- hectometrul (\(\text{hm}\)) — de \(100\) de ori mai mare;
- kilometrul (\(\text{km}\)) — de \(1\,000\) de ori mai mare.
Submultiplii metrului (se folosesc pentru măsurarea lungimilor mai mici decât metrul):
- decimetrul (\(\text{dm}\)) — de \(10\) ori mai mic;
- centimetrul (\(\text{cm}\)) — de \(100\) de ori mai mic;
- milimetrul (\(\text{mm}\)) — de \(1\,000\) de ori mai mic.
Pentru a transforma dintr-o unitate de măsură mai mare într-una mai mică (de sus în jos pe scară), se înmulțește cu \(10\) pentru fiecare treaptă coborâtă.
Pentru a transforma dintr-o unitate de măsură mai mică într-una mai mare (de jos în sus pe scară), se împarte la \(10\) pentru fiecare treaptă urcată.
Pentru a transforma dintr-o unitate de măsură mai mică într-una mai mare (de jos în sus pe scară), se împarte la \(10\) pentru fiecare treaptă urcată.
Relații de transformare:
\[ 1 \text{ km} = 10 \text{ hm} = 100 \text{ dam} = 1\,000 \text{ m} \]
\[ 1 \text{ dm} = 0,1 \text{ m} = \frac{1}{10} \text{ m} \]
\[ 1 \text{ cm} = 0,01 \text{ m} = \frac{1}{100} \text{ m} \]
\[ 1 \text{ mm} = 0,001 \text{ m} = \frac{1}{1\,000} \text{ m} \]
Dacă într-o problemă trebuie să adunăm sau să scădem lungimi, toate datele trebuie exprimate în aceeași unitate de măsură înainte de a efectua calculele!
Transformați:
a) \(235 \text{ m} = \dots \text{ dm}\)
b) \(4\,267 \text{ cm} = \dots \text{ m}\)
a) \(235 \text{ m} = \dots \text{ dm}\)
b) \(4\,267 \text{ cm} = \dots \text{ m}\)
a) Coborâm o singură treaptă de la metri la decimetri, deci înmulțim cu \(10\):
\[ 235 \text{ m} = 235 \cdot 10 = 2\,350 \text{ dm} \]
b) Urcăm două trepte de la centimetri la metri, deci împărțim la \(100\):
\[ 4\,267 \text{ cm} = 4\,267 : 100 = 42,67 \text{ m} \]
Perimetrul (notat cu \(\mathcal{P}\)) reprezintă suma lungimilor tuturor laturilor unei figuri geometrice, exprimate în aceeași unitate de măsură.
Semiperimetrul (notat cu \(p\)) reprezintă jumătate din lungimea perimetrului.
\[ p = \frac{\mathcal{P}}{2} \]
Calculați perimetrul unui teren în formă de pentagon (figură cu 5 laturi) având laturile de: \(230 \text{ m}\), \(185 \text{ m}\), \(220 \text{ m}\), \(190 \text{ m}\) și \(440 \text{ m}\).
Adunăm lungimile tuturor laturilor:
\[ \mathcal{P} = 230 \text{ m} + 185 \text{ m} + 220 \text{ m} + 190 \text{ m} + 440 \text{ m} = 1\,265 \text{ m} \]
Perimetrul triunghiului
\[ \mathcal{P}_{\text{triunghi}} = a + b + c \]
unde \(a, b, c\) sunt lungimile celor trei laturi.
Perimetrul dreptunghiului
\[ \mathcal{P}_{\text{dreptunghi}} = 2 \cdot (L + l) = 2 \cdot L + 2 \cdot l \]
unde \(L\) reprezintă lungimea, iar \(l\) reprezintă lățimea.
Perimetrul pătratului
\[ \mathcal{P}_{\text{pătrat}} = 4 \cdot l \]
unde \(l\) reprezintă lungimea laturii pătratului.
Determinați perimetrul unui pătrat cu lungimea laturii de \(2,5 \text{ dm}\), exprimat în metri.
Metoda 1:
Calculăm perimetrul în decimetri:
\[ \mathcal{P} = 4 \cdot l = 4 \cdot 2,5 \text{ dm} = 10 \text{ dm} \]
Transformăm decimetrii în metri (împărțim la 10):
\[ 10 \text{ dm} = 10 : 10 = 1 \text{ m} \]
Metoda 2:
Transformăm mai întâi latura în metri:
\[ l = 2,5 \text{ dm} = 2,5 : 10 = 0,25 \text{ m} \]
Calculăm perimetrul:
\[ \mathcal{P} = 4 \cdot 0,25 \text{ m} = 1 \text{ m} \]
Probleme practice
Problema 1 (Dificultate: Ușoară)
Efectuați următorul calcul, exprimând rezultatul final în metri: \[ 2,56 \text{ m} + 45 \text{ dm} \]
Efectuați următorul calcul, exprimând rezultatul final în metri: \[ 2,56 \text{ m} + 45 \text{ dm} \]
Deoarece rezultatul trebuie exprimat în metri, transformăm termenul exprimat în decimetri:
\[ 45 \text{ dm} = 45 : 10 = 4,5 \text{ m} \]
Acum efectuăm adunarea:
\[ 2,56 \text{ m} + 4,5 \text{ m} = 7,06 \text{ m} \]
Răspuns: \(7,06 \text{ m}\).
Problema 2 (Dificultate: Medie)
Un dreptunghi are perimetrul de \(28 \text{ dm}\). Știind că lungimea și lățimea dreptunghiului sunt exprimate prin numere naturale pare consecutive, calculați dimensiunile acestuia (lungimea și lățimea).
Un dreptunghi are perimetrul de \(28 \text{ dm}\). Știind că lungimea și lățimea dreptunghiului sunt exprimate prin numere naturale pare consecutive, calculați dimensiunile acestuia (lungimea și lățimea).
Fie \(l\) lățimea și \(L\) lungimea dreptunghiului.
Deoarece dimensiunile sunt numere pare consecutive, le putem nota astfel: \[ l = 2x, \quad L = 2x + 2 \quad (\text{unde } x \in \mathbb{N}^*) \] Știm că perimetrul este: \[ \mathcal{P} = 2 \cdot (L + l) = 28 \text{ dm} \] Împărțim relația la 2 pentru a afla suma dintre lungime și lățime (semiperimetrul): \[ L + l = 14 \text{ dm} \] Înlocuim expresiile notate anterior: \[ (2x + 2) + 2x = 14 \] \[ 4x + 2 = 14 \] \[ 4x = 12 \implies x = 3 \] Acum putem afla dimensiunile:
Răspuns: Lățimea este \(6 \text{ dm}\), lungimea este \(8 \text{ dm}\).
Deoarece dimensiunile sunt numere pare consecutive, le putem nota astfel: \[ l = 2x, \quad L = 2x + 2 \quad (\text{unde } x \in \mathbb{N}^*) \] Știm că perimetrul este: \[ \mathcal{P} = 2 \cdot (L + l) = 28 \text{ dm} \] Împărțim relația la 2 pentru a afla suma dintre lungime și lățime (semiperimetrul): \[ L + l = 14 \text{ dm} \] Înlocuim expresiile notate anterior: \[ (2x + 2) + 2x = 14 \] \[ 4x + 2 = 14 \] \[ 4x = 12 \implies x = 3 \] Acum putem afla dimensiunile:
- Lățimea: \(l = 2 \cdot 3 = 6 \text{ dm}\)
- Lungimea: \(L = 2 \cdot 3 + 2 = 8 \text{ dm}\)
Răspuns: Lățimea este \(6 \text{ dm}\), lungimea este \(8 \text{ dm}\).
Problema 3 (Dificultate: Dificilă)
În triunghiul \(ABC\), perimetrul este egal cu \(80 \text{ cm}\). Pe latura \(BC\) se consideră punctul \(D\). Știind că perimetrul triunghiului \(ABD\) este de \(50 \text{ cm}\), iar perimetrul triunghiului \(ADC\) este de \(46 \text{ cm}\), determinați lungimea segmentului \(AD\).
În triunghiul \(ABC\), perimetrul este egal cu \(80 \text{ cm}\). Pe latura \(BC\) se consideră punctul \(D\). Știind că perimetrul triunghiului \(ABD\) este de \(50 \text{ cm}\), iar perimetrul triunghiului \(ADC\) este de \(46 \text{ cm}\), determinați lungimea segmentului \(AD\).
Scriem formulele perimetrelor pentru cele trei triunghiuri:
- \(\mathcal{P}_{ABC} = AB + BC + AC = 80 \text{ cm}\). Deoarece \(D\) se află pe latura \(BC\), avem \(BC = BD + DC\). Relația devine: \[ AB + BD + DC + AC = 80 \text{ cm} \]
- \(\mathcal{P}_{ABD} = AB + BD + AD = 50 \text{ cm}\)
- \(\mathcal{P}_{ADC} = AC + DC + AD = 46 \text{ cm}\)
