Cele mai importante aspecte ale lecției
Mulțimi: Pot fi definite prin enumerare (ex: \( \{1, 2, 3\} \)) sau prin proprietate comună (ex: \( \{x \in \mathbb{N} \mid x \leq 3\} \)).
Intervale: Reprezintă porțiuni de pe axa reală. Parantezele pătrate \( [ ] \) includ capătul, parantezele rotunde \( ( ) \) nu îl includ (se folosesc mereu la \( \infty \)). Ex: \( x \geq 2 \implies x \in [2, +\infty) \).
Inecuații: Se rezolvă izolând necunoscuta. Regulă critică: Când înmulțim sau împărțim o inecuație printr-un număr negativ, sensul inegalității se inversează! Ex: \( -x > 4 \implies x < -4 \).
Inecuații cu modul: \( |x| \leq a \) se transformă în dubla inegalitate \( -a \leq x \leq a \).
Intervale: Reprezintă porțiuni de pe axa reală. Parantezele pătrate \( [ ] \) includ capătul, parantezele rotunde \( ( ) \) nu îl includ (se folosesc mereu la \( \infty \)). Ex: \( x \geq 2 \implies x \in [2, +\infty) \).
Inecuații: Se rezolvă izolând necunoscuta. Regulă critică: Când înmulțim sau împărțim o inecuație printr-un număr negativ, sensul inegalității se inversează! Ex: \( -x > 4 \implies x < -4 \).
Inecuații cu modul: \( |x| \leq a \) se transformă în dubla inegalitate \( -a \leq x \leq a \).
O mulțime este o colecție bine definită de obiecte distincte, numite elementele mulțimii. Numărul de elemente al unei mulțimi finite reprezintă cardinalul acesteia.
Mulțimea vidă (fără niciun element) se notează cu \( \varnothing \). Relația de apartenență se notează cu \( \in \), iar neapartenența cu \( \notin \).
O mulțime poate fi definită prin enumerarea elementelor între acolade, printr-o diagramă Venn-Euler sau, analitic, prin indicarea unei proprietăți caracteristice comune tuturor elementelor.
Scrierea analitică a unei mulțimi:
\[ M = \{x \mid x \text{ are proprietatea } p\} \]
Se citește: "M este mulțimea tuturor elementelor x care au proprietatea p".
Mulțimea numerelor naturale pare mai mici decât 10 se poate scrie:
Prin enumerare: \( A = \{0, 2, 4, 6, 8\} \)
Prin proprietate caracteristică: \( A = \{x \in \mathbb{N} \mid x < 10 \text{ și } x \text{ este par}\} \)
Prin enumerare: \( A = \{0, 2, 4, 6, 8\} \)
Prin proprietate caracteristică: \( A = \{x \in \mathbb{N} \mid x < 10 \text{ și } x \text{ este par}\} \)
Scrieți prin enumerarea elementelor mulțimea \( B = \{n \in \mathbb{N} \mid 2^n \leq 16\} \).
Calculăm puterile lui 2: \( 2^0 = 1 \), \( 2^1 = 2 \), \( 2^2 = 4 \), \( 2^3 = 8 \), \( 2^4 = 16 \). Puterile mai mari depășesc 16.
Așadar, elementele \( n \) sunt exponenții: \( B = \{0, 1, 2, 3, 4\} \).
Așadar, elementele \( n \) sunt exponenții: \( B = \{0, 1, 2, 3, 4\} \).
Axa numerelor (axa reală) este reprezentarea geometrică a mulțimii numerelor reale \( \mathbb{R} \). Mulțimea numerelor reale cuprinse între două numere reale date (numite capetele intervalului) se numește interval.
| Tip interval | Notație | Definiție (mulțime) |
|---|---|---|
| Deschis | \( (a, b) \) | \( \{x \in \mathbb{R} \mid a < x < b\} \) |
| Închis | \( [a, b] \) | \( \{x \in \mathbb{R} \mid a \leq x \leq b\} \) |
| Semideschis | \( [a, b) \) \( (a, b] \) |
\( \{x \in \mathbb{R} \mid a \leq x < b\} \) \( \{x \in \mathbb{R} \mid a < x \leq b\} \) |
| Nemărginit | \( [a, +\infty) \) \( (-\infty, a) \) |
\( \{x \in \mathbb{R} \mid x \geq a\} \) \( \{x \in \mathbb{R} \mid x < a\} \) |
La infinit (\( -\infty \) sau \( +\infty \)) paranteza este întotdeauna rotundă (interval deschis).
Dacă \( x \geq 5 \), atunci \( x \in [5, +\infty) \).
Dacă \( -2 < x \leq 7 \), atunci \( x \in (-2, 7] \).
Dacă \( -2 < x \leq 7 \), atunci \( x \in (-2, 7] \).
Scrieți sub formă de interval mulțimea \( A = \{x \in \mathbb{R} \mid x \leq -3\} \).
Deoarece \( x \) este mai mic sau egal cu -3, intervalul începe de la minus infinit și se termină în -3 (inclusiv).
Răspuns: \( A = (-\infty, -3] \).
Răspuns: \( A = (-\infty, -3] \).
Deoarece intervalele sunt mulțimi, putem efectua operații de reuniune (\( \cup \)) (elementele care sunt în cel puțin unul dintre intervale) și intersecție (\( \cap \)) (elementele comune ambelor intervale). Două mulțimi care nu au elemente comune se numesc disjuncte (\( I \cap J = \varnothing \)).
Pentru orice număr real \( a > 0 \):
- \( |x| < a \iff -a < x < a \iff x \in (-a, a) \)
- \( |x| \leq a \iff -a \leq x \leq a \iff x \in [-a, a] \)
Rezolvarea inecuației \( |x| \leq 4 \) ne conduce la \( -4 \leq x \leq 4 \), ceea ce înseamnă că soluția este intervalul \( [-4, 4] \).
Calculați intersecția intervalelor \( I = [-2, 5) \) și \( J = (0, 8] \).
Intersecția reprezintă porțiunea comună celor două intervale pe axa numerelor.
Cel mai mare capăt inferior este 0, iar cel mai mic capăt superior este 5.
Răspuns: \( I \cap J = (0, 5) \).
Cel mai mare capăt inferior este 0, iar cel mai mic capăt superior este 5.
Răspuns: \( I \cap J = (0, 5) \).
O inecuație de gradul întâi are forma \( ax + b \geq 0 \) (sau \( \leq, <, > \)), unde \( a, b \in \mathbb{R} \) și \( a \neq 0 \). A rezolva inecuația înseamnă a găsi mulțimea soluțiilor sale (valorile lui \( x \) pentru care inegalitatea este adevărată).
Proprietățile inegalităților:
- Putem aduna sau scădea același număr din ambii membri (mutarea unui termen se face cu semn schimbat).
- Dacă înmulțim/împărțim cu un număr pozitiv, sensul inegalității se păstrează.
- Dacă înmulțim/împărțim cu un număr negativ, sensul inegalității se schimbă (ex. din \( < \) devine \( > \)).
Separăm termenii cu necunoscuta de termenii liberi: \( ax \geq -b \).
Împărțim ambii membri la \( a \). Atenție la semnul lui \( a \)!
Scriem soluția finală sub formă de interval, respectând domeniul cerut pentru \( x \).
Rezolvăm inecuația: \( -3x + 5 \leq 14 \)
\( -3x \leq 14 - 5 \)
\( -3x \leq 9 \quad \mid : (-3) \) (Schimbăm sensul inegalității!)
\( x \geq -3 \).
Soluția în \( \mathbb{R} \) este \( S = [-3, +\infty) \).
\( -3x \leq 14 - 5 \)
\( -3x \leq 9 \quad \mid : (-3) \) (Schimbăm sensul inegalității!)
\( x \geq -3 \).
Soluția în \( \mathbb{R} \) este \( S = [-3, +\infty) \).
Determinați semnul fracției: \( \frac{5}{2x - 8} < 0 \).
Numărătorul (5) este strict pozitiv. Pentru ca întreaga fracție să fie negativă (\( < 0 \)), numitorul trebuie să fie strict negativ.
\( 2x - 8 < 0 \)
\( 2x < 8 \implies x < 4 \)
Răspuns: \( x \in (-\infty, 4) \).
\( 2x - 8 < 0 \)
\( 2x < 8 \implies x < 4 \)
Răspuns: \( x \in (-\infty, 4) \).
Exerciții
Ușoară: Scrieți sub formă de interval mulțimea \( M = \{x \in \mathbb{R} \mid -2 < x \leq 5\} \). Apoi, precizați cel mai mic număr întreg din acest interval.
Inegalitatea dublă se traduce prin intervalul deschis la stânga și închis la dreapta.
\( M = (-2, 5] \).
Deoarece intervalul este deschis în -2, numărul -2 nu face parte din mulțime. Următorul număr întreg mai mare este -1.
Răspuns: Intervalul este \( (-2, 5] \), iar cel mai mic număr întreg este -1.
\( M = (-2, 5] \).
Deoarece intervalul este deschis în -2, numărul -2 nu face parte din mulțime. Următorul număr întreg mai mare este -1.
Răspuns: Intervalul este \( (-2, 5] \), iar cel mai mic număr întreg este -1.
Medie: Rezolvați inecuația în mulțimea numerelor reale: \( 4(x - 2) \geq 6x + 2 \).
Desfacem parantezele: \( 4x - 8 \geq 6x + 2 \)
Separăm termenii cu \( x \): \( 4x - 6x \geq 2 + 8 \)
\( -2x \geq 10 \)
Împărțim la -2 (număr negativ, deci schimbăm sensul): \( x \leq -5 \)
Răspuns: \( S = (-\infty, -5] \).
Separăm termenii cu \( x \): \( 4x - 6x \geq 2 + 8 \)
\( -2x \geq 10 \)
Împărțim la -2 (număr negativ, deci schimbăm sensul): \( x \leq -5 \)
Răspuns: \( S = (-\infty, -5] \).
Dificilă: Rezolvați inecuația \( |3x - 6| \leq 9 \) și determinați numărul de elemente întregi din mulțimea soluțiilor.
Folosim proprietatea modulului: \( |u| \leq a \implies -a \leq u \leq a \).
\( -9 \leq 3x - 6 \leq 9 \)
Adunăm 6 în toți membrii inegalității:
\( -9 + 6 \leq 3x \leq 9 + 6 \)
\( -3 \leq 3x \leq 15 \)
Împărțim la 3:
\( -1 \leq x \leq 5 \). Sub formă de interval: \( x \in [-1, 5] \).
Numerele întregi din acest interval sunt: \( -1, 0, 1, 2, 3, 4, 5 \).
Răspuns: Mulțimea soluțiilor are 7 elemente întregi.
\( -9 \leq 3x - 6 \leq 9 \)
Adunăm 6 în toți membrii inegalității:
\( -9 + 6 \leq 3x \leq 9 + 6 \)
\( -3 \leq 3x \leq 15 \)
Împărțim la 3:
\( -1 \leq x \leq 5 \). Sub formă de interval: \( x \in [-1, 5] \).
Numerele întregi din acest interval sunt: \( -1, 0, 1, 2, 3, 4, 5 \).
Răspuns: Mulțimea soluțiilor are 7 elemente întregi.
