V.11. Unește Prin Săgeți Fiecare Enunț Aflat În Coloana A Cu Rezultatul Corespunzător Din Coloana B

Pasul 1: Determinarea lungimii muchiei cubului

Aria totală a unui cub cu latura \( l \) este dată de formula: \[ \mathcal{A}_{tot} = 6l^2 \] Știm din enunț că \( \mathcal{A}_{tot} = 864\text{ cm}^2 \). Egalăm cele două expresii pentru a afla lungimea muchiei \( l \): \[ 6l^2 = 864 \] \[ l^2 = \frac{864}{\cancel{6}_1} = 144 \] \[ l = \sqrt{144} = 12\text{ cm} \] Prin urmare, lungimea muchiei cubului este \( l = 12\text{ cm} \).

Pasul 2: Identificarea tetraedrului și a elementelor sale

Se cere distanța de la punctul \( B' \) la planul \( (BA'C') \). Considerăm piramida triunghiulară (tetraedrul) \( B'BA'C' \), cu vârful în \( B' \) și baza \( \triangle BA'C' \). Muchiile care pornesc din vârful \( B' \), adică \( B'B \), \( B'A' \) și \( B'C' \), sunt muchii ale cubului care se întâlnesc în vârful \( B' \). Prin urmare, ele sunt reciproc perpendiculare: \[ B'B \perp B'A', \quad B'B \perp B'C', \quad B'A' \perp B'C' \] Acest lucru înseamnă că piramida \( B'BA'C' \) este un tetraedru oarecare dreptunghic în \( B' \). Lungimile acestor muchii sunt egale cu latura cubului: \[ B'B = B'A' = B'C' = l = 12\text{ cm} \]

Pasul 3: Calcularea ariei bazei \( \triangle BA'C' \)

Laturile triunghiului \( \triangle BA'C' \) sunt: - \( BA' \), care este diagonala feței \( ABB'A' \) a cubului; - \( BC' \), care este diagonala feței \( BCC'B' \) a cubului; - \( A'C' \), care este diagonala feței \( A'B'C'D' \) a cubului. Deoarece toate fețele cubului sunt pătrate congruente cu latura \( l = 12\text{ cm} \), toate aceste diagonale au lungimi egale: \[ BA' = BC' = A'C' = l\sqrt{2} = 12\sqrt{2}\text{ cm} \] Prin urmare, \( \triangle BA'C' \) este un triunghi echilateral cu latura \( a = 12\sqrt{2}\text{ cm} \). Aria acestui triunghi echilateral se calculează cu formula: \[ \mathcal{A}_{BA'C'} = \frac{a^2\sqrt{3}}{4} \] Înlocuim lungimea laturii: \[ \mathcal{A}_{BA'C'} = \frac{(12\sqrt{2})^2\sqrt{3}}{4} = \frac{144 \cdot 2\sqrt{3}}{4} = \frac{\cancel{288}^{72}\sqrt{3}}{\cancel{4}_1} = 72\sqrt{3}\text{ cm}^2 \]

Pasul 4: Calcularea volumului tetraedrului \( B'BA'C' \) în două moduri

**Modul 1:** Considerăm baza ca fiind triunghiul dreptunghic \( \triangle B'A'C' \) și înălțimea corespunzătoare ca fiind muchia \( B'B \). Aria bazei \( \triangle B'A'C' \) este: \[ \mathcal{A}_{B'A'C'} = \frac{B'A' \cdot B'C'}{2} = \frac{12 \cdot 12}{2} = 72\text{ cm}^2 \] Volumul piramidei este: \[ \mathcal{V} = \frac{\mathcal{A}_{B'A'C'} \cdot B'B}{3} = \frac{72 \cdot 12}{3} = 72 \cdot 4 = 288\text{ cm}^3 \] **Modul 2:** Considerăm baza ca fiind triunghiul \( \triangle BA'C' \) și înălțimea ca fiind distanța de la punctul \( B' \) la planul bazei, notată cu \( d \). Formula volumului devine: \[ \mathcal{V} = \frac{\mathcal{A}_{BA'C'} \cdot d}{3} \] Egalând cele două volume obținute, avem: \[ 288 = \frac{72\sqrt{3} \cdot d}{3} \] \[ 288 = 24\sqrt{3} \cdot d \] \[ d = \frac{288}{24\sqrt{3}} = \frac{12}{\sqrt{3}} = \frac{12\sqrt{3}}{3} = 4\sqrt{3}\text{ cm} \] Prin urmare, distanța de la punctul \( B' \) la planul \( (BA'C') \) este egală cu \( 4\sqrt{3}\text{ cm} \), ceea ce corespunde opțiunii c).

\( \mathcal{A}_{tot} = 6l^2 = 864 \implies l = 12\text{ cm} \) În tetraedrul \( B'BA'C' \): \( \mathcal{V} = \frac{B'A' \cdot B'C' \cdot B'B}{6} = \frac{12^3}{6} = 288\text{ cm}^3 \) \( BA' = BC' = A'C' = 12\sqrt{2}\text{ cm} \) \( \mathcal{A}_{BA'C'} = \frac{(12\sqrt{2})^2\sqrt{3}}{4} = 72\sqrt{3}\text{ cm}^2 \) \( \mathcal{V} = \frac{\mathcal{A}_{BA'C'} \cdot d}{3} \implies 288 = \frac{72\sqrt{3} \cdot d}{3} \implies d = 4\sqrt{3}\text{ cm} \) Răspuns corect: c)