V.5. Autoevaluare

Pasul 1: Înțelegerea datelor problemei și a structurii geometrice

Un tetraedru regulat este o piramidă triunghiulară regulată în care toate cele 4 fețe sunt triunghiuri echilaterale congruente. Muchia tetraedrului inițial este \( L = 4\text{ cm} \). Prin secționarea tetraedrului cu un plan paralel cu baza, dus prin jumătatea înălțimii sale, se obține un trunchi de piramidă triunghiulară regulată și o piramidă mică (tot un tetraedru regulat). Deoarece planul trece prin mijlocul înălțimii tetraedrului mare, raportul de asemănare dintre piramida mică obținută și piramida mare (tetraedrul inițial) este: \[ k = \frac{1}{2} \]

Pasul 2: Determinarea elementelor trunchiului de piramidă

Folosind raportul de asemănare \( k = \frac{1}{2} \), putem deduce dimensiunile elementelor geometrice ale trunchiului:

• Latura bazei mari a trunchiului (baza tetraedrului inițial): \( L = 4\text{ cm} \)
• Latura bazei mici a trunchiului (baza tetraedrului mic): \( l = k \cdot L = \frac{1}{2} \cdot 4 = 2\text{ cm} \)
• Muchia laterală a trunchiului: \( m = L - l = 4 - 2 = 2\text{ cm} \)

Pasul 3: Calcularea apotemei trunchiului de piramidă

Fețele laterale ale trunchiului de piramidă sunt trapeze isoscele congruente. Să analizăm o față laterală, de exemplu trapezul cu bazele \( L = 4\text{ cm} \) și \( l = 2\text{ cm} \), și laturile neparalele (muchiile laterale) egale cu \( m = 2\text{ cm} \). Apotema trunchiului (\( a_{trunchi} \)) este înălțimea acestui trapez isoscel. Proiecția unei laturi neparalele pe baza mare determină un segment de lungime: \[ x = \frac{L - l}{2} = \frac{4 - 2}{2} = \frac{2}{2} = 1\text{ cm} \] Aplicând Teorema lui Pitagora în triunghiul dreptunghic format de muchia laterală ca ipotenuză, proiecția \( x \) și înălțimea trapezului (apotema trunchiului): \[ a_{trunchi}^2 = m^2 - x^2 \] \[ a_{trunchi}^2 = 2^2 - 1^2 = 4 - 1 = 3 \] \[ a_{trunchi} = \sqrt{3}\text{ cm} \]

Pasul 4: Calcularea ariei laterale a trunchiului

Aria laterală a unui trunchi de piramidă se calculează folosind formula: \[ \mathcal{A}_{lat} = \frac{(\mathcal{P}_B + \mathcal{P}_b) \cdot a_{trunchi}}{2} \] Unde:

• Perimetrul bazei mari (triunghi echilateral cu latura de \( 4\text{ cm} \)): \( \mathcal{P}_B = 3 \cdot L = 3 \cdot 4 = 12\text{ cm} \)
• Perimetrul bazei mici (triunghi echilateral cu latura de \( 2\text{ cm} \)): \( \mathcal{P}_b = 3 \cdot l = 3 \cdot 2 = 6\text{ cm} \)

Înlocuim valorile în formulă: \[ \mathcal{A}_{lat} = \frac{(12 + 6) \cdot \sqrt{3}}{2} \] \[ \mathcal{A}_{lat} = \frac{18 \cdot \sqrt{3}}{2} \] Simplificăm fracția: \[ \mathcal{A}_{lat} = \frac{\cancel{18}^9 \cdot \sqrt{3}}{\cancel{2}_1} = 9\sqrt{3}\text{ cm}^2 \] Răspunsul corect este cel de la opțiunea a.

\( k = \frac{1}{2} \Rightarrow L = 4\text{ cm}, l = 2\text{ cm}, m = 2\text{ cm} \) \( x = \frac{4 - 2}{2} = 1\text{ cm} \Rightarrow a_{trunchi} = \sqrt{2^2 - 1^2} = \sqrt{3}\text{ cm} \) \( \mathcal{P}_B = 12\text{ cm}, \mathcal{P}_b = 6\text{ cm} \) \[ \mathcal{A}_{lat} = \frac{(12 + 6)\sqrt{3}}{2} = 9\sqrt{3}\text{ cm}^2 \] Răspuns corect: a)