V.6. Autoevaluare

Pentru a determina volumul cilindrului circular drept obținut prin înfășurarea unui dreptunghi, vom parcurge următorii pași logici.

Pasul 1: Înțelegerea procesului de desfășurare a suprafeței laterale

Atunci când suprafața laterală a unui cilindru circular drept se desfășoară în plan, ea formează un dreptunghi. Dimensiunile acestui dreptunghi sunt legate direct de elementele cilindrului astfel: - Una dintre dimensiuni reprezintă generatoarea cilindrului, \( G \) (sau înălțimea \( h \)). - Cealaltă dimensiune reprezintă lungimea cercului de bază al cilindrului, \( L = 2\pi R \), unde \( R \) este raza bazei cilindrului.

Pasul 2: Determinarea razei bazei cilindrului

Din enunț, știm că dimensiunile dreptunghiului sunt \( 14\pi \text{ cm} \) și \( 5 \text{ cm} \), iar generatoarea cilindrului este \( G = 5 \text{ cm} \). Aceasta înseamnă că cealaltă dimensiune a dreptunghiului corespunde lungimii cercului de bază: \[ L = 14\pi \text{ cm} \] Folosind formula lungimii cercului, avem: \[ 2\pi R = 14\pi \] Pentru a afla raza \( R \), simplificăm prin \( \pi \) și împărțim la \( 2 \): \[ R = \frac{14\cancel{\pi}}{2\cancel{\pi}} = 7 \text{ cm} \]

Pasul 3: Calculul volumului cilindrului

Formula pentru volumul unui cilindru circular drept este: \[ \mathcal{V} = \pi R^2 h \] Deoarece la cilindrul circular drept înălțimea este egală cu generatoarea (\( h = G = 5 \text{ cm} \)) și raza este \( R = 7 \text{ cm} \), înlocuim valorile în formulă: \[ \mathcal{V} = \pi \cdot 7^2 \cdot 5 \] \[ \mathcal{V} = \pi \cdot 49 \cdot 5 \] \[ \mathcal{V} = 245\pi \text{ cm}^3 \]

Pasul 4: Identificarea răspunsului corect

Comparând valoarea obținută cu variantele din enunț: - a) \( 980\pi \text{ cm}^3 \) - b) \( 245\pi \text{ cm}^3 \) - c) \( 490\pi \text{ cm}^3 \) - d) \( 70\pi \text{ cm}^3 \) Răspunsul corect este cel corespunzător literei b.

\( L = 2\pi R \Rightarrow 14\pi = 2\pi R \Rightarrow R = 7 \text{ cm} \) \( \mathcal{V} = \pi R^2 h = \pi \cdot 7^2 \cdot 5 = 245\pi \text{ cm}^3 \) Răspuns corect: b)