Cele mai importante aspecte ale lecției
Inecuația de gradul întâi are una dintre formele \( ax + b \geq 0 \), \( ax + b \leq 0 \), \( ax + b < 0 \) sau \( ax + b > 0 \), unde \( a \) și \( b \) sunt numere reale, iar \( a \neq 0 \).
Soluție: O valoare a necunoscutei \( x \) pentru care inecuația devine o propoziție adevărată.
Inecuații echivalente: Două inecuații care au exact aceeași mulțime a soluțiilor.
Dacă trecem un termen dintr-un membru în altul al inecuației, îi schimbăm semnul, obținând o inecuație echivalentă.
\( a + b \leq c \Leftrightarrow a \leq c - b \)
\( a + b \leq c \Leftrightarrow a \leq c - b \)
Dacă înmulțim sau împărțim ambii membri cu un număr strict pozitiv (\( c > 0 \)), se păstrează sensul inecuației.
Atenție maximă! Dacă înmulțim sau împărțim ambii membri cu un număr strict negativ (\( c < 0 \)), se schimbă sensul inecuației (din \( \leq \) devine \( \geq \), din \( < \) devine \( > \) etc.).
\( a \leq b \mid \cdot c, c < 0 \Leftrightarrow a \cdot c \geq b \cdot c \)
\( a \leq b \mid : c, c < 0 \Leftrightarrow a : c \geq b : c \)
\( a \leq b \mid : c, c < 0 \Leftrightarrow a : c \geq b : c \)
Scopul este izolarea necunoscutei \( x \) într-un singur membru al inegalității.
Se separă termenii: se trec termenii cu necunoscuta într-un membru și termenii liberi în celălalt membru (schimbând semnul la trecerea peste relația de inegalitate). Efectuăm calculele pentru a ajunge la forma \( ax \geq -b \) (sau \( \leq, <, > \)).
Se împarte inecuația la coeficientul lui \( x \) (adică la \( a \)).
• Dacă \( a > 0 \), rezultă \( x \geq -\frac{b}{a} \).
• Dacă \( a < 0 \), se schimbă sensul: \( x \leq -\frac{b}{a} \).
• Dacă \( a > 0 \), rezultă \( x \geq -\frac{b}{a} \).
• Dacă \( a < 0 \), se schimbă sensul: \( x \leq -\frac{b}{a} \).
Se scrie mulțimea soluțiilor sub formă de interval de numere reale.
• Pentru \( x \geq k \Rightarrow S = [k, \infty) \)
• Pentru \( x \leq k \Rightarrow S = (-\infty, k] \)
• Pentru \( x \geq k \Rightarrow S = [k, \infty) \)
• Pentru \( x \leq k \Rightarrow S = (-\infty, k] \)
Rezolvarea inecuației \( -3x + 12 \geq 0 \):
1. \( -3x \geq -12 \) (am mutat 12 cu semn schimbat)
2. Împărțim la \( (-3) \). Deoarece este negativ, schimbăm sensul: \( x \leq \frac{-12}{-3} \Rightarrow x \leq 4 \)
3. Soluția sub formă de interval: \( x \in (-\infty, 4] \)
1. \( -3x \geq -12 \) (am mutat 12 cu semn schimbat)
2. Împărțim la \( (-3) \). Deoarece este negativ, schimbăm sensul: \( x \leq \frac{-12}{-3} \Rightarrow x \leq 4 \)
3. Soluția sub formă de interval: \( x \in (-\infty, 4] \)
Inecuații cu modul: O inecuație de forma \( |E(x)| \leq a \) (unde \( a > 0 \)) se transformă într-o dublă inegalitate: \[ -a \leq E(x) \leq a \] Se rezolvă scăzând/adunând termeni și împărțind simultan în toți cei 3 membri.
Inecuații fracționare: Pentru o inecuație de forma \( \frac{A}{B} < 0 \) sau \( \frac{A}{B} > 0 \), se analizează semnul numărătorului și al numitorului. Dacă unul dintre ei este strict pozitiv (ex. \( \sqrt{3} > 0 \)), celălalt dictează semnul fracției. De reținut: numitorul nu poate fi niciodată 0.
Probleme de antrenament
Ușoară: Rezolvă în mulțimea numerelor reale inecuația: \( 4x - 5 \leq 7 \).
Mutăm termenul liber (-5) în membrul drept cu semn schimbat:
\( 4x \leq 7 + 5 \)
\( 4x \leq 12 \)
Împărțim prin 4 (număr pozitiv, sensul se păstrează):
\( x \leq 3 \)
Soluție: \( S = (-\infty, 3] \)
\( 4x \leq 7 + 5 \)
\( 4x \leq 12 \)
Împărțim prin 4 (număr pozitiv, sensul se păstrează):
\( x \leq 3 \)
Soluție: \( S = (-\infty, 3] \)
Medie: Rezolvă în mulțimea numerelor reale inecuația: \( 2(x + 3) > 5x - 6 \).
Desfacem parantezele:
\( 2x + 6 > 5x - 6 \)
Separăm termenii (mutăm \( 5x \) în stânga și \( 6 \) în dreapta):
\( 2x - 5x > -6 - 6 \)
\( -3x > -12 \)
Împărțim prin \(-3\). Fiind un număr negativ, schimbăm sensul inecuației:
\( x < \frac{-12}{-3} \)
\( x < 4 \)
Soluție: \( S = (-\infty, 4) \)
\( 2x + 6 > 5x - 6 \)
Separăm termenii (mutăm \( 5x \) în stânga și \( 6 \) în dreapta):
\( 2x - 5x > -6 - 6 \)
\( -3x > -12 \)
Împărțim prin \(-3\). Fiind un număr negativ, schimbăm sensul inecuației:
\( x < \frac{-12}{-3} \)
\( x < 4 \)
Soluție: \( S = (-\infty, 4) \)
Dificilă: Rezolvă în mulțimea numerelor reale inecuația: \( |2x - 1| \leq 5 \).
Transformăm inecuația cu modul într-o dublă inegalitate:
\( -5 \leq 2x - 1 \leq 5 \)
Adunăm 1 în toți membrii pentru a izola termenul cu \( x \):
\( -5 + 1 \leq 2x \leq 5 + 1 \)
\( -4 \leq 2x \leq 6 \)
Împărțim toți membrii prin 2:
\( -2 \leq x \leq 3 \)
Soluție: \( S = [-2, 3] \)
\( -5 \leq 2x - 1 \leq 5 \)
Adunăm 1 în toți membrii pentru a izola termenul cu \( x \):
\( -5 + 1 \leq 2x \leq 5 + 1 \)
\( -4 \leq 2x \leq 6 \)
Împărțim toți membrii prin 2:
\( -2 \leq x \leq 3 \)
Soluție: \( S = [-2, 3] \)
Pentru a rezolva inecuații de forma \( ax + b \geq 0 \), trebuie să parcurgem următorii pași esențiali:
1. Izolăm necunoscuta: Mutăm termenii cu \( x \) într-o parte și numerele în cealaltă (schimbând semnul la mutare).
2. Împărțim: Împărțim inecuația la coeficientul lui \( x \).
3. Regula de aur: Dacă împărțim sau înmulțim cu un număr negativ, SENSUL INECUAȚIEI SE SCHIMBĂ (ex. din \( > \) devine \( < \)).
4. Notăm soluția: Rezultatul final se scrie obligatoriu sub formă de interval de numere reale (ex. \( x \in
1. Izolăm necunoscuta: Mutăm termenii cu \( x \) într-o parte și numerele în cealaltă (schimbând semnul la mutare).
2. Împărțim: Împărțim inecuația la coeficientul lui \( x \).
3. Regula de aur: Dacă împărțim sau înmulțim cu un număr negativ, SENSUL INECUAȚIEI SE SCHIMBĂ (ex. din \( > \) devine \( < \)).
4. Notăm soluția: Rezultatul final se scrie obligatoriu sub formă de interval de numere reale (ex. \( x \in
