Alege litera corespunzătoare răspunsului corect.\nFie $d$ o dreaptă paralelă cu un plan $\alpha$. Propoziția „Dreapta $d$ este paralelă cu orice dreaptă din planul $\alpha$” este:\na) adevărată;\nb) falsă.

Pasul 1: Analiza definiției paralelei dintre o dreaptă și un plan O dreaptă $ d $ este paralelă cu un plan $ \alpha $ dacă nu are niciun punct comun cu acesta, adică $ d \cap \alpha = \varnothing $. Pasul 2: Analiza relațiilor dintre dreapta $ d $ și dreptele din planul $ \alpha $ Dacă o dreaptă $ d $ este paralelă cu planul $ \alpha $, în acest plan există două tipuri de drepte în raport cu $ d $: Drepte paralele cu $ d $. Drepte necoplanare (oarbe/concurente în spațiu) cu \...

Autoevaluare

Cele mai importante aspecte ale lecției

Concepte de reținut despre dreapta paralelă cu un plan:

O dreaptă este paralelă cu un plan dacă nu au niciun punct comun ($ d \cap \alpha = \varnothing $).
Cum demonstrăm: Găsim o dreaptă $ a $ în planul $ \alpha $ astfel încât $ d \parallel a $. Acesta este cel mai folosit instrument în probleme.
O dreaptă paralelă cu un plan se aliniază perfect (este paralelă) cu unele drepte din acel plan, dar nu cu toate.
Teorema Acoperișului și Teorema Umbrei sunt extinderi utile atunci când lucrăm cu intersecții de plane (muchii) și drepte paralele conținute în aceste plane.

În spațiu, o dreaptă poate avea trei poziții distincte față de un plan, clasificate în funcție de numărul de puncte comune.

1. Dreaptă inclusă în plan

Dacă o dreaptă $ d $ are două puncte comune cu un plan $ \alpha $, atunci toată dreapta este conținută în acel plan (are o infinitate de puncte comune).

$Un plan paralelogram, etichetat \alpha, este desenat în perspectivă 3D, sugerând o suprafață orizontală ușor înclinată. Vârfurile paralelogramului sunt etichetate P, Q, R, S, începând cu P în stânga jos și continuând în sens trigonometric (contra-orar). O dreaptă continuă, etichetată d, este desenată complet în interiorul conturului acestui plan paralelogram. Dreapta d trece prin două puncte distincte, etichetate A și B, care sunt marcate clar pe dreaptă și vizibile în interiorul planului \alpha. Porțiunea desenată a dreptei d se extinde ușor dincolo de punctele A și B, dar rămâne în întregime inclusă în interiorul paralelogramului.$

\[ A \neq B; A \in d, B \in d \text{ și } A \in \alpha, B \in \alpha \Rightarrow d \subset \alpha \]

2. Dreaptă secantă cu un plan

Dacă o dreaptă $ d $ are un singur punct comun cu planul $ \alpha $, spunem că dreapta intersectează (sau "înțeapă") planul.

$Un plan paralelogram, etichetat $\alpha$, este desenat în perspectivă 3D, ușor înclinat, sugerând o poziție cvasiorizontală. O dreaptă $d$ transversală este desenată coborând printr-un punct, străpungând planul într-un singur punct, etichetat $A$. Punctul $A$ se află pe suprafața planului. Porțiunea dreptei $d$ situată deasupra planului $\alpha$ este reprezentată printr-o linie continuă. Porțiunea dreptei $d$ care continuă dedesubtul planului $\alpha$ este reprezentată printr-o linie punctată, pentru a indica partea ascunsă.$

\[ d \cap \alpha = \{A\} \]

3. Dreaptă paralelă cu un plan

Dacă o dreaptă $ d $ nu are niciun punct comun cu planul $ \alpha $, atunci dreapta este paralelă cu planul.

$Un plan paralelogram \alpha este desenat în perspectivă 3D, cu vârfurile sale A, B, C, D etichetate în ordine inversă acelor de ceasornic, începând cu A în partea stânga-jos. O dreaptă d este poziționată vizibil deasupra planului \alpha. Această dreaptă d este complet paralelă cu planul \alpha, menținând o distanță verticală constantă față de acesta, și este orientată paralel cu laturile AB și CD ale paralelogramului, fără a avea niciun punct comun cu planul.$

\[ d \cap \alpha = \varnothing \Rightarrow d \parallel \alpha \]

Teorema 1: O dreaptă paralelă cu o dreaptă dintr-un plan este paralelă cu planul sau conținută în el.

Pentru a demonstra că o dreaptă $ d $ este paralelă cu un plan $ \alpha $ (și nu este inclusă în el), este suficient să găsim o singură dreaptă $ a $ inclusă în planul $ \alpha $, astfel încât $ d \parallel a $.
Matematic: $ d \parallel a $ și $ a \subset \alpha $, iar $ d \not\subset \alpha \Rightarrow d \parallel \alpha $.

Dacă o dreaptă este paralelă cu un plan, ea este paralelă cu o infinitate de drepte din acel plan, dar nu este paralelă cu orice dreaptă din plan (cu unele drepte din plan formează unghiuri, fiind necoplanare).

Dacă dreapta $ d $ este paralelă cu planul $ \alpha $, este obligatoriu ca $ d $ să fie paralelă cu o dreaptă oarecare $ m \subset \alpha $?

Răspuns: Fals. Dreapta $ d $ este paralelă cu o infinitate de drepte din planul $ \alpha $, dar nu cu toate. Față de dreapta $ m $, dreapta $ d $ poate fi paralelă sau necoplanară.

Teorema Umbrei: Dacă dreapta $ d $ este paralelă cu planul $ \alpha $, iar planul $ \beta $ (care conține dreapta $ d $) intersectează planul $ \alpha $ după dreapta $ a $, atunci dreptele $ a $ și $ d $ sunt paralele.

$Două plane, \alpha și \beta, se intersectează. Planul \alpha este reprezentat ca un paralelogram orizontal, iar planul \beta ca un paralelogram înclinat care taie planul \alpha. Linia de intersecție a celor două plane este dreapta a, vizibilă ca o muchie comună. În interiorul planului \beta, deasupra și la o anumită distanță de dreapta a, este desenată o dreaptă d. Dreptele d și a sunt paralele și se află în același plan \beta.$

Teorema Acoperișului: Dacă dreapta $ d $ este intersecția a două plane $ \alpha $ și $ \beta $, iar planul $ \alpha $ conține dreapta $ a $, planul $ \beta $ conține dreapta $ b $, și $ a \parallel b $, atunci dreapta de intersecție $ d $ este paralelă cu ambele drepte ($ d \parallel a $ și $ d \parallel b $).

$Două plane, \alpha și \beta, sunt reprezentate ca suprafețe de paralelogram înclinate, formând o structură similară unui acoperiș de casă. Ele se intersectează de-a lungul muchiei comune d, care este poziționată orizontal în partea superioară a desenului. Planul \alpha este vizualizat ca fiind pe partea stângă a acoperișului, extinzându-se de la muchia d în jos și spre stânga. Planul \beta este vizualizat ca fiind pe partea dreaptă a acoperișului, extinzându-se de la muchia d în jos și spre dreapta. Pe fața planului \alpha, este desenată o dreaptă a, paralelă cu muchia d și cu marginea inferioară a planului \alpha. Dreapta a este poziționată între muchia d și marginea inferioară a planului \alpha. Pe fața planului \beta, este desenată o dreaptă b, paralelă cu muchia d și cu marginea inferioară a planului \beta. Dreapta b este poziționată între muchia d și marginea inferioară a planului \beta. Toate cele trei drepte, a, b și muchia d, sunt paralele între ele, fiind toate orizontale.$

Probleme de antrenament

Ușoară: Se consideră un cub $ ABCDA'B'C'D' $. Stabiliți poziția dreptei $ A'B' $ față de planul $ (ABCD) $.

Rezolvare:
Căutăm o dreaptă în planul feței de jos $ (ABCD) $ care să fie paralelă cu $ A'B' $.
Deoarece fața laterală $ ABB'A' $ este un pătrat (sau dreptunghi), știm că $ A'B' \parallel AB $.
Cum $ AB \subset (ABCD) $ și $ A'B' \not\subset (ABCD) $, conform Teoremei 1 rezultă că $ A'B' \parallel (ABCD) $.

Medie: Fie o piramidă triunghiulară regulată $ VABC $. Notăm cu $ M $ mijlocul muchiei $ VA $ și cu $ N $ mijlocul muchiei $ VB $. Demonstrați că dreapta $ MN $ este paralelă cu planul bazei $ (ABC) $.

Rezolvare:
În triunghiul $ VAB $, punctele $ M $ și $ N $ sunt mijloacele laturilor $ VA $, respectiv $ VB $.
Prin urmare, segmentul $ MN $ este linie mijlocie în $ \triangle VAB $.
Conform proprietății liniei mijlocii, $ MN \parallel AB $.
Deoarece $ AB \subset (ABC) $ și $ MN \not\subset (ABC) $, aplicând criteriul de paralelism obținem $ MN \parallel (ABC) $.

Dificilă: Planele $ \alpha $ și $ \beta $ se intersectează după dreapta $ d $ ($ \alpha \cap \beta = d $). În planul $ \alpha $ se consideră o dreaptă $ a $ astfel încât $ a \parallel d $. Demonstrați că $ a \parallel \beta $.

Rezolvare:
Avem $ \alpha \cap \beta = d $, ceea ce înseamnă că dreapta $ d $ este inclusă în ambele plane: $ d \subset \alpha $ și $ d \subset \beta $.
Din ipoteză știm că dreapta $ a $ din planul $ \alpha $ este paralelă cu dreapta $ d $.
Deoarece $ a \parallel d $ și $ d \subset \beta $, iar dreapta $ a $ nu este inclusă în planul $ \beta $ (fiind în planul $ \alpha $ și paralelă cu intersecția lor), rezultă conform Teoremei fundamentale de paralelism că $ a \parallel \beta $.

IV.6. Autoevaluare

Lecția IV.6 conține următoarele grupuri de exerciții:

Alege rezolvarea exercițiului:

Pasul 1: Analiza definiției paralelei dintre o dreaptă și un plan

Pasul 2: Analiza relațiilor dintre dreapta \( d \) și dreptele din planul \( \alpha \)

Pasul 3: Evaluarea afirmației din enunț

Pasul 4: Selectarea răspunsului corect

Rezolvare scurtă:

Cele mai importante aspecte ale lecției

Probleme de antrenament

Învinge
tema cu mii de rezolvări, lecții și teste:

Matematică

Fizică

Chimie

PhotoSolveAI

PhotoSolveAI – un instrument puternic pentru rezolvarea problemelor din poză/text

Lecția IV.6 conține următoarele grupuri de exerciții:

Alege rezolvarea exercițiului:

Rezolvare scurtă

Rezolvare detaliată

Pasul 1: Analiza definiției paralelei dintre o dreaptă și un plan

Pasul 2: Analiza relațiilor dintre dreapta \( d \) și dreptele din planul \( \alpha \)

Pasul 3: Evaluarea afirmației din enunț

Pasul 4: Selectarea răspunsului corect

Rezolvare scurtă:

Probleme de antrenament

Învinge tema cu mii de rezolvări, lecții și teste:

Matematică

Fizică

Chimie

PhotoSolveAI

PhotoSolveAI – un instrument puternic pentru rezolvarea problemelor din poză/text

Învinge
tema cu mii de rezolvări, lecții și teste: