II.6.3. Compararea puterilor

Pentru a compara numerele \( a \) și \( b \), vom simplifica fiecare expresie folosind factorul comun și regulile de calcul cu puteri, astfel încât să ajungem la o formă care permite compararea directă (aceeași bază sau același exponent).

a) \( a = 3^{100} + 3^{101} + 3^{102} \) și \( b = 10 \cdot 9^{52} - 9^{53} \)

Calcularea lui \( a \)

Scoatem factor comun puterea cu exponentul cel mai mic, adică \( 3^{100} \): \[ a = 3^{100} \cdot (1 + 3^1 + 3^2) \] \[ a = 3^{100} \cdot (1 + 3 + 9) = 3^{100} \cdot 13 \]

Calcularea lui \( b \)

Mai întâi, scriem baza \( 9 \) ca putere a lui \( 3 \): \( 9 = 3^2 \). \[ b = 10 \cdot (3^2)^{52} - (3^2)^{53} = 10 \cdot 3^{104} - 3^{106} \] Scoatem factor comun \( 3^{104} \): \[ b = 3^{104} \cdot (10 - 3^2) = 3^{104} \cdot (10 - 9) = 3^{104} \cdot 1 = 3^{104} \]

Compararea

Avem \( a = 13 \cdot 3^{100} \) și \( b = 3^4 \cdot 3^{100} = 81 \cdot 3^{100} \). Deoarece \( 13 < 81 \), rezultă că \( a < b \).

b) \( a = 2^{124} + 2^{123} - \cancel{2^{122}} + 2^{121} + 3 \cdot 2^{120} \) și \( b = 5^{49} + 5^{49} + 5^{49} + 5^{49} + 5^{49} \)

Calcularea lui \( a \)

Scoatem factor comun \( 2^{120} \): \[ a = 2^{120} \cdot (2^4 + 2^3 - 2^2 + 2^1 + 3) \] \[ a = 2^{120} \cdot (16 + 8 - 4 + 2 + 3) = 2^{120} \cdot 25 \] Observăm că \( 25 = 5^2 \), deci \( a = 2^{120} \cdot 5^2 \).

Calcularea lui \( b \)

Suma a cinci termeni egali este echivalentă cu înmulțirea cu \( 5 \): \[ b = 5 \cdot 5^{49} = 5^{50} \]

Compararea

Scriem \( b = 5^{50} = (5^2)^{25} = 25^{25} \). Scriem \( a = 2^{120} \cdot 5^2 = (2^{24})^5 \cdot 25 \). Această metodă este complicată. Să încercăm să aducem la același exponent. \( a = 2^{120} \cdot 5^2 = (2^{12})^{10} \cdot 25 = 4096^{10} \cdot 25 \) \( b = 5^{50} = (5^5)^{10} = 3125^{10} \) Deoarece \( 4096 > 3125 \), rezultă clar că \( a > b \).

c) \( a = 3^{n+2} - 3^n \) și \( b = 2^{n+3} - 2^{n+1} - 5 \cdot 2^n \)

Calcularea lui \( a \)

Scoatem factor comun \( 3^n \): \[ a = 3^n \cdot (3^2 - 1) = 3^n \cdot (9 - 1) = 8 \cdot 3^n \]

Calcularea lui \( b \)

Scoatem factor comun \( 2^n \): \[ b = 2^n \cdot (2^3 - 2^1 - 5) = 2^n \cdot (8 - 2 - 5) = 2^n \cdot 1 = 2^n \]

Compararea

Avem \( a = 8 \cdot 3^n \) și \( b = 2^n \). Deoarece \( 8 \ge 1 \) și \( 3^n \ge 2^n \) pentru orice \( n \in \mathbb{N} \), rezultă că \( a > b \). (Dacă \( n=0 \), \( a=8 \) și \( b=1 \). Dacă \( n \ge 1 \), baza și coeficientul lui \( a \) sunt mai mari).

d) \( a = 3^{35} - 9^{17} \) și \( b = 2^1 \cdot 4^2 \cdot 8^3 \cdot 16^4 \cdot 32^5 : (2^3 \cdot 3 - 2^4) \)

Calcularea lui \( a \)

\[ a = 3^{35} - (3^2)^{17} = 3^{35} - 3^{34} \] \[ a = 3^{34} \cdot (3 - 1) = 2 \cdot 3^{34} \]

Calcularea lui \( b \)

Aducem totul la baza \( 2 \): \[ b = 2^1 \cdot (2^2)^2 \cdot (2^3)^3 \cdot (2^4)^4 \cdot (2^5)^5 : (8 \cdot 3 - 16) \] \[ b = 2^1 \cdot 2^4 \cdot 2^9 \cdot 2^{16} \cdot 2^{25} : (24 - 16) \] \[ b = 2^{1+4+9+16+25} : 8 = 2^{55} : 2^3 = 2^{52} \]

Compararea

Comparăm \( a = 2 \cdot 3^{34} \) cu \( b = 2^{52} \). Împărțim ambele numere prin \( 2 \): trebuie să comparăm \( 3^{34} \) cu \( 2^{51} \). Observăm că ambele au exponentul divizibil cu \( 17 \): \[ 3^{34} = (3^2)^{17} = 9^{17} \] \[ 2^{51} = (2^3)^{17} = 8^{17} \] Deoarece \( 9 > 8 \), rezultă \( a > b \).

a)

\( a = 3^{100}(1+3+9) = 13 \cdot 3^{100} \); \( b = 3^{104}(10-9) = 81 \cdot 3^{100} \Rightarrow a < b \)

b)

\( a = 2^{120}(16+8-4+2+3) = 25 \cdot 2^{120} \); \( b = 5^{50} \); \( 25 \cdot (2^{12})^{10} > (5^5)^{10} \Rightarrow a > b \)

c)

\( a = 3^n(9-1) = 8 \cdot 3^n \); \( b = 2^n(8-2-5) = 2^n \Rightarrow a > b \)

d)

\( a = 3^{34}(3-1) = 2 \cdot 9^{17} \); \( b = 2^{55} : 8 = 2^{52} = 2 \cdot 8^{17} \Rightarrow a > b \)