Ordinea Efectuării Operațiilor. Utilizarea Parantezelor: Rotunde, Pătrate Și Acolade

Alege rezolvarea exercițiului:

a)
\( (25 \cdot 6 - 1\,400 : 14) : 10 + 324 : 18 = (150 - 100) : 10 + 18 = 50 : 10 + 18 = 5 + 18 = 23 \)

b)
\( [37 \cdot 15 - (231 + 27)] \cdot 4 - 1\,100 = [555 - 258] \cdot 4 - 1\,100 = 297 \cdot 4 - 1\,100 = 1\,188 - 1\,100 = 88 \)

c)
\( 258 + \{[(324 + 256) : 10 - (280 - 250)] \cdot 3\} : 7 - 70 = 258 + \{[580 : 10 - 30] \cdot 3\} : 7 - 70 = \)
\( = 258 + \{[58 - 30] \cdot 3\} : 7 - 70 = 258 + \{28 \cdot 3\} : 7 - 70 = 258 + 84 : 7 - 70 = \)
\( = 258 + 12 - 70 = 270 - 70 = 200 \)

d)
\( 48 + 2 \cdot \{1\,740 - 8 \cdot [30 + 3 \cdot (250 - 206)]\} = 48 + 2 \cdot \{1\,740 - 8 \cdot [30 + 3 \cdot 44]\} = \)
\( = 48 + 2 \cdot \{1\,740 - 8 \cdot [30 + 132]\} = 48 + 2 \cdot \{1\,740 - 8 \cdot 162\} = 48 + 2 \cdot \{1\,740 - 1\,296\} = \)
\( = 48 + 2 \cdot 444 = 48 + 888 = 936 \)

e)
\( (2^{1+2+30} + 5^{10+26-3}) : (5^{33} + 2^{33}) = (2^{33} + 5^{33}) : (5^{33} + 2^{33}) = 1 \)

f)
\( 3^{99} : \{[3^{60} \cdot 3^{40} + (3^3)^{33}] : 4\} = 3^{99} : \{[3^{100} + 3^{99}] : 4\} = 3^{99} : \{3^{99}(3+1) : 4\} = \)
\( = 3^{99} : \{3^{99} \cdot 4 : 4\} = 3^{99} : 3^{99} = 1 \)

g)
\( [7^{22} + 3^{30} + 2^{69-40}] : (7^{22} + 2^{25+4} + 3^{30}) = (7^{22} + 3^{30} + 2^{29}) : (7^{22} + 2^{29} + 3^{30}) = 1 \)

h)
\( 5^{100} : [5^{98} + 2 \cdot 5^{83-28+44} - 6 \cdot (5^{49})^2] : 5 = 5^{100} : [5^{98} + 2 \cdot 5^{99} - 6 \cdot 5^{98}] : 5 = \)
\( = 5^{100} : [5^{98}(1 + 2 \cdot 5 - 6)] : 5 = 5^{100} : [5^{98} \cdot 5] : 5 = 5^{100} : 5^{99} : 5 = 5^1 : 5 = 1 \)

Pentru rezolvarea acestor exerciții, vom respecta ordinea efectuării operațiilor: mai întâi operațiile din parantezele rotunde, apoi cele din parantezele pătrate și la final cele din acolade. În interiorul parantezelor și în restul expresiei, ordinea este: puteri (ordinul III), înmulțiri și împărțiri (ordinul II), apoi adunări și scăderi (ordinul I).

a) \( (25 \cdot 6 - 1\,400 : 14) : 10 + 324 : 18 \)
Pasul 1: Calculele din paranteza rotundă
Mai întâi efectuăm înmulțirea și împărțirea din paranteză:
\( 25 \cdot 6 = 150 \)
\( 1\,400 : 14 = 100 \)
Paranteza devine: \( (150 - 100) = 50 \).

Pasul 2: Efectuarea operațiilor de ordinul II
Expresia este acum \( 50 : 10 + 324 : 18 \).
\( 50 : 10 = 5 \)
Pentru \( 324 : 18 \):
\[
\begin{array}{}
& 324 & : & 18 & = 18 \\
& -18 \\
 & 144 & \\
&-144 \\
& 0 \\
\end{array}
\]
Deci, \( 5 + 18 = 23 \).

b) \( [37 \cdot 15 - (231 + 9 \cdot 3)] \cdot 4 - 1\,100 \)
Pasul 1: Paranteza rotundă
\( 231 + 9 \cdot 3 = 231 + 27 = 258 \).

Pasul 2: Paranteza pătrată
Mai întâi înmulțirea: \( 37 \cdot 15 \).
\[
\begin{array}{}
& & 3 & 7 & \cdot & 1 & 5 & \\
\hline
& & & 1 & 8 & 5 \\
+ & & 3 & 7 & & \\
\hline
& & 5 & 5 & 5 \\
\end{array}
\]
Apoi scăderea: \( 555 - 258 = 297 \).

Pasul 3: Calculul final
\( 297 \cdot 4 - 1\,100 = 1\,188 - 1\,100 = 88 \).

c) \( 258 + \{[(18^2 + 16^2) : 10 - (7 \cdot 40 - 50 \cdot 5)] \cdot 3\} : 7 - 70 \)
Pasul 1: Puterile și prima paranteză rotundă
\( 18^2 = 324 \), \( 16^2 = 256 \).
\( 324 + 256 = 580 \).

Pasul 2: A doua paranteză rotundă
\( 7 \cdot 40 - 50 \cdot 5 = 280 - 250 = 30 \).

Pasul 3: Paranteza pătrată și acolada
\( [580 : 10 - 30] = [58 - 30] = 28 \).
\( \{28 \cdot 3\} = 84 \).

Pasul 4: Finalizarea calculelor
\( 258 + 84 : 7 - 70 = 258 + 12 - 70 = 270 - 70 = 200 \).

d) \( 48 + 2 \cdot \{1\,740 - 8 \cdot [30 + 3 \cdot (250 - 10\,918 : 53)]\} \)
Pasul 1: Împărțirea din paranteza rotundă
\[
\begin{array}{}
& 10\,918 & : & 53 & = 206 \\
& -106 \\
 & 318 & \\
&-318 \\
& 0 \\
\end{array}
\]
Paranteza rotundă: \( 250 - 206 = 44 \).

Pasul 2: Paranteza pătrată
\( 30 + 3 \cdot 44 = 30 + 132 = 162 \).

Pasul 3: Acolada
\( 1\,740 - 8 \cdot 162 = 1\,740 - 1\,296 = 444 \).

Pasul 4: Calculul final
\( 48 + 2 \cdot 444 = 48 + 888 = 936 \).

e) \( (2 \cdot 2^2 \cdot 2^{30} + 5^{10} \cdot 5^{26} : 5^3) : (5^{33} + 2^{33}) \)
Pasul 1: Reguli de calcul cu puteri
\( 2^1 \cdot 2^2 \cdot 2^{30} = 2^{1+2+30} = 2^{33} \).
\( 5^{10} \cdot 5^{26} : 5^3 = 5^{10+26-3} = 5^{33} \).
Expresia devine: \( (2^{33} + 5^{33}) : (5^{33} + 2^{33}) \).
Deoarece împărțim un număr la el însuși, rezultatul este 1.

f) \( 27^{33} : \{[9^{30} \cdot 3^{40} + (3^8 : 3^5)^{33}] : (3^0 + 3^1)\} \)
Pasul 1: Aducerea la baza 3
\( 27^{33} = (3^3)^{33} = 3^{99} \).
\( 9^{30} = (3^2)^{30} = 3^{60} \).
\( 9^{30} \cdot 3^{40} = 3^{60} \cdot 3^{40} = 3^{100} \).
\( (3^8 : 3^5)^{33} = (3^3)^{33} = 3^{99} \).
\( 3^0 + 3^1 = 1 + 3 = 4 \).

Pasul 2: Calculul din acoladă
\( [3^{100} + 3^{99}] : 4 = 3^{99} \cdot (3^1 + 1) : 4 = 3^{99} \cdot 4 : 4 = 3^{99} \).

Pasul 3: Rezultatul final
\( 3^{99} : 3^{99} = 1 \).

g) \( [7^{50} : 7^{28} + (3^6)^5 + 8^{23} : 4^{20}] : (49^{11} + 2^{29} + 3^{30}) \)
Pasul 1: Simplificarea termenilor din prima paranteză
\( 7^{50} : 7^{28} = 7^{22} \).
\( (3^6)^5 = 3^{30} \).
\( 8^{23} : 4^{20} = (2^3)^{23} : (2^2)^{20} = 2^{69} : 2^{40} = 2^{29} \).
Prima paranteză devine: \( (7^{22} + 3^{30} + 2^{29}) \).

Pasul 2: Simplificarea celei de-a doua paranteze
\( 49^{11} = (7^2)^{11} = 7^{22} \).
\( 2^{5^2 + 2^2} = 2^{25 + 4} = 2^{29} \).
A doua paranteză devine: \( (7^{22} + 2^{29} + 3^{30}) \).

Pasul 3: Finalizare
Expresia este de forma \( X : X = 1 \).

h) \( 5^{100} : [5^{20} \cdot 5^{38} \cdot 5^{40} + 2 \cdot 5^{83} : 5^{28} \cdot 5^{44} - 6 \cdot (15^{49} : 3^{49})^2] : 5 \)
Pasul 1: Calculele din paranteza pătrată
Termenul 1: \( 5^{20+38+40} = 5^{98} \).
Termenul 2: \( 2 \cdot 5^{83-28+44} = 2 \cdot 5^{99} \).
Termenul 3: \( 6 \cdot (5^{49})^2 = 6 \cdot 5^{98} \).
Paranteza: \( 5^{98} + 2 \cdot 5^{99} - 6 \cdot 5^{98} = 5^{98} + 10 \cdot 5^{98} - 6 \cdot 5^{98} = (1 + 10 - 6) \cdot 5^{98} = 5 \cdot 5^{98} = 5^{99} \).

Pasul 2: Finalizare
\( 5^{100} : 5^{99} : 5 = 5^1 : 5 = 1 \).

Rezolvare pe scurt:

a) \( (150-100):10+18 = 50:10+18 = 5+18 = 23 \)
b) \( [555-258]\cdot 4 - 1100 = 297\cdot 4 - 1100 = 1188-1100 = 88 \)
c) \( 258+\{[580:10-30]\cdot 3\}:7-70 = 258+\{28\cdot 3\}:7-70 = 258+12-70 = 200 \)
d) \( 48+2\cdot \{1740-8\cdot [30+132]\} = 48+2\cdot \{1740-1296\} = 48+888 = 936 \)
e) \( (2^{33}+5^{33}):(5^{33}+2^{33}) = 1 \)
f) \( 3^{99}:\{[3^{100}+3^{99}]:4\} = 3^{99}:\{3^{99}\cdot 4:4\} = 3^{99}:3^{99} = 1 \)
g) \( (7^{22}+3^{30}+2^{29}):(7^{22}+2^{29}+3^{30}) = 1 \)
h) \( 5^{100}:[5^{98}+2\cdot 5^{99}-6\cdot 5^{98}]:5 = 5^{100}:[5^{98}(1+10-6)]:5 = 5^{100}:5^{99}:5 = 1 \)

Cele mai importante aspecte ale lecției

Ordinea operațiilor: Puteri $ \rightarrow $ Înmulțiri și Împărțiri $ \rightarrow $ Adunări și Scăderi (de la stânga la dreapta).
Ordinea parantezelor: Se calculează întâi parantezele rotunde $ ( ) $, apoi cele pătrate $ [ ] $ devin rotunde, iar acoladele $ \{ \} $ devin pătrate.
Exemplu rapid: \[ \{5 + 2 \cdot [10 - (3 + 1^5)]\} = \{5 + 2 \cdot [10 - 4]\} = (5 + 2 \cdot 6) = 5 + 12 = 17 \]

În exercițiile fără paranteze, operațiile matematice se efectuează în funcție de ordinul lor de prioritate, de la stânga la dreapta.

Ridicarea la putere ($ a^n $) se efectuează prima.

Înmulțirea ($ \cdot $) și împărțirea ($ : $) se efectuează în ordinea în care sunt scrise, de la stânga la dreapta.

Adunarea ($ + $) și scăderea ($ - $) se efectuează ultimele, în ordinea în care sunt scrise, de la stânga la dreapta.

$Diagramă geometrică ilustrând un podium de premiere tridimensional, format din trei blocuri prismatice dreptunghiulare, cu o perspectivă ușor spre dreapta, având fața frontală, partea superioară și partea laterală dreaptă vizibile. Laturile invizibile ale blocurilor vor fi trasate cu linii întrerupte. - **Blocul central (Locul 1):** Cel mai înalt, reprezentând 'Ridicarea la putere' (`$ a^n $`), de 'Ordinul III'. Acesta va fi etichetat pe fața sa frontală cu cifra '1' (într-un cerc sau o formă similară), formula `$ a^n $` și textul 'Ordinul III'. - **Blocul din stânga (Locul 2):** De înălțime medie, plasat la stânga blocului central, reprezentând 'Înmulțirea și împărțirea' (`$ \cdot, : $`), de 'Ordinul II'. Acesta va fi etichetat pe fața sa frontală cu cifra '2', formulele `$ \cdot, : $` și textul 'Ordinul II'. - **Blocul din dreapta (Locul 3):** Cel mai scurt, plasat la dreapta blocului central, reprezentând 'Adunarea și scăderea' (`$ +, - $`), de 'Ordinul I'. Acesta va fi etichetat pe fața sa frontală cu cifra '3', formulele `$ +, - $` și textul 'Ordinul I'. Toate etichetele trebuie să fie clare, vizibile și centrate pe fețele frontale respective ale blocurilor. Proporțiile blocurilor vor accentua vizual ierarhia înălțimilor.$

Calculează: $ 13^2 - 2^3 \cdot 15 + 7 \cdot 6 : 3 $
Rezolvare:
1. Mai întâi efectuăm ridicările la putere (ordinul III): \[ 13^2 = 169 \] \[ 2^3 = 8 \] Exercițiul devine: $ 169 - 8 \cdot 15 + 7 \cdot 6 : 3 $
2. Efectuăm înmulțirile și împărțirile, de la stânga la dreapta (ordinul II): \[ 8 \cdot 15 = 120 \] \[ 7 \cdot 6 : 3 = 42 : 3 = 14 \] Exercițiul devine: $ 169 - 120 + 14 $
3. Efectuăm adunările și scăderile, de la stânga la dreapta (ordinul I): \[ 169 - 120 + 14 = 49 + 14 = 63 \]

Calculează: $ 5^2 - 3 \cdot 4 + 12 : 2 $

Efectuăm operațiile în ordine:
1. Ridicarea la putere: $ 5^2 = 25 $
2. Înmulțirea și împărțirea: $ 3 \cdot 4 = 12 $ și $ 12 : 2 = 6 $
3. Adunarea și scăderea: $ 25 - 12 + 6 = 13 + 6 = 19 $

Dacă un exercițiu conține paranteze, ordinea efectuării operațiilor este dictată de tipul parantezelor!

Regula de eliminare a parantezelor:

Se efectuează mai întâi calculele din interiorul parantezelor rotunde $ ( ) $.
După finalizarea calculelor dintr-o paranteză rotundă, paranteza rotundă dispare.
Parantezele pătrate $ [ ] $ se transformă în paranteze rotunde $ ( ) $.
Acoladele $ \{ \} $ se transformă în paranteze pătrate $ [ ] $.
Procedeul se repetă până la eliminarea tuturor parantezelor.

Calculează: $ [10^3 : (564 - 8^3 : 8) + 7]^3 $
Rezolvare:
1. Lucrăm în paranteza rotundă, respectând ordinea operațiilor (întâi ridicarea la putere, apoi împărțirea, apoi scăderea): \[ 564 - 8^3 : 8 = 564 - 512 : 8 = 564 - 64 = 500 \]
2. Înlocuim rezultatul în expresie. Paranteza pătrată devine rotundă: \[ [10^3 : 500 + 7]^3 = (1 \ 000 : 500 + 7)^3 \]
3. Efectuăm operațiile din noua paranteză rotundă (întâi împărțirea, apoi adunarea): \[ (2 + 7)^3 = 9^3 \]
4. Efectuăm ultima operație (ridicarea la putere): \[ 9^3 = 729 \]

Efectuează: $ 2 \cdot [15 - (3 + 2^2)] $

1. Calculăm paranteza rotundă: $ 3 + 2^2 = 3 + 4 = 7 $
2. Înlocuim rezultatul, iar paranteza pătrată devine paranteză rotundă: $ 2 \cdot (15 - 7) $
3. Efectuăm calculul din noua paranteză: $ 15 - 7 = 8 $
4. Efectuăm înmulțirea finală: $ 2 \cdot 8 = 16 $

Probleme practice

Problemă (Dificultate: Ușoară)
Calculează valoarea expresiei: $ 30 - 3 \cdot 4 + 16 : 2^3 $

Urmăm ordinea operațiilor:
1. Ridicarea la putere: $ 2^3 = 8 $
2. Înmulțirea și împărțirea: $ 3 \cdot 4 = 12 $ și $ 16 : 8 = 2 $
3. Adunarea și scăderea (de la stânga la dreapta): $ 30 - 12 + 2 = 18 + 2 = 20 $
Răspuns: 20

Problemă (Dificultate: Medie)
Află valoarea numărului natural $ x $ din următoarea egalitate: \[ 25 - 3 \cdot (2x + 1) = 10 \]

Tratăm paranteza rotundă ca pe o singură necunoscută:
1. Determinăm termenul $ 3 \cdot (2x + 1) $: \[ 3 \cdot (2x + 1) = 25 - 10 \] \[ 3 \cdot (2x + 1) = 15 \]
2. Determinăm valoarea parantezei $ 2x + 1 $: \[ 2x + 1 = 15 : 3 \] \[ 2x + 1 = 5 \]
3. Determinăm termenul $ 2x $: \[ 2x = 5 - 1 \] \[ 2x = 4 \]
4. Îl aflăm pe $ x $: \[ x = 4 : 2 \] \[ x = 2 \]
Răspuns: $ x = 2 $

Problemă (Dificultate: Dificilă)
Calculează rezultatul următorului exercițiu: \[ [ (11 - 0^{2023}) \cdot (3^3 - 3^2) + 1^{2025} ] \cdot (3^2 - 2^3) - 3^2 \cdot 2 \]

Rezolvăm pe rând componentele, respectând prioritățile:
1. Calculăm parantezele rotunde și puterile din prima parte:
$ 0^{2023} = 0 \Rightarrow 11 - 0 = 11 $
$ 3^3 - 3^2 = 27 - 9 = 18 $
$ 1^{2025} = 1 $
2. Înlocuim în paranteza pătrată, care devine rotundă:
$ (11 \cdot 18 + 1) = (198 + 1) = 199 $
3. Calculăm a doua paranteză rotundă:
$ 3^2 - 2^3 = 9 - 8 = 1 $
4. Înlocuim rezultatele obținute în expresia inițială:
\[ 199 \cdot 1 - 3^2 \cdot 2 \]
5. Efectuăm ridicarea la putere și înmulțirea:
$ 3^2 \cdot 2 = 9 \cdot 2 = 18 $
6. Efectuăm scăderea finală:
\[ 199 - 18 = 181 \]
Răspuns: 181

Alege rezolvarea exercițiului:

Rezolvare scurtă

a)

b)

c)

d)

e)

f)

g)

h)

Rezolvare detaliată

a) \( (25 \cdot 6 - 1\,400 : 14) : 10 + 324 : 18 \)

Pasul 1: Calculele din paranteza rotundă

Pasul 2: Efectuarea operațiilor de ordinul II

b) \( [37 \cdot 15 - (231 + 9 \cdot 3)] \cdot 4 - 1\,100 \)

Pasul 1: Paranteza rotundă

Pasul 2: Paranteza pătrată

Pasul 3: Calculul final

c) \( 258 + \{[(18^2 + 16^2) : 10 - (7 \cdot 40 - 50 \cdot 5)] \cdot 3\} : 7 - 70 \)

Pasul 1: Puterile și prima paranteză rotundă

Pasul 2: A doua paranteză rotundă

Pasul 3: Paranteza pătrată și acolada

Pasul 4: Finalizarea calculelor

d) \( 48 + 2 \cdot \{1\,740 - 8 \cdot [30 + 3 \cdot (250 - 10\,918 : 53)]\} \)

Pasul 1: Împărțirea din paranteza rotundă

Pasul 2: Paranteza pătrată

Pasul 3: Acolada

Pasul 4: Calculul final

e) \( (2 \cdot 2^2 \cdot 2^{30} + 5^{10} \cdot 5^{26} : 5^3) : (5^{33} + 2^{33}) \)

Pasul 1: Reguli de calcul cu puteri

f) \( 27^{33} : \{[9^{30} \cdot 3^{40} + (3^8 : 3^5)^{33}] : (3^0 + 3^1)\} \)

Pasul 1: Aducerea la baza 3

Pasul 2: Calculul din acoladă

Pasul 3: Rezultatul final

g) \( [7^{50} : 7^{28} + (3^6)^5 + 8^{23} : 4^{20}] : (49^{11} + 2^{29} + 3^{30}) \)

Pasul 1: Simplificarea termenilor din prima paranteză

Pasul 2: Simplificarea celei de-a doua paranteze

Pasul 3: Finalizare

h) \( 5^{100} : [5^{20} \cdot 5^{38} \cdot 5^{40} + 2 \cdot 5^{83} : 5^{28} \cdot 5^{44} - 6 \cdot (15^{49} : 3^{49})^2] : 5 \)

Pasul 1: Calculele din paranteza pătrată

Pasul 2: Finalizare

Rezolvare pe scurt:

Probleme practice

Învinge tema cu mii de rezolvări, lecții și teste:

Matematică

Fizică

Chimie

PhotoSolveAI

PhotoSolveAI – un instrument puternic pentru rezolvarea problemelor din poză/text

Învinge
tema cu mii de rezolvări, lecții și teste: