II.8. Ordinea Efectuării Operațiilor. Utilizarea Parantezelor: Rotunde, Pătrate Și Acolade

Pentru a demonstra că expresia \( 2^n \cdot a^n \cdot b \) este un pătrat perfect, vom simplifica mai întâi numerele \( a \) și \( b \) folosind regulile de calcul cu puteri și scoaterea factorului comun.

Pasul 1: Simplificarea numărului \( a \)

Expresia pentru \( a \) este: \[ a = (2^n \cdot 3^{n+1} + 2^{n+2} \cdot 3^n - 6^n) : 6^n \] Folosim regula \( (a \cdot b)^n = a^n \cdot b^n \), deci \( 6^n = (2 \cdot 3)^n = 2^n \cdot 3^n \). De asemenea, scriem \( 3^{n+1} = 3^n \cdot 3^1 \) și \( 2^{n+2} = 2^n \cdot 2^2 \). În paranteză, scoatem factorul comun \( 2^n \cdot 3^n \): \[ a = [2^n \cdot 3^n \cdot 3 + (2^n \cdot 2^2) \cdot 3^n - 2^n \cdot 3^n] : (2^n \cdot 3^n) \] \[ a = 2^n \cdot 3^n \cdot (3 + 2^2 - 1) : (2^n \cdot 3^n) \] Deoarece \( 2^n \cdot 3^n \) apare și ca factor în paranteză și ca împărțitor, acesta se simplifică: \[ a = 3 + 4 - 1 = 6 \]

Pasul 2: Simplificarea numărului \( b \)

Expresia pentru \( b \) este: \[ b = (25^n \cdot 3^n + 4 \cdot 15^n \cdot 5^{n+1} + 6^{n+1} : 2^n \cdot 5^{2n+1}) : 51 \] Vom scrie toți termenii folosind bazele \( 3 \) și \( 5 \): 1) \( 25^n \cdot 3^n = (5^2)^n \cdot 3^n = 5^{2n} \cdot 3^n \) 2) \( 4 \cdot 15^n \cdot 5^{n+1} = 4 \cdot (3 \cdot 5)^n \cdot 5^n \cdot 5^1 = 4 \cdot 3^n \cdot 5^n \cdot 5^n \cdot 5 = 20 \cdot 3^n \cdot 5^{2n} \) 3) \( 6^{n+1} : 2^n \cdot 5^{2n+1} = (2 \cdot 3)^{n+1} : 2^n \cdot 5^{2n+1} = 2^{n+1} \cdot 3^{n+1} : 2^n \cdot 5^{2n+1} \) Aplicăm \( 2^{n+1} : 2^n = 2^1 \): \( 2 \cdot 3^{n+1} \cdot 5^{2n+1} = 2 \cdot 3^n \cdot 3 \cdot 5^{2n} \cdot 5 = 30 \cdot 3^n \cdot 5^{2n} \) Acum adunăm termenii din paranteză: \[ b = (3^n \cdot 5^{2n} + 20 \cdot 3^n \cdot 5^{2n} + 30 \cdot 3^n \cdot 5^{2n}) : 51 \] Scoatem factorul comun \( 3^n \cdot 5^{2n} \): \[ b = 3^n \cdot 5^{2n} \cdot (1 + 20 + 30) : 51 \] \[ b = 3^n \cdot 5^{2n} \cdot 51 : 51 \] \[ b = 3^n \cdot 5^{2n} \]

Pasul 3: Calculul expresiei finale

Înlocuim \( a = 6 \) și \( b = 3^n \cdot 5^{2n} \) în \( E = 2^n \cdot a^n \cdot b \): \[ E = 2^n \cdot 6^n \cdot (3^n \cdot 5^{2n}) \] Știm că \( 6^n = (2 \cdot 3)^n = 2^n \cdot 3^n \): \[ E = 2^n \cdot (2^n \cdot 3^n) \cdot 3^n \cdot 5^{2n} \] Grupăm puterile cu aceeași bază: \[ E = (2^n \cdot 2^n) \cdot (3^n \cdot 3^n) \cdot 5^{2n} \] \[ E = 2^{2n} \cdot 3^{2n} \cdot 5^{2n} \]

Pasul 4: Demonstrarea faptului că este pătrat perfect

Putem scrie toți exponenții ca \( 2 \cdot n \): \[ E = (2^n)^2 \cdot (3^n)^2 \cdot (5^n)^2 = (2^n \cdot 3^n \cdot 5^n)^2 \] Deoarece \( E \) este de forma \( k^2 \), unde \( k = 2^n \cdot 3^n \cdot 5^n \in \mathbb{N} \), rezultă că \( E \) este pătratul unui număr natural pentru orice \( n \in \mathbb{N} \).

\( a = (3 \cdot 6^n + 4 \cdot 6^n - 6^n) : 6^n = 6^n(3+4-1):6^n = 6 \) \( b = (3^n \cdot 5^{2n} + 20 \cdot 3^n \cdot 5^{2n} + 30 \cdot 3^n \cdot 5^{2n}) : 51 = 51 \cdot 3^n \cdot 5^{2n} : 51 = 3^n \cdot 5^{2n} \) \( 2^n \cdot a^n \cdot b = 2^n \cdot 6^n \cdot 3^n \cdot 5^{2n} = 2^n \cdot 2^n \cdot 3^n \cdot 3^n \cdot 5^{2n} = 2^{2n} \cdot 3^{2n} \cdot 5^{2n} = (2^n \cdot 3^n \cdot 5^n)^2 \) Expresia este pătratul numărului natural \( (30^n) \).