Cele mai importante aspecte ale lecției
- Fracția algebrică \( \frac{P(x)}{Q(x)} \) este raportul a două expresii algebrice.
- Condiția de existență: Numitorul nu poate fi zero (\( Q(x) \neq 0 \)). Valorile valide formează domeniul de definiție. Ex: \( \frac{1}{x-2} \) impune \( x \neq 2 \).
- Valoarea numerică: Se calculează înlocuind literele cu numere reale permise. Ex: pentru \( F(x)=\frac{x}{x+1} \), \( F(3) = \frac{3}{4} \).
- Amplificarea: Se înmulțește numărătorul și numitorul cu aceeași expresie nenulă.
- Simplificarea: Se împarte numărătorul și numitorul la un factor comun. Regulă de aur: Totdeauna descompuneți în factori înainte de a simplifica! Ex: \( \frac{x(x+1)}{x(x-2)} = \frac{x+1}{x-2} \).
O fracție algebrică este un raport de forma \( F = \frac{P}{Q} \), în care termenii (numărătorul \( P \) și numitorul \( Q \)) sunt expresii algebrice care depind de una sau mai multe variabile.
Se notează indicând variabilele: \( F(x) = \frac{x+2}{x-2} \) sau \( F(a, b) = \frac{a \cdot b}{a+b} \).
O fracție algebrică nu are sens (nu este definită) pentru valorile care anulează numitorul (când \( Q = 0 \))! Împărțirea la zero nu este permisă.
Mulțimea tuturor numerelor reale pentru care fracția algebrică are sens (este definită) formează domeniul de definiție al acesteia.
Domeniul de definiție pentru \( F(x) = \frac{P(x)}{Q(x)} \) este:
\[ D = \{x \in \mathbb{R} \mid Q(x) \neq 0\} \]
Fracția \( F(x) = \frac{x+3}{x-5} \) nu este definită pentru \( x - 5 = 0 \), adică \( x = 5 \).
Domeniul de definiție este \( \mathbb{R} \setminus \{5\} \).
Domeniul de definiție este \( \mathbb{R} \setminus \{5\} \).
Determinați valorile reale ale lui \( x \) pentru care fracția \( F(x) = \frac{2x}{x+7} \) nu are sens.
Fracția nu are sens atunci când numitorul este zero.
Rezolvăm ecuația: \( x + 7 = 0 \implies x = -7 \).
Răspuns: Fracția nu are sens pentru \( x = -7 \).
Rezolvăm ecuația: \( x + 7 = 0 \implies x = -7 \).
Răspuns: Fracția nu are sens pentru \( x = -7 \).
Dacă înlocuim variabilele unei fracții algebrice cu numere reale din domeniul ei de definiție și efectuăm calculele, rezultatul obținut se numește valoarea numerică a fracției.
Fie \( F(x) = \frac{x+3}{x^2+1} \). Valoarea numerică a fracției pentru \( x = 1 \) se obține înlocuind \( x \) cu 1:
\[ F(1) = \frac{1+3}{1^2+1} = \frac{4}{2} = 2 \]
Calculați \( F(2, 1) \) pentru fracția \( F(x, y) = \frac{x \cdot y}{x+y} \).
Înlocuim \( x \) cu 2 și \( y \) cu 1:
\[ F(2, 1) = \frac{2 \cdot 1}{2+1} = \frac{2}{3} \]
Răspuns: Valoarea numerică este \( \frac{2}{3} \).
Amplificarea presupune înmulțirea atât a numărătorului, cât și a numitorului cu aceeași expresie algebrică nenulă (sau număr real nenul). Această operație nu schimbă valoarea fracției, dar este utilă pentru a aduce fracțiile la un numitor comun.
\[ \stackrel{A(x))}{ \frac{P(x)}{Q(x)} } = \frac{A(x) \cdot P(x)}{A(x) \cdot Q(x)}, \text{ unde } A(x) \neq 0 \]
Amplificăm fracția \( F(x) = \frac{x+3}{x-4} \) cu \( 6 \):
\[ \stackrel{6)}{ \frac{x+3}{x-4} } = \frac{6(x+3)}{6(x-4)} = \frac{6x+18}{6x-24} \]
Amplificați fracția \( \frac{2}{x+1} \) cu expresia \( (x-1) \). Asumați că \( x \neq 1 \) și \( x \neq -1 \).
Înmulțim numărătorul și numitorul cu \( x-1 \):
\[ \frac{2 \cdot (x-1)}{(x+1) \cdot (x-1)} = \frac{2x-2}{x^2-1} \]
Simplificarea presupune împărțirea numărătorului și a numitorului printr-un factor comun nenul.
Atenție! Simplificarea se poate face numai prin factori comuni. Pentru a simplifica o fracție algebrică, numărătorul și numitorul trebuie mai întâi descompuși în factori (prin scoatere de factor comun, formule de calcul prescurtat etc.).
\[ \frac{A(x) \cdot B(x)}{A(x) \cdot C(x)} \stackrel{(A(x)}{=} \frac{B(x)}{C(x)}, \text{ unde } A(x) \neq 0 \]
Pentru a simplifica fracția \( F(x) = \frac{x^2+x}{x^3+x} \):
1. Descompunem în factori numărătorul: \( x^2+x = x(x+1) \)
2. Descompunem în factori numitorul: \( x^3+x = x(x^2+1) \)
3. Simplificăm prin factorul comun \( x \): \[ \frac{x(x+1)}{x(x^2+1)} \stackrel{(x}{=} \frac{x+1}{x^2+1} \]
1. Descompunem în factori numărătorul: \( x^2+x = x(x+1) \)
2. Descompunem în factori numitorul: \( x^3+x = x(x^2+1) \)
3. Simplificăm prin factorul comun \( x \): \[ \frac{x(x+1)}{x(x^2+1)} \stackrel{(x}{=} \frac{x+1}{x^2+1} \]
Simplificați fracția \( F(x) = \frac{x^2-9}{x^2+3x} \), unde \( x \neq 0, x \neq -3 \).
Descompunem termenii raportului:
Numărătorul (diferență de pătrate): \( x^2-9 = (x-3)(x+3) \)
Numitorul (factor comun): \( x^2+3x = x(x+3) \)
Rescriem fracția și simplificăm prin factorul comun \( (x+3) \): \[ \frac{(x-3)(x+3)}{x(x+3)} \stackrel{(x+3)}{=} \frac{x-3}{x} \]
Numărătorul (diferență de pătrate): \( x^2-9 = (x-3)(x+3) \)
Numitorul (factor comun): \( x^2+3x = x(x+3) \)
Rescriem fracția și simplificăm prin factorul comun \( (x+3) \): \[ \frac{(x-3)(x+3)}{x(x+3)} \stackrel{(x+3)}{=} \frac{x-3}{x} \]
Exerciții
Ușoară: Determinați domeniul de definiție pentru fracția algebrică \( F(x) = \frac{5x}{2x-8} \).
Fracția are sens pentru numitorul diferit de zero:
\[ 2x - 8 \neq 0 \implies 2x \neq 8 \implies x \neq 4 \]
Răspuns: Domeniul de definiție este \( x \in \mathbb{R} \setminus \{4\} \).
Medie: Simplificați fracția algebrică \( F(x) = \frac{x^2 - 4x + 4}{x^2 - 4} \), specificând condițiile de existență.
1. Descompunem numitorul pentru a găsi condițiile de existență: \( x^2 - 4 = (x-2)(x+2) \).
Condiții: \( x-2 \neq 0 \implies x \neq 2 \) și \( x+2 \neq 0 \implies x \neq -2 \).
2. Descompunem numărătorul (binom la pătrat): \( x^2 - 4x + 4 = (x-2)^2 \).
3. Efectuăm simplificarea: \[ \frac{(x-2)^2}{(x-2)(x+2)} \stackrel{(x-2)}{=} \frac{x-2}{x+2} \] Răspuns: Fracția simplificată este \( \frac{x-2}{x+2} \), definită pentru \( x \in \mathbb{R} \setminus \{-2, 2\} \).
Condiții: \( x-2 \neq 0 \implies x \neq 2 \) și \( x+2 \neq 0 \implies x \neq -2 \).
2. Descompunem numărătorul (binom la pătrat): \( x^2 - 4x + 4 = (x-2)^2 \).
3. Efectuăm simplificarea: \[ \frac{(x-2)^2}{(x-2)(x+2)} \stackrel{(x-2)}{=} \frac{x-2}{x+2} \] Răspuns: Fracția simplificată este \( \frac{x-2}{x+2} \), definită pentru \( x \in \mathbb{R} \setminus \{-2, 2\} \).
Dificilă: Se consideră fracția \( F(x) = \frac{x^2-1}{x^2+2x+1} \). Aduceți fracția la forma cea mai simplă, apoi calculați valoarea \( F(\sqrt{2}) \).
Pasul 1: Simplificarea fracției
Descompunem numărătorul: \( x^2-1 = (x-1)(x+1) \)
Descompunem numitorul: \( x^2+2x+1 = (x+1)^2 \)
Fracția devine: \( \frac{(x-1)(x+1)}{(x+1)^2} \stackrel{(x+1)}{=} \frac{x-1}{x+1} \) (pentru \( x \neq -1 \)).
Pasul 2: Calculul valorii numerice
Înlocuim \( x \) cu \( \sqrt{2} \) în forma simplificată: \[ F(\sqrt{2}) = \frac{\sqrt{2}-1}{\sqrt{2}+1} \] Pentru a finaliza, raționalizăm numitorul amplificând cu conjugata \( (\sqrt{2}-1) \): \[ \frac{(\sqrt{2}-1)(\sqrt{2}-1)}{(\sqrt{2}+1)(\sqrt{2}-1)} = \frac{(\sqrt{2}-1)^2}{(\sqrt{2})^2 - 1^2} = \frac{2 - 2\sqrt{2} + 1}{2-1} = 3 - 2\sqrt{2} \] Răspuns: Valoarea este \( 3 - 2\sqrt{2} \).
Descompunem numărătorul: \( x^2-1 = (x-1)(x+1) \)
Descompunem numitorul: \( x^2+2x+1 = (x+1)^2 \)
Fracția devine: \( \frac{(x-1)(x+1)}{(x+1)^2} \stackrel{(x+1)}{=} \frac{x-1}{x+1} \) (pentru \( x \neq -1 \)).
Pasul 2: Calculul valorii numerice
Înlocuim \( x \) cu \( \sqrt{2} \) în forma simplificată: \[ F(\sqrt{2}) = \frac{\sqrt{2}-1}{\sqrt{2}+1} \] Pentru a finaliza, raționalizăm numitorul amplificând cu conjugata \( (\sqrt{2}-1) \): \[ \frac{(\sqrt{2}-1)(\sqrt{2}-1)}{(\sqrt{2}+1)(\sqrt{2}-1)} = \frac{(\sqrt{2}-1)^2}{(\sqrt{2})^2 - 1^2} = \frac{2 - 2\sqrt{2} + 1}{2-1} = 3 - 2\sqrt{2} \] Răspuns: Valoarea este \( 3 - 2\sqrt{2} \).
