Probleme Propuse

Cele mai importante aspecte ale lecției

Plane paralele: Două plane în spațiu care nu se intersectează niciodată ($ \alpha \cap \beta = \varnothing $).
Cum se demonstrează: Găsim într-un plan două drepte care se taie (concurente), ambele fiind paralele cu celălalt plan (sau cu două drepte concurente din celălalt plan).
Teorema tortului: Dacă tăiem două plane paralele cu un al treilea plan, dreptele de intersecție obținute sunt paralele ($a \parallel b$).
Proprietate esențială: O dreaptă aflată pe un plan paralel cu altul, va fi mereu paralelă cu planul respectiv (nu îl va atinge), dar nu este neapărat paralelă cu orice dreaptă trasată pe el.

În spațiu, două plane diferite pot fi concurente (dacă se intersectează) sau paralele (dacă nu au niciun punct comun).

$O figură împărțită vizual în două secțiuni distincte, prezentând două concepte geometrice fundamentale. În secțiunea din stânga: Se reprezintă două plane concurente, denumite $ \alpha $ și $ \beta $. Fiecare plan este desenat ca un paralelogram în perspectivă 3D. Planul $ \alpha $ este poziționat în partea superioară și stângă, iar planul $ \beta $ este poziționat în partea inferioară și dreaptă, astfel încât intersecția lor să fie clar vizibilă. Intersecția celor două plane este o dreaptă comună, rectilinie, etichetată $ d $. Dreapta $ d $ ar trebui să fie vizibilă acolo unde cele două plane se suprapun. Muchiile ascunse ale ambelor paralelograme (care reprezintă planele) ar trebui indicate cu linii întrerupte, pentru a accentua perspectiva. În secțiunea din dreapta: Se reprezintă două plane paralele, denumite $ \alpha $ și $ \beta $. Ambele plane sunt desenate ca paralelograme în perspectivă 3D. Planul $ \alpha $ este poziționat deasupra, iar planul $ \beta $ este poziționat dedesubt, menținând o distanță verticală vizibilă și constantă între ele, fără a se atinge. Ambele paralelograme ar trebui să aibă o orientare similară și dimensiuni comparabile, sugerând paralelismul perfect. Muchiile ascunse ale ambelor paralelograme ar trebui indicate cu linii întrerupte.$

Plane concurente: $ \alpha \cap \beta = d $ (intersecția este o dreaptă)
Plane paralele: $ \alpha \cap \beta = \varnothing \Rightarrow \alpha \parallel \beta $

Dacă un plan conține două drepte concurente, fiecare dintre ele fiind paralelă cu un alt plan, atunci cele două plane sunt paralele.

$Două plane, $\alpha$ și $\beta$, reprezentate ca paralelograme translucide în perspectivă 3D. Planul $\alpha$ este poziționat deasupra. Planul $\beta$ este poziționat dedesubt, la o distanță constantă față de $\alpha$, sugerând o relație de paralelism. În interiorul planului $\alpha$, sunt desenate două drepte $d_1$ și $d_2$. Acestea se intersectează în punctul $O$, care este etichetat. Dreptele se extind în ambele direcții de la punctul $O$ în limitele planului. În interiorul planului $\beta$, sunt desenate două drepte $a_1$ și $a_2$. Dreapta $d_1$ din planul $\alpha$ este paralelă cu dreapta $a_1$ din planul $\beta$. Dreapta $d_2$ din planul $\alpha$ este paralelă cu dreapta $a_2$ din planul $\beta$. Relațiile de paralelism ($d_1 \parallel a_1$ și $d_2 \parallel a_2$) sunt indicate vizual pe drepte, folosind săgeți (de exemplu, o singură săgeată pe $d_1$ și $a_1$, și o săgeată dublă pe $d_2$ și $a_2$). Dreptele $a_1$ și $a_2$ se intersectează, iar punctul lor de intersecție este poziționat vertical sub punctul $O$ din planul $\alpha$, asigurându-se că intersecția se află în interiorul paralelogramului care reprezintă planul $\beta$.$

Pentru a demonstra practic că $ \alpha \parallel \beta $, scriem: \[ \left. \begin{array}{l} d_1, d_2 \subset \alpha, d_1 \cap d_2 = \{O\} \\ a_1, a_2 \subset \beta \\ d_1 \parallel a_1, d_2 \parallel a_2 \end{array} \right\} \Rightarrow \alpha \parallel \beta \]

În practică, este suficient să găsim în primul plan două drepte concurente care să fie paralele cu două drepte din cel de-al doilea plan.

Propoziția 1: Dacă două plane sunt paralele, atunci orice dreaptă dintr-un plan este paralelă cu celălalt plan.

Dacă $ \alpha \parallel \beta $, orice dreaptă din $ \alpha $ este paralelă cu planul $ \beta $, dar nu este obligatoriu paralelă cu orice dreaptă din planul $ \beta $ (pot fi drepte necoplanare).

Propoziția 2 (Teorema Tortului): Intersecțiile a două plane paralele cu un al treilea plan sunt două drepte paralele.

$Două plane paralele, $\alpha$ și $\beta$, sunt reprezentate ca paralelograme, cu planul $\alpha$ poziționat deasupra planului $\beta$. Un al treilea plan, $\pi$ (sau $\gamma$), de asemenea reprezentat ca un paralelogram, le taie pe amândouă la un unghi oblic. Dreptele de intersecție rezultate sunt: dreapta 'a', unde planul $\pi$ intersectează planul $\alpha$, și dreapta 'b', unde planul $\pi$ intersectează planul $\beta$. Dreptele 'a' și 'b' trebuie să fie clar vizibile și reprezentate ca fiind paralele între ele. Utilizează linii întrerupte pentru a indica porțiunile ascunse ale planelor și ale dreptelor de intersecție, din perspectiva standard a observatorului.$

\[ \alpha \parallel \beta, \pi \cap \alpha = a, \pi \cap \beta = b \Rightarrow a \parallel b \]

Propoziția 3 (Tranzitivitatea): Două plane (diferite) paralele cu un al treilea plan sunt paralele între ele.

\[ \alpha \parallel \gamma, \beta \parallel \gamma, \alpha \neq \beta \Rightarrow \alpha \parallel \beta \]

Probleme practice

Ușoară: Se consideră cubul $ABCDA'B'C'D'$. Determinați un plan paralel cu planul bazei $ (ABC) $.

Răspuns: Într-un cub, fețele opuse sunt situate în plane paralele. Astfel, planul paralel cu planul bazei inferioare $ (ABC) $ este planul bazei superioare $ (A'B'C'D') $, pe care îl putem nota simplu $ (A'B'C') $.
Justificare: $ A'B' \parallel AB $, $ B'C' \parallel BC $, dreptele se intersectează, deci planele determinate de ele sunt paralele.

Medie: Fie $VABC$ o piramidă triunghiulară cu vârful $V$. Punctele $M$, $N$ și $P$ sunt mijloacele muchiilor laterale $VA$, $VB$, respectiv $VC$. Demonstrați că planele $ (MNP) $ și $ (ABC) $ sunt paralele.

În triunghiul $VAB$, punctele $M$ și $N$ sunt mijloacele laturilor $VA$ și $VB$. Deci, $MN$ este linie mijlocie $\Rightarrow MN \parallel AB$.

În triunghiul $VBC$, punctele $N$ și $P$ sunt mijloacele laturilor $VB$ și $VC$. Deci, $NP$ este linie mijlocie $\Rightarrow NP \parallel BC$.

Avem dreptele $MN, NP \subset (MNP)$ cu $MN \cap NP = \{N\}$. De asemenea, $AB, BC \subset (ABC)$.

Deoarece $MN \parallel AB$ și $NP \parallel BC$, conform teoremei de existență a planelor paralele, rezultă că $ (MNP) \parallel (ABC) $.

Dificilă: Fie $ABCDA'B'C'D'$ un paralelipiped dreptunghic. Demonstrați că planul $ (ACB') $ este paralel cu planul $ (A'C'D) $.

Căutăm două perechi de drepte concurente, paralele două câte două, situate în cele două plane.

Patrulaterul $ACC'A'$ este dreptunghi (deoarece muchiile laterale sunt paralele și congruente). Astfel, diagonalele fețelor opuse sunt paralele: $AC \parallel A'C'$.

Patrulaterul $ADC'B'$ este de asemenea paralelogram (deoarece $AD \parallel B'C'$ și $AD = B'C'$). Rezultă că diagonalele acestuia sunt paralele: $AB' \parallel DC'$.

Avem $AC, AB' \subset (ACB')$, $AC \cap AB' = \{A\}$. Avem $A'C', DC' \subset (A'C'D)$.

Deoarece $AC \parallel A'C'$ și $AB' \parallel DC'$, conform teoremei planelor paralele rezultă că $ (ACB') \parallel (A'C'D) $.

IV.7. Probleme Propuse

Lecția IV.7 conține următoarele grupuri de exerciții:

Alege rezolvarea exercițiului:

Cele mai importante aspecte ale lecției

Probleme practice

Învinge
tema cu mii de rezolvări, lecții și teste:

Matematică

Fizică

Chimie

PhotoSolveAI

PhotoSolveAI – un instrument puternic pentru rezolvarea problemelor din poză/text

Lecția IV.7 conține următoarele grupuri de exerciții:

Alege rezolvarea exercițiului:

Conținutul este blocat

Intră în contul tău:

Nu ai cont? Înregistrează-te:

Probleme practice

Învinge tema cu mii de rezolvări, lecții și teste:

Matematică

Fizică

Chimie

PhotoSolveAI

PhotoSolveAI – un instrument puternic pentru rezolvarea problemelor din poză/text

Învinge
tema cu mii de rezolvări, lecții și teste: