V.7.2. Testul 1

Pentru a rezolva această problemă despre piramida patrulateră regulată \( VABCD \), vom folosi proprietățile geometrice ale piramidei și ale trunchiului de piramidă.

Pasul 1: Identificarea elementelor bazei și desenul

Avem o piramidă patrulateră regulată \( VABCD \) cu latura bazei \( AB = 12 \text{ cm} \) și înălțimea \( VO = 8 \text{ cm} \). Baza \( ABCD \) este un pătrat, iar \( O \) este punctul de intersecție a diagonalelor \( AC \) și \( BD \).
Desenează o piramidă patrulateră regulată VABCD în perspectivă. Baza ABCD este un pătrat, unde A este vârful din față-stânga, B din față-dreapta, C din spate-dreapta și D din spate-stânga. Desenează muchiile bazei AB și BC cu linii continue și muchiile CD și DA cu linii întrerupte. Desenează diagonalele bazei, AC și BD, ca linii continue, care se intersectează în punctul O. Desenează înălțimea piramidei VO, de la vârful V la centrul O al bazei, ca linie continuă, indicând perpendicularitatea pe bază cu un simbol de unghi drept la O. Desenează muchiile laterale VA și VB cu linii continue, iar VC și VD cu linii întrerupte. Pe fiecare muchie laterală VA, VB, VC, VD, marchează mijlocul acestora ca A'', B'', C'', D'' respectiv. Unește aceste mijloace pentru a forma patrulaterul secțiunii A''B''C''D'', cu muchiile A''B'' și B''C'' desenate continuu și muchiile C''D'' și D''A'' desenate întrerupt. În triunghiul VAC (cu muchiile VA, VC și diagonala bazei AC), desenează segmentele AC'' și CA'' ca linii continue. Marchează și etichetează punctul lor de intersecție ca G. Asigură-te că G este poziționat pe înălțimea VO.

a. Apotema piramidei

Pasul 2: Calculul apotemei bazei și a apotemei piramidei

Fie \( M \) mijlocul laturii \( BC \). Atunci \( VM \) este apotema piramidei (\( a_p \)), iar \( OM \) este apotema bazei (\( a_b \)). Deoarece baza este un pătrat, apotema bazei este egală cu jumătate din lungimea laturii: \[ OM = \frac{AB}{2} = \frac{12}{2} = 6 \text{ cm} \] În triunghiul dreptunghic \( VOM \) (cu \( \angle VOM = 90^\circ \)), aplicăm Teorema lui Pitagora pentru a afla apotema piramidei: \[ VM^2 = VO^2 + OM^2 \] \[ VM^2 = 8^2 + 6^2 = 64 + 36 = 100 \] \[ VM = \sqrt{100} = 10 \text{ cm} \] Așadar, apotema piramidei este de \( 10 \text{ cm} \).

b. Aria laterală a piramidei

Pasul 3: Calculul perimetrului bazei și al ariei laterale

Aria laterală a unei piramide patrulatere regulate este dată de formula: \[ \mathcal{A}_{lat} = \frac{\mathcal{P}_{bazei} \cdot a_p}{2} \] Perimetrul pătratului \( ABCD \) este: \[ \mathcal{P}_{bazei} = 4 \cdot AB = 4 \cdot 12 = 48 \text{ cm} \] Calculăm aria laterală: \[ \mathcal{A}_{lat} = \frac{\cancel{48}^{24} \cdot 10}{\cancel{2}_1} = 24 \cdot 10 = 240 \text{ cm}^2 \] Așadar, aria laterală a piramidei este de \( 240 \text{ cm}^2 \).

c. Volumul piramidei

Pasul 4: Calculul ariei bazei și aplicarea formulei volumului

Volumul piramidei se calculează cu formula: \[ \mathcal{V} = \frac{\mathcal{A}_{bazei} \cdot h}{3} \] Aria bazei pătratice este: \[ \mathcal{A}_{bazei} = AB^2 = 12^2 = 144 \text{ cm}^2 \] Calculăm volumul: \[ \mathcal{V} = \frac{\cancel{144}^{48} \cdot 8}{\cancel{3}_1} = 48 \cdot 8 = 384 \text{ cm}^3 \] Așadar, volumul piramidei este de \( 384 \text{ cm}^3 \).

d. Volumul trunchiului \( ABCDA''B''C''D'' \)

Pasul 5: Utilizarea raportului de asemănare

Deoarece punctele \( A'' \), \( B'' \), \( C'' \), \( D'' \) sunt mijloacele muchiilor laterale \( VA \), \( VB \), \( VC \), respectiv \( VD \), planul \( (A''B''C''D'') \) este paralel cu planul bazei \( (ABCD) \). Piramida mică \( VA''B''C''D'' \) este asemenea cu piramida mare \( VABCD \) cu raportul de asemănare: \[ k = \frac{VA''}{VA} = \frac{1}{2} \] Raportul volumelor celor două piramide este cubul raportului de asemănare: \[ \frac{\mathcal{V}_{mică}}{\mathcal{V}_{mare}} = k^3 = \left(\frac{1}{2}\right)^3 = \frac{1}{8} \] Astfel, volumul piramidei mici este: \[ \mathcal{V}_{mică} = \frac{1}{8} \cdot \mathcal{V}_{mare} = \frac{\cancel{384}^{48}}{\cancel{8}_1} = 48 \text{ cm}^3 \] Volumul trunchiului de piramidă \( ABCDA''B''C''D'' \) este diferența dintre volumul piramidei mari și cel al piramidei mici: \[ \mathcal{V}_{trunchi} = \mathcal{V}_{mare} - \mathcal{V}_{mică} = 384 - 48 = 336 \text{ cm}^3 \] Așadar, volumul trunchiului este de \( 336 \text{ cm}^3 \).

e. Determinarea lungimii segmentului \( VG \)

Pasul 6: Analiza triunghiului secțiunii diagonale \( VAC \)

Punctul \( G \) este definit de intersecția dreptelor \( AC'' \) și \( CA'' \). În triunghiul \( VAC \): - \( A'' \) este mijlocul laturii \( VA \), deci \( CA'' \) este mediană. - \( C'' \) este mijlocul laturii \( VC \), deci \( AC'' \) este mediană. Prin urmare, punctul \( G \), fiind punctul de intersecție a două mediene, este centrul de greutate al triunghiului \( VAC \). Deoarece \( O \) este mijlocul segmentului \( AC \), dreapta \( VO \) este cea de-a treia mediană a triunghiului \( VAC \), ceea ce înseamnă că punctul \( G \) aparține segmentului \( VO \). Proprietatea centrului de greutate ne spune că acesta se află la \( \frac{2}{3} \) de vârf pe mediană: \[ VG = \frac{2}{3} \cdot VO \] Înlocuim \( VO = 8 \text{ cm} \): \[ VG = \frac{2}{3} \cdot 8 = \frac{16}{3} \text{ cm} \] Așadar, lungimea segmentului \( VG \) este de \( \frac{16}{3} \text{ cm} \).

a.

\( OM = \frac{12}{2} = 6 \text{ cm} \Rightarrow a_p = \sqrt{8^2 + 6^2} = 10 \text{ cm} \)

b.

\( P = 4 \cdot 12 = 48 \text{ cm} \Rightarrow A_{lat} = \frac{48 \cdot 10}{2} = 240 \text{ cm}^2 \)

c.

\( A_b = 12^2 = 144 \text{ cm}^2 \Rightarrow V = \frac{144 \cdot 8}{3} = 384 \text{ cm}^3 \)

d.

\( k = \frac{1}{2} \Rightarrow V_{mic} = \frac{384}{8} = 48 \text{ cm}^3 \Rightarrow V_{trunchi} = 384 - 48 = 336 \text{ cm}^3 \)

e.

\( G \) centrul de greutate al \( \Delta VAC \Rightarrow VG = \frac{2}{3} \cdot VO = \frac{2}{3} \cdot 8 = \frac{16}{3} \text{ cm} \)