IV.10. Probleme Propuse

Pasul 1: Construcția figurii

Vom desena un cub \( ABCDA'B'C'D' \) (folosind notația standard pentru vârfurile bazei superioare) cu latura \( a = 4 \text{ cm} \).
Desenează un cub în perspectivă 3D, de latură 4 cm, cu muchiile invizibile reprezentate prin linii întrerupte. Poziționează vârful A în colțul stânga-jos al feței frontale inferioare. Notează vârfurile bazei inferioare ca A, B, C, D în sens invers acelor de ceasornic (A în stânga-jos, B la dreapta lui A, C la dreapta lui B, D la stânga lui C). Vârfurile bazei superioare corespunzătoare sunt A' (direct deasupra lui A), B' (direct deasupra lui B), C' (direct deasupra lui C) și D' (direct deasupra lui D). Desenează diagonalele AC și BD ale bazei inferioare ABCD și marchează punctul lor de intersecție ca O, centrul acestei fețe. Punctul \( O \) este centrul feței \( ABCD \), deci \( O \) este intersecția diagonalelor \( AC \) și \( BD \).

a. Distanța de la punctul \( O \) la planul \( (A'B'C') \)

Pasul 2: Identificarea distanței punct-plan

Planul \( (A'B'C') \) este planul bazei superioare a cubului. Punctul \( O \) se află în planul bazei inferioare \( (ABCD) \). Deoarece bazele unui cub sunt paralele, distanța de la orice punct al unei baze la planul celeilalte baze este egală cu lungimea muchiei verticale (înălțimea cubului). Segmentul care unește centrul bazei inferioare \( O \) cu centrul bazei superioare \( O' \) este perpendicular pe ambele plane. \[ d(O, (A'B'C')) = OO' = AA' = 4 \text{ cm} \]

b. Distanța de la punctul \( O \) la planul \( (BCC') \)

Pasul 3: Calculul distanței de la centrul bazei la o față laterală

Planul \( (BCC') \) este fața laterală dreaptă a cubului. Punctul \( O \) este mijlocul segmentului care unește mijloacele laturilor \( AB \) și \( CD \), precum și mijlocul segmentului care unește mijloacele laturilor \( AD \) și \( BC \). Fie \( M \) mijlocul laturii \( BC \). În pătratul \( ABCD \), segmentul \( OM \) este perpendicular pe \( BC \). Deoarece \( CC' \perp (ABCD) \) și \( OM \subset (ABCD) \), rezultă \( CC' \perp OM \). Cum \( OM \perp BC \) și \( OM \perp CC' \), rezultă că \( OM \perp (BCC') \). Distanța este lungimea segmentului \( OM \), care este jumătate din latura pătratului: \[ d(O, (BCC')) = OM = \frac{AB}{2} = \frac{4}{2} = 2 \text{ cm} \]

c. Distanța de la dreapta \( AB \) la planul \( (CDD') \)

Pasul 4: Calculul distanței dintre o dreaptă și un plan paralel

Dreapta \( AB \) este paralelă cu dreapta \( CD \). Dreapta \( CD \) este inclusă în planul \( (CDD') \). Rezultă că dreapta \( AB \) este paralelă cu planul \( (CDD') \). Distanța de la o dreaptă la un plan paralel cu ea este distanța de la orice punct de pe dreaptă la plan. Alegem punctul \( A \in AB \). Segmentul \( AD \) este perpendicular pe \( CD \) și pe \( DD' \), deci \( AD \perp (CDD') \). \[ d(AB, (CDD')) = d(A, (CDD')) = AD = 4 \text{ cm} \]

d. Distanța dintre planele \( (BCC') \) și \( (ADD') \)

Pasul 5: Calculul distanței dintre două plane paralele

Planele \( (BCC') \) și \( (ADD') \) sunt fețe opuse ale cubului, deci sunt paralele. Distanța dintre două plane paralele este lungimea oricărui segment perpendicular pe ambele plane, care are extremitățile în cele două plane. Muchia \( AB \) este perpendiculară pe ambele fețe laterale menționate. \[ d((BCC'), (ADD')) = AB = 4 \text{ cm} \]

a. \( d(O, (A'B'C')) = AA' = 4 \text{ cm} \) b. \( O \) proiecție pe \( BC \) este \( M \) (mijloc), \( d(O, (BCC')) = OM = \frac{4}{2} = 2 \text{ cm} \) c. \( AB \parallel (CDD') \implies d = AD = 4 \text{ cm} \) d. Plane opuse paralele \(\implies d = AB = 4 \text{ cm} \)