III.2.1. Proiect

a. Determinați o funcție de gradul întâi \( V(x) \)

Pasul 1: Determinarea deprecierii anuale

Deoarece compania folosește metoda amortizării liniare, valoarea mașinii scade cu o sumă anuală constantă. Pentru a calcula deprecierea anuală, împărțim valoarea inițială a mașinii la numărul de ani de amortizare: \[ \text{Deprecierea anuală} = \frac{\cancel{140\ 000}^{20\ 000}}{\cancel{7}_1} = 20\ 000 \text{ lei/an} \]

Pasul 2: Scrierea legii de corespondență a funcției

Fie \( x \) vârsta mașinii exprimată în ani. În fiecare an, valoarea contabilă scade cu \( 20\ 000 \) de lei. Legea de corespondență a funcției este: \[ V(x) = 140\ 000 - 20\ 000x \] sau, sub formă standard a funcției de gradul întâi: \[ V(x) = -20\ 000x + 140\ 000 \]

Pasul 3: Stabilirea domeniului de definiție

Vârsta mașinii este un număr nenegativ (\( x \ge 0 \)). Deoarece mașina se amortizează complet în \( 7 \) ani, valoarea contabilă devine zero pentru \( x = 7 \). Domeniul maxim de definiție al funcției \( V(x) \) este intervalul \( [0, 7] \). Așadar, definim funcția astfel: \[ V: [0, 7] \to \mathbb{R},\, V(x) = -20\ 000x + 140\ 000 \]

b. Reprezentați grafic funcția \( V(x) \)

Pasul 1: Determinarea coordonatelor punctelor de pe grafic

Graficul funcției pe domeniul închis \( [0, 7] \) este un segment de dreaptă. Determinăm coordonatele extremităților acestui segment: - Pentru \( x = 0 \): \( V(0) = 140\ 000 \implies A(0, 140\ 000) \) - Pentru \( x = 7 \): \( V(7) = 0 \implies B(7, 0) \)

Pasul 2: Desenarea graficului

Reprezentăm punctele într-un sistem de axe ortogonale \( xOy \), utilizând unitățile de măsură precizate: \( u_x = 1 \) an pentru axa \( Ox \) și \( u_y = 20\ 000 \) de lei pentru axa \( Oy \).
Desenați un sistem de axe ortogonale xOy într-un plan cartezian, cu originea la O(0,0). Axa Ox (orizontală) va reprezenta vârsta în ani, orientată pozitiv spre dreapta și etichetată "x (ani)". Pe axa Ox, marcați diviziuni principale la fiecare 1 cm, începând de la 0 și continuând până la 7, etichetându-le corespunzător (0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7). Axa Oy (verticală) va reprezenta valoarea contabilă în lei, orientată pozitiv în sus și etichetată "V(x) (lei)". Pe axa Oy, marcați diviziuni principale la fiecare 1 cm, reprezentând incremente de 20 000 de lei, începând de la 0 și urcând până la 140 000 de lei. Etichetați aceste diviziuni corespunzător (20 000, 40 000, 60 000, 80 000, 100 000, 120 000, 140 000). Reprezentați punctul A cu coordonatele (0, 140 000) pe axa Oy și punctul B cu coordonatele (7, 0) pe axa Ox. Etichetați clar punctele A și B lângă pozițiile lor. Uniți cele două puncte, A și B, printr-un segment de dreaptă solid, care reprezintă graficul funcției V(x) pentru domeniul [0, 7]. Etichetați acest segment cu "V(x)".

c. Calculați valoarea contabilă după 3 ani

Pasul 1: Înlocuirea argumentului în funcție

Pentru a afla valoarea după \( 3 \) ani, calculăm \( V(3) \): \[ V(3) = 140\ 000 - 20\ 000 \cdot 3 \]

Pasul 2: Efectuarea calculelor

\[ V(3) = 140\ 000 - 60\ 000 = 80\ 000 \] Valoarea contabilă a fiecărei mașini după \( 3 \) ani va fi de \( 80\ 000 \) de lei.

d. Aflați după ce perioadă valoarea contabilă va fi de 60 000 de lei

Pasul 1: Formularea ecuației

Egalăm funcția \( V(x) \) cu valoarea de \( 60\ 000 \) de lei: \[ V(x) = 60\ 000 \] \[ 140\ 000 - 20\ 000x = 60\ 000 \]

Pasul 2: Rezolvarea ecuației

Trecem termenii fără variabilă în partea dreaptă: \[ -20\ 000x = 60\ 000 - 140\ 000 \] \[ -20\ 000x = -80\ 000 \] Împărțim la \( -20\ 000 \): \[ x = \frac{\cancel{-80\ 000}^4}{\cancel{-20\ 000}_1} \] \[ x = 4 \] Valoarea contabilă a fiecărei mașini va fi de \( 60\ 000 \) de lei după \( 4 \) ani de utilizare.

a.

\( V: [0, 7] \to \mathbb{R},\, V(x) = -20\ 000x + 140\ 000 \)

b.

Extremități: \( A(0, 140\ 000) \), \( B(7, 0) \)

c.

\( V(3) = 140\ 000 - 20\ 000 \cdot 3 = 80\ 000 \text{ lei} \)

d.

\( V(x) = 60\ 000 \implies 140\ 000 - 20\ 000x = 60\ 000 \implies -20\ 000x = -80\ 000 \implies x = 4 \text{ ani} \)