Cele mai importante aspecte ale lecției
- Unghiul diedru: Este reprezentat prin unghiul plan obținut ducând două perpendiculare pe muchia comună din același punct.
- Unghiul a două plane: Este unghiul \(\le 90^\circ\) format de acestea. Dacă este de \(90^\circ\), planele se numesc perpendiculare.
- Teorema celor trei perpendiculare: Găsește o perpendiculară pe un plan (\(d \perp \alpha\)) și o perpendiculară pe o dreaptă din plan din baza primeia (\(OA \perp a\)). Segmentul care unește un punct de pe prima dreaptă cu punctul de pe a doua dreaptă va fi perpendicular pe dreapta din plan (\(PA \perp a\)).
Unghiul diedru este figura geometrică formată de două semiplane mărginite de aceeași dreaptă.
- Fețele diedrului: cele două semiplane.
- Muchia diedrului: dreapta comună care mărginește fețele.
Unghiul plan corespunzător diedrului este unghiul format de două perpendiculare duse pe muchia diedrului, din același punct al muchiei, câte una în fiecare semiplan (față).
\[ \left. \begin{matrix} O \in d \\ OA \perp d \text{ (în prima față)} \\ OB \perp d \text{ (în a doua față)} \end{matrix} \right\} \Rightarrow \text{măsura diedrului este } m(\sphericalangle AOB) \]
Măsura unui unghi diedru poate varia de la \( 0^\circ \) la \( 180^\circ \). Ea nu depinde de alegerea punctului \( O \) pe muchie.
Două plane concurente formează patru unghiuri diedre (două câte două opuse la vârf și egale).
Unghiul a două plane este definit ca fiind cel mai mic (sau egal) unghi dintre cele patru unghiuri diedre formate.
Prin definiție, măsura unghiului dintre două plane concurente este cuprinsă între \( 0^\circ \) (exclusiv) și \( 90^\circ \) (inclusiv). Unghiul a două plane paralele este de \( 0^\circ \).
Plane perpendiculare: Dacă măsura unghiului dintre două plane este egală cu \( 90^\circ \), atunci cele două plane sunt perpendiculare (se notează \( \alpha \perp \beta \)).
Dacă o dreaptă este perpendiculară pe un plan într-un punct, iar din acel punct ducem o perpendiculară pe o dreaptă din plan, atunci dreapta care unește orice punct de pe prima perpendiculară cu intersecția celorlalte două va fi perpendiculară pe dreapta din plan.
Scriere matematică:
\[ \left. \begin{matrix} d \perp \alpha, \ d \cap \alpha = \{O\} \\ OA \perp a, \ A \in a, \ a \subset \alpha, \ O \notin a \\ P \in d \end{matrix} \right\} \Rightarrow PA \perp a \]
Probleme de antrenament
Ușoară: Fie \( \alpha \) și \( \beta \) două plane care se intersectează după dreapta \( d \). Pe dreapta \( d \) se consideră un punct \( M \). În planul \( \alpha \) se construiește \( MA \perp d \), iar în planul \( \beta \) se construiește \( MB \perp d \). Dacă \( m(\sphericalangle AMB) = 45^\circ \), care este măsura unghiului dintre cele două plane?
Unghiul \( AMB \) este unghiul plan corespunzător diedrului. Deoarece \( 45^\circ \le 90^\circ \), unghiul a două plane este chiar măsura acestui unghi plan.
Răspuns: \( \sphericalangle(\alpha, \beta) = 45^\circ \).
Răspuns: \( \sphericalangle(\alpha, \beta) = 45^\circ \).
Medie: Fie un pătrat \( ABCD \) de latură \( 5 \text{ cm} \). Pe planul pătratului se ridică perpendiculara \( MA \perp (ABC) \). Demonstrați că \( MB \perp BC \).
Se aplică Teorema celor trei perpendiculare.
Avem:
1. \( MA \perp (ABC) \) (din ipoteză)
2. \( AB \perp BC \) (deoarece \( ABCD \) este pătrat)
3. \( BC \subset (ABC) \) și \( AB \subset (ABC) \)
Din cele trei relații, conform Teoremei celor trei perpendiculare, rezultă direct că \( MB \perp BC \).
Avem:
1. \( MA \perp (ABC) \) (din ipoteză)
2. \( AB \perp BC \) (deoarece \( ABCD \) este pătrat)
3. \( BC \subset (ABC) \) și \( AB \subset (ABC) \)
Din cele trei relații, conform Teoremei celor trei perpendiculare, rezultă direct că \( MB \perp BC \).
Dificilă: Fie \( VABCD \) o piramidă patrulateră regulată cu baza \( ABCD \) și vârful \( V \). Fie \( O \) centrul bazei \( ABCD \), iar \( M \) mijlocul laturii \( BC \). Identificați unghiul plan corespunzător unghiului diedru format de planul lateral \( (VBC) \) și planul bazei \( (ABC) \).
Muchia diedrului (dreapta de intersecție a celor două plane) este \( BC \).
În planul bazei \( (ABC) \), \( OM \) este apotema bazei, deci \( OM \perp BC \).
În planul lateral \( (VBC) \), triunghiul \( VBC \) este isoscel cu baza \( BC \). Deoarece \( M \) este mijlocul lui \( BC \), mediana \( VM \) este și înălțime, deci \( VM \perp BC \).
Cum \( BC \) este muchia diedrului, iar din punctul \( M \) aparținând muchiei avem \( OM \perp BC \) (în planul bazei) și \( VM \perp BC \) (în planul lateral), rezultă că unghiul plan corespunzător diedrului format de cele două plane este \( \sphericalangle VMO \).
În planul bazei \( (ABC) \), \( OM \) este apotema bazei, deci \( OM \perp BC \).
În planul lateral \( (VBC) \), triunghiul \( VBC \) este isoscel cu baza \( BC \). Deoarece \( M \) este mijlocul lui \( BC \), mediana \( VM \) este și înălțime, deci \( VM \perp BC \).
Cum \( BC \) este muchia diedrului, iar din punctul \( M \) aparținând muchiei avem \( OM \perp BC \) (în planul bazei) și \( VM \perp BC \) (în planul lateral), rezultă că unghiul plan corespunzător diedrului format de cele două plane este \( \sphericalangle VMO \).
