1. Cel mai mare număr natural din intervalul $(3, 4\sqrt{5})$ este .......

Pentru a găsi cel mai mare număr natural din intervalul deschis $ (3, 4\sqrt{5}) $, vom evalua valoarea marginii superioare a acestui interval. Pasul 1: Introducerea factorului sub radical Pentru a estima valoarea numărului $ 4\sqrt{5} $, introducem factorul $ 4 $ sub radical: \[ 4\sqrt{5} = \sqrt{4^2 \cdot 5} = \sqrt{16 \cdot 5} = \sqrt{80} \] Pasul 2: Încadrarea radicalului între două numere întregi consecutive Căutăm cele mai apropiate pătrate perfecte de numărul $ 80 $. Știm că: \[...

Subiectul I

Cele mai importante aspecte ale lecției

Algebră și Inecuații: Domeniul de existență al fracțiilor impune numitor nenul ($ Q(x) \neq 0 $). Inecuațiile aplicate în viața reală se traduc sub formă de intervale (ex: $ [1800, 2200] $). Formulele prescurtate (ex: $ a^2 - b^2 = (a-b)(a+b) $) sunt vitale pentru descompuneri.
Funcții: Orice punct de pe grafic respectă ecuația $ f(x) = y $. Intersecțiile cu axele sunt $ (x, 0) $ obținut din $ f(x)=0 $, și $ (0, f(0)) $.
Geometrie în spațiu: Volumul prismelor și cilindrilor se bazează pe produsul dintre aria bazei și înălțime ($ V = A_b \cdot h $). Pentru corpuri "cu vârf" (piramide, conuri), volumul este o treime din acest produs ($ V = \frac{A_b \cdot h}{3} $). Elementele unghiulare și distanțele se calculează folosind secțiuni plane și Teorema lui Pitagora.

Calcul Algebric În R

Un termen algebric este format dintr-un coeficient (număr real) și o parte literală (litere la diverse puteri). Termenii care au exact aceeași parte literală se numesc termeni asemenea.

Adunarea și scăderea: Se pot efectua doar între termeni asemenea, adunând/scăzând coeficienții și păstrând partea literală.
Înmulțirea: Se înmulțesc coeficienții între ei și părțile literale între ele (folosind regulile puterilor). Se aplică distributivitatea: $ A(B \pm C) = AB \pm AC $.
Ordinea operațiilor: 1. Puteri; 2. Înmulțiri și împărțiri; 3. Adunări și scăderi.

Adunare: $ 5x^2 - 2x^2 = 3x^2 $
Înmulțire: $ (-3x) \cdot (2xy) = -6x^2y $
Distributivitate: $ 2x(x + 3) = 2x^2 + 6x $

Reduceți termenii asemenea din expresia: $ 3x^2 + 5x - x^2 - 2x $.

Grupăm termenii cu aceeași parte literală: $ (3x^2 - x^2) + (5x - 2x) = 2x^2 + 3x $

Aceste formule ajută la efectuarea rapidă a înmulțirilor sau la restrângerea expresiilor.

Produsul sumei cu diferența: $ (a + b)(a - b) = a^2 - b^2 $
Pătratul unui binom:
$ (a + b)^2 = a^2 + 2ab + b^2 $
$ (a - b)^2 = a^2 - 2ab + b^2 $
Pătratul unui trinom: $ (a + b + c)^2 = a^2 + b^2 + c^2 + 2ab + 2ac + 2bc $

$ (x + 4)(x - 4) = x^2 - 16 $
$ (2x - 3)^2 = (2x)^2 - 2 \cdot 2x \cdot 3 + 3^2 = 4x^2 - 12x + 9 $

Calculați rapid $ (x + 5)^2 $.

Aplicăm formula $ (a+b)^2 $: $ x^2 + 2 \cdot x \cdot 5 + 5^2 = x^2 + 10x + 25 $.

Raționalizarea înseamnă amplificarea unei fracții pentru a elimina radicalii de la numitor. Expresia cu care amplificăm se numește conjugata numitorului.

Pentru $ n\sqrt{a} $, amplificăm cu $ \sqrt{a} $.
Pentru $ \sqrt{a} + \sqrt{b} $, amplificăm cu $ \sqrt{a} - \sqrt{b} $.
Pentru $ \sqrt{a} - \sqrt{b} $, amplificăm cu $ \sqrt{a} + \sqrt{b} $.

$ \frac{2}{\sqrt{3}} $ se amplifică cu $ \sqrt{3} $ $\rightarrow \frac{2\sqrt{3}}{3} $.
$ \frac{1}{\sqrt{5}-\sqrt{2}} $ se amplifică cu $ \sqrt{5}+\sqrt{2} $ $\rightarrow \frac{\sqrt{5}+\sqrt{2}}{5-2} = \frac{\sqrt{5}+\sqrt{2}}{3} $.

Transformarea unei sume/diferențe algebrice într-un produs de factori. Nu se consideră încheiată până când niciun factor nu mai poate fi descompus.

Factorul comun: $ ax + ay = a(x + y) $

Formule de calcul prescurtat (inversate): $ a^2 - b^2 = (a - b)(a + b) $ sau $ a^2 \pm 2ab + b^2 = (a \pm b)^2 $

Gruparea termenilor: $ ax + ay + bx + by = a(x+y) + b(x+y) = (x+y)(a+b) $

Descompuneți în factori expresia: $ x^2 - 9 $.

Observăm o diferență de pătrate: $ x^2 - 3^2 $. Aplicăm formula: $ (x - 3)(x + 3) $.

O fracție algebrică este un raport de forma $ \frac{P(x)}{Q(x)} $.

Domeniul de definiție: O fracție algebrică are sens doar pentru valorile care nu anulează numitorul: $ \{x \in \mathbb{R} \mid Q(x) \neq 0\} $.

Simplificarea: Se descompun numărătorul și numitorul în factori, apoi se simplifică factorii comuni.
Adunarea/Scăderea: Necesită aducerea la un numitor comun.
Înmulțirea: Se înmulțesc numărătorii între ei și numitorii între ei.
Împărțirea: Se înmulțește prima fracție cu inversa celei de-a doua.

Stabiliți domeniul de definiție pentru $ F(x) = \frac{x+2}{x-5} $.

Numitorul nu poate fi 0. Deci $ x - 5 \neq 0 \implies x \neq 5 $. Domeniul de definiție este $ \mathbb{R} \setminus \{5\} $.

Forma generală: $ ax^2 + bx + c = 0 $, unde $ a \neq 0 $.

Discriminantul: $ \Delta = b^2 - 4ac $

Dacă $ \Delta > 0 $: ecuația are două soluții distincte $ x_{1,2} = \frac{-b \pm \sqrt{\Delta}}{2a} $.
Dacă $ \Delta = 0 $: ecuația are o soluție dublă $ x_1 = x_2 = \frac{-b}{2a} $.
Dacă $ \Delta < 0 $: ecuația nu are soluții reale.

Expresia $ ax^2 + bx + c $ se poate descompune folosind soluțiile ecuației atașate: $ a(x - x_1)(x - x_2) $. Dacă $ \Delta < 0 $, expresia nu se poate descompune în $ \mathbb{R} $.

Rezolvați ecuația $ x^2 - 5x + 6 = 0 $.

Identificăm coeficienții: $ a=1, b=-5, c=6 $.
$ \Delta = (-5)^2 - 4 \cdot 1 \cdot 6 = 25 - 24 = 1 $.
Deoarece $ \Delta > 0 $, calculăm $ x_{1,2} = \frac{5 \pm \sqrt{1}}{2} $.
$ x_1 = \frac{5+1}{2} = 3 $ și $ x_2 = \frac{5-1}{2} = 2 $. Soluțiile sunt $ 2 $ și $ 3 $.

Numărul de aur ($ \phi $): $ \phi \approx 1,618 $ este soluția pozitivă a ecuației $ x^2 - x - 1 = 0 $. Se regăsește în arhitectură, natură și șirul lui Fibonacci.

Teorema lui Thales: O paralelă dusă la una dintre laturile unui triunghi determină pe celelalte două laturi segmente proporționale. Dacă $ MN \parallel BC $ ($ M \in AB, N \in AC $), atunci $ \frac{AM}{MB} = \frac{AN}{NC} $.

Desen cu un triunghi ABC. Punctul A este vârful superior, iar latura BC este baza inferioară și orizontală a triunghiului. O dreaptă, segmentul MN, este desenată orizontal în interiorul triunghiului, paralelă cu baza BC. Punctul M se află pe latura AB, iar punctul N se află pe latura AC. Segmentul MN este poziționat strict între vârful A și baza BC. Toate punctele A, B, C, M, N trebuie etichetate clar. Desenul trebuie să ilustreze vizual proporționalitatea segmentelor determinate de dreapta paralelă.

Exerciții

Ușoară: Descompuneți în factori expresia $ 4x^2 - 25 $.

Expresia este o diferență de pătrate: $ (2x)^2 - 5^2 $.
Aplicând formula $ a^2 - b^2 = (a-b)(a+b) $, obținem:
Răspuns: $ (2x - 5)(2x + 5) $.

Medie: Simplificați fracția algebrică $ F(x) = \frac{x^2 - 4}{x^2 + 2x} $. Menționați și domeniul de definiție.

1. Descompunem numitorul pentru domeniu: $ x^2 + 2x = x(x+2) $. Domeniul de definiție: $ x \neq 0 $ și $ x+2 \neq 0 \implies x \neq -2 $.
2. Descompunem numărătorul: $ x^2 - 4 = (x-2)(x+2) $.
3. Simplificăm factorul comun $ (x+2) $:
\[ F(x) = \frac{(x-2)(x+2)}{x(x+2)} = \frac{x-2}{x} \]
Răspuns: Domeniul este $ \mathbb{R} \setminus \{-2, 0\} $, iar fracția simplificată este $ \frac{x-2}{x} $.

Medie: Rezolvați ecuația $ 2x^2 + 3x - 5 = 0 $.

Identificăm $ a=2, b=3, c=-5 $.
Calculăm discriminantul: $ \Delta = 3^2 - 4 \cdot 2 \cdot (-5) = 9 + 40 = 49 $.
Calculăm soluțiile: $ x_{1,2} = \frac{-3 \pm \sqrt{49}}{2 \cdot 2} = \frac{-3 \pm 7}{4} $.
$ x_1 = \frac{4}{4} = 1 $ și $ x_2 = \frac{-10}{4} = -\frac{5}{2} $.
Răspuns: Soluțiile sunt $ x \in \left\{ -\frac{5}{2}, 1 \right\} $.

Dificilă: Arătați că rezultatul calculului $ E(x) = \left( \frac{1}{x-1} + \frac{1}{x+1} \right) \cdot \frac{x^2 - 1}{2x} $ este constant pentru orice $ x $ din domeniul de definiție.

Aducem la același numitor în paranteză amplificând prima fracție cu $ (x+1) $ și pe a doua cu $ (x-1) $: \[ \frac{x+1 + x-1}{(x-1)(x+1)} = \frac{2x}{x^2-1} \] Înmulțim rezultatul cu a doua fracție: \[ E(x) = \frac{2x}{x^2-1} \cdot \frac{x^2-1}{2x} \] Simplificând pe diagonală $ 2x $ cu $ 2x $ și $ (x^2-1) $ cu $ (x^2-1) $, obținem:
Răspuns: $ E(x) = 1 $. Rezultatul este constant și nu depinde de $ x $.

Funcții

O funcție este un triplet $(A, B, f)$, unde $A$ și $B$ sunt două mulțimi nevide, iar $f$ este o lege de corespondență care asociază fiecărui element din $A$ un singur element din $B$.

Scriem $f: A \rightarrow B$. $A$ este domeniul de definiție, $B$ este codomeniul, iar $f$ este legea de corespondență. Dacă $x \in A$, elementul $y = f(x) \in B$ se numește imaginea lui $x$ sau valoarea funcției în $x$.

Imaginea funcției (notată $Im f$) este submulțimea lui $B$ formată din toate valorile efective pe care le ia funcția.

Două funcții sunt egale dacă au același domeniu, același codomeniu și aceeași lege de corespondență.

O funcție numerică are domeniul și codomeniul submulțimi ale lui $\mathbb{R}$. Legea ei de corespondență se exprimă analitic printr-o formulă.

Domeniul maximal de definiție este format din toate numerele reale pentru care expresia matematică a funcției are sens (ex: numitorul unei fracții trebuie să fie diferit de zero).

Pentru expresia $\frac{x}{x-2}$, numitorul $x-2$ nu poate fi 0, deci $x \neq 2$. Funcția se definește pe domeniul maximal astfel: $f: \mathbb{R} \setminus \{2\} \rightarrow \mathbb{R}, f(x) = \frac{x}{x-2}$.

Graficul funcției $f$ (notat cu $G_f$) este mulțimea perechilor de forma $(x, f(x))$, unde $x \in A$.

\[ G_f = \{(x, y) \mid x \in A \text{ și } y = f(x)\} \]

Condiția de apartenență: Un punct $M(a, b)$ aparține graficului $G_f$ dacă și numai dacă $a$ aparține domeniului și $f(a) = b$.

Nicio dreaptă verticală nu poate fi graficul unei funcții, deoarece un element din domeniu ar avea mai multe imagini, încălcând definiția funcției.

Intersecția cu axa $Oy$: Orice punct de pe axa ordonatelor are abscisa 0. Se calculează $f(0)$. Punctul este $A(0, f(0))$.

Intersecția cu axa $Ox$: Orice punct de pe axa absciselor are ordonata 0. Se rezolvă ecuația $f(x) = 0$. Dacă $x_1$ este soluție, punctul este $B(x_1, 0)$.

Un sistem de axe ortogonale xOy, cu axele etichetate Ox și Oy având săgeți la capete pentru a indica direcția pozitivă, și originea marcată cu O. Este ilustrat graficul unei funcții liniare, reprezentat ca o dreaptă. Această dreaptă intersectează axa Oy într-un punct marcat A, cu coordonatele (0, y_A), situat pe semidreapta negativă a axei Oy. De asemenea, dreapta intersectează axa Ox într-un punct marcat B, cu coordonatele (x_B, 0), situat pe semidreapta pozitivă a axei Ox.

Aflați coordonatele punctelor de intersecție ale graficului funcției $f: \mathbb{R} \rightarrow \mathbb{R}$, $f(x) = 2x - 6$ cu axele de coordonate.

Intersecția cu $Oy$: $x = 0 \implies f(0) = 2 \cdot 0 - 6 = -6$. Punctul este $A(0, -6)$.
Intersecția cu $Ox$: $f(x) = 0 \implies 2x - 6 = 0 \implies 2x = 6 \implies x = 3$. Punctul este $B(3, 0)$.

Funcțiile de forma $f: D \rightarrow \mathbb{R}, f(x) = ax + b$, unde $a, b \in \mathbb{R}$, modelează dependențe liniare (ex: proporționalitate directă).

1. Funcția constantă ($a = 0$): Forma ei este $f(x) = b$. Reprezentarea geometrică este o dreaptă orizontală (paralelă cu $Ox$).

2. Funcția de gradul I ($a \neq 0$): Forma ei este $f(x) = ax + b$. Reprezentarea geometrică este o dreaptă oblică.

Pentru a desena graficul pe mulțimea $\mathbb{R}$, este suficient să aflăm coordonatele a două puncte și să trasăm dreapta care trece prin ele. Dacă domeniul de definiție $D$ este restrâns, graficul nu mai este o dreaptă infinită.

Domeniul de definiție $D$	Reprezentarea geometrică a graficului
$\mathbb{R}$	O dreaptă neîntreruptă
Un interval nemărginit (ex: $[a, +\infty)$)	O semidreaptă
Un interval mărginit (ex: $[a, b]$)	Un segment
O mulțime finită de numere discrete	Puncte izolate coliniare

Coliniaritatea: Punctele $A, B, C$ sunt coliniare dacă și numai dacă aparțin aceluiași grafic al unei funcții liniare. Altfel, se pot folosi distanțele: coliniare dacă $AB + BC = AC$.

Când analizăm o populație statistică, extragem anumite date (valori). Frecvența absolută reprezintă de câte ori se repetă o anumită valoare într-o serie de date. Pentru a interpreta datele, se folosesc patru indicatori principali:

Media ($\bar{X}$) - reprezintă media aritmetică a tuturor datelor din set. \[ \bar{X} = \frac{x_1 + x_2 + \dots + x_N}{N} \] Dacă datele au frecvențe diferite ($n_i$), folosim media ponderată: $\bar{X} = \frac{x_1n_1 + x_2n_2 + \dots + x_kn_k}{n_1 + n_2 + \dots + n_k}$

2. Modul (Dominanta) - este acea valoare a seriei de date care are cea mai mare frecvență de apariție.

3. Amplitudinea - este diferența dintre cea mai mare valoare ($x_{max}$) și cea mai mică valoare ($x_{min}$) din setul de date.

4. Mediana - este valoarea situată la mijlocul șirului de date ordonate crescător.

Dacă numărul de date este impar, mediana este valoarea fix din centru.

Dacă numărul de date este par, mediana este media aritmetică a celor două valori din mijloc.

Probleme practice

Ușoară: Se consideră funcția $f: \mathbb{R} \rightarrow \mathbb{R}, f(x) = -3x + 5$. Verificați dacă punctul $M(2, -1)$ aparține graficului funcției.

Folosim condiția de apartenență la grafic: $M(x, y) \in G_f \iff f(x) = y$.
Calculăm $f(2)$: $f(2) = -3 \cdot 2 + 5 = -6 + 5 = -1$.
Deoarece $f(2) = -1$, rezultă că punctul $M(2, -1)$ aparține graficului $G_f$.

Medie: Determinați numărul real $a$ știind că punctul $P(a, 7)$ aparține graficului funcției $f: \mathbb{R} \rightarrow \mathbb{R}, f(x) = 4x - 1$.

Punctul $P(a, 7) \in G_f \iff f(a) = 7$.
Înlocuim în legea funcției: $4a - 1 = 7$.
$4a = 8 \implies a = 2$.

Dificilă: Notele obținute de 10 elevi la un test sunt: $6, 8, 5, 9, 8, 10, 7, 8, 9, 6$. Aflați media, modul, amplitudinea și mediana acestei serii de date statistice.

Mai întâi ordonăm datele crescător: $5, 6, 6, 7, 8, 8, 8, 9, 9, 10$. (N = 10 date)
1. Media: $\bar{X} = \frac{5 + 6 \cdot 2 + 7 + 8 \cdot 3 + 9 \cdot 2 + 10}{10} = \frac{5 + 12 + 7 + 24 + 18 + 10}{10} = \frac{76}{10} = 7,6$.
2. Modul: Nota cu frecvența cea mai mare este $8$ (apare de 3 ori).
3. Amplitudinea: $x_{max} - x_{min} = 10 - 5 = 5$.
4. Mediana: Numărul de date este par (10). Valorile din mijloc sunt a 5-a și a 6-a valoare din șirul ordonat: $8$ și $8$. Mediana $= \frac{8 + 8}{2} = 8$.

Elemente Ale Geometriei În Spațiu

Punctul (fără dimensiune), dreapta (o dimensiune, infinită) și planul (două dimensiuni, infinit) sunt noțiunile de bază ale geometriei în spațiu.

Axiome importante:

Prin două puncte diferite trece o singură dreaptă.
Prin trei puncte necoliniare trece un singur plan.
Dacă o dreaptă are două puncte comune cu un plan, ea este inclusă în acel plan.
Intersecția a două plane diferite care au un punct comun este o dreaptă.

Determinarea planului. Un plan este unic determinat de:

Trei puncte necoliniare;
Două drepte concurente;
Două drepte paralele;
O dreaptă și un punct exterior ei.

Patru reprezentări grafice distincte, aranjate vizibil. Fiecare reprezentare prezintă un plan, vizualizat ca un paralelogram 3D (cu o ușoară perspectivă) pe a cărui suprafață sunt plasate elementele geometrice.
1. **Primul scenariu:** Trei puncte necoliniare, etichetate A, B și C, aflate pe planul reprezentat de primul paralelogram. Punctele sunt distincte și clar marcate.
2. **Al doilea scenariu:** Două drepte concurente, etichetate d1 și d2, aflate pe planul reprezentat de al doilea paralelogram. Punctul lor de intersecție este etichetat I. Dreptale și punctul sunt clar marcate.
3. **Al treilea scenariu:** Două drepte paralele distincte, etichetate l1 și l2, aflate pe planul reprezentat de al treilea paralelogram. Dreptale sunt clar marcate.
4. **Al patrulea scenariu:** O dreaptă, etichetată m, și un punct exterior ei, etichetat Q, aflate pe planul reprezentat de al patrulea paralelogram. Dreapta și punctul sunt clar marcate.

Piramida este poliedrul cu o bază poligon și fețe laterale triunghiuri cu un vârf comun (apex). Piramida regulată are baza poligon regulat, iar muchiile laterale sunt egale (fețele laterale sunt triunghiuri isoscele congruente).

Tetraedrul regulat este o piramidă triunghiulară cu toate cele 6 muchii egale (are 4 fețe triunghiuri echilaterale congruente).

Prisma dreaptă este poliedrul cu două baze poligoane congruente situate în plane paralele și fețe laterale dreptunghiuri. Paralelipipedul dreptunghic (fețe dreptunghiuri) și cubul (fețe pătrate) sunt cazuri particulare.

Cilindrul și conul circular drept se obțin prin rotația unui dreptunghi (în jurul unei laturi), respectiv a unui triunghi dreptunghic (în jurul unei catete). Au baze discuri și o generatoare ( $ G $ ).

Trunchiul de piramidă / con se obține prin secționarea corpului inițial cu un plan paralel cu baza și îndepărtarea vârfului. Bazele sunt poligoane/cercuri asemenea.

Desfășurarea laterală a conului este un sector de cerc cu unghiul la centru: \[ u = 360^{\circ} \cdot \frac{R}{G} \]

Două drepte în spațiu pot fi: paralele (coplanare, 0 puncte comune), concurente (coplanare, 1 punct comun) sau necoplanare (niciun punct comun și nu există un plan care să le conțină).

Unghiul a două drepte necoplanare: Dacă $ a $ și $ b $ sunt necoplanare, unghiul dintre ele este unghiul format de două drepte concurente $ a' $ și $ b' $, paralele cu $ a $, respectiv $ b $. $Reprezentați două drepte necoplanare `a` și `b`. Dreapta `a` va fi desenată complet vizibilă, iar dreapta `b` va fi reprezentată parțial întreruptă pentru a indica necoplanaritatea și poziția sa în spațiu. Alegeți un punct `P` arbitrar în spațiu, care nu aparține dreptelor `a` sau `b`. Prin punctul `P`, desenați dreapta `a'` paralelă cu `a` și dreapta `b'` paralelă cu `b`. Dreptele `a'` și `b'` vor fi desenate complet vizibile, concurente în `P`, și definesc un plan. Evidențiați și etichetați unghiul plan format de dreptele `a'` și `b'` la punctul `P` cu simbolul `\theta`. Asigurați-vă că toate dreptele (`a`, `b`, `a'`, `b'`) și punctul `P`, precum și unghiul `\theta`, sunt clar etichetate.$

Dreaptă paralelă cu un plan: O dreaptă este paralelă cu un plan dacă nu are niciun punct comun cu acesta.

Teoremă: O dreaptă paralelă cu o dreaptă dintr-un plan este paralelă cu planul (sau conținută în el).

Plane paralele: Două plane care nu au niciun punct comun.

Teoremă: Dacă un plan conține două drepte concurente, ambele paralele cu un alt plan, atunci cele două plane sunt paralele.

Teorema tortului: Intersecțiile a două plane paralele cu un al treilea plan sunt două drepte paralele.

Dreaptă perpendiculară pe plan: O dreaptă este perpendiculară pe un plan dacă este perpendiculară pe orice dreaptă din acel plan.

Teoremă: Dacă o dreaptă este perpendiculară pe două drepte concurente dintr-un plan, atunci este perpendiculară pe acel plan.

Proiecția ortogonală: Proiecția unui punct pe un plan este piciorul perpendicularei coborâte din punct pe plan. Proiecția unui segment pe un plan este un segment sau un punct.

Unghiul dintre o dreaptă și un plan este unghiul format de dreaptă cu proiecția sa pe plan.
Dacă $ A'B' $ este proiecția segmentului $ AB $ pe planul $ \alpha $ și unghiul este $ u^\circ $, atunci: \[ A'B' = AB \cdot \cos u^\circ \]

Unghiul diedru: Este unghiul format de două semiplane cu aceeași muchie. Măsura lui este dată de unghiul plan corespunzător (format de două perpendiculare pe muchie, duse din același punct, câte una în fiecare semiplan).

Două plane sunt perpendiculare dacă unghiul diedru dintre ele este de $ 90^\circ $. (Echivalent: un plan conține o dreaptă perpendiculară pe celălalt plan).

Înălțimea piramidei / conului este perpendiculara din vârf pe planul bazei. La corpurile regulate, piciorul înălțimii cade exact în centrul bazei.

Teorema celor trei perpendiculare: Fie un plan $ \alpha $, o dreaptă $ d \perp \alpha $ în punctul $ O $, și o dreaptă $ a \subset \alpha $. Dacă ducem din $ O $ o perpendiculară $ OA \perp a $ ($ A \in a $), atunci pentru orice punct $ P \in d $, segmentul $ PA $ va fi perpendicular pe $ a $. \[ \left. \begin{array}{l} d \perp \alpha, d \cap \alpha = \{O\} \\ OA \perp a, a \subset \alpha \\ P \in d \end{array} \right\} \Rightarrow PA \perp a \]

$Un plan $\alpha$ este reprezentat ca un paralelogram orizontal în perspectivă. Un punct O este situat în planul $\alpha$. O dreaptă 'd' este perpendiculară pe planul $\alpha$ în punctul O, extinzându-se vertical în sus. Pe dreapta 'd' se află un punct P, situat deasupra lui O. O dreaptă 'a' este inclusă în planul $\alpha$. Din punctul O, un segment OA este trasat perpendicular pe dreapta 'a', unde A este punctul de intersecție pe dreapta 'a'. Această perpendicularitate la A ($OA \perp a$) trebuie marcată cu un simbol de unghi drept. Un segment PA conectează punctul P de pe dreapta 'd' cu punctul A de pe dreapta 'a'. Conform Teoremei celor Trei Perpendiculare, segmentul PA este de asemenea perpendicular pe dreapta 'a' în punctul A; această perpendicularitate ($PA \perp a$) trebuie de asemenea marcată cu un simbol de unghi drept. Se vor eticheta clar planul $\alpha$, dreapta 'd', dreapta 'a' și punctele O, A, P.$

Această teoremă este esențială pentru calculul distanței de la un punct la o dreaptă în spațiu ($ d(P, a) = PA $). Reciprocele sale se folosesc extensiv pentru calcularea distanței de la un punct la un plan.

Probleme de antrenament

Ușoară: Un segment $ AB $ cu lungimea de $ 10 \text{ cm} $ face un unghi de $ 60^\circ $ cu un plan $ \alpha $. Calculați lungimea proiecției segmentului $ AB $ pe planul $ \alpha $.

Fie $ A'B' $ proiecția segmentului $ AB $ pe planul $ \alpha $.
Aplicăm formula: $ A'B' = AB \cdot \cos 60^\circ $
$ A'B' = 10 \cdot \frac{1}{2} = 5 \text{ cm} $.

Medie: Fie un pătrat $ ABCD $ cu latura de $ 6 \text{ cm} $. Din vârful $ A $ se ridică pe planul pătratului o perpendiculară $ AM = 8 \text{ cm} $. Calculați distanța de la punctul $ M $ la dreapta $ BC $.

Aplicăm Teorema celor trei perpendiculare.
1. Știm că $ MA \perp (ABCD) $ în punctul $ A $.
2. În planul bazei, $ ABCD $ este pătrat, deci $ AB \perp BC $.
3. Din 1 și 2, conform T3P, rezultă că $ MB \perp BC $.
Așadar, distanța de la $ M $ la dreapta $ BC $ este exact lungimea segmentului $ MB $.
În triunghiul dreptunghic $ MAB $ ($ \sphericalangle A = 90^\circ $): $ MB^2 = MA^2 + AB^2 = 8^2 + 6^2 = 64 + 36 = 100 $.
$ MB = \sqrt{100} = 10 \text{ cm} $.

Dificilă: Într-un tetraedru regulat $ ABCD $ cu muchia $ l = 6\sqrt{3} \text{ cm} $, calculați înălțimea tetraedrului.

Într-un tetraedru regulat, baza $ BCD $ este triunghi echilateral, iar piciorul înălțimii $ AO $ cade în centrul cercului circumscris bazei ($ O $).
Înălțimea triunghiului echilateral de latură $ l $ este $ h = \frac{l\sqrt{3}}{2} = \frac{6\sqrt{3} \cdot \sqrt{3}}{2} = 9 \text{ cm} $.
Raza cercului circumscris bazei ($ BO $) este două treimi din înălțimea bazei: $ BO = \frac{2}{3} \cdot 9 = 6 \text{ cm} $.
În triunghiul dreptunghic $ AOB $ ($ \sphericalangle O = 90^\circ $), muchia laterală este ipotenuza $ AB = 6\sqrt{3} \text{ cm} $.
Aplicăm teorema lui Pitagora: $ AO^2 = AB^2 - BO^2 $
$ AO^2 = (6\sqrt{3})^2 - 6^2 = 108 - 36 = 72 $.
$ AO = \sqrt{72} = 6\sqrt{2} \text{ cm} $.

Arii Și Volume Ale Unor Corpuri Geometrice

Sunt prisme drepte cu trăsături particulare. Cubul are toate fețele pătrate congruente, iar paralelipipedul dreptunghic are toate fețele dreptunghiuri.

$Un cub în perspectivă, cu vârfurile etichetate A, B, C, D pentru baza inferioară (în sens antiorar, începând cu A în stânga-față-jos) și A', B', C', D' pentru baza superioară (A' deasupra lui A, B' deasupra lui B, etc.). Muchiile vizibile sunt desenate cu linie continuă, iar muchiile invizibile cu linie întreruptă. Muchia AB a bazei inferioare este marcată cu $l$. Pe fața laterală dreaptă BCC'B', diagonala BC' este marcată cu $d_f$. Diagonala cubului care traversează interiorul de la vârful A la vârful C' este marcată cu $d$ și desenată cu linie întreruptă.$

Formule pentru Cub (muchia $l$):

Diagonala feței: $ d_f = l\sqrt{2} $
Diagonala cubului: $ d = l\sqrt{3} $
Aria laterală: $ \mathcal{A}_{lat} = 4l^2 $
Aria totală: $ \mathcal{A}_{tot} = 6l^2 $
Volumul: $ \mathcal{V} = l^3 $

Formule pentru Paralelipipedul Dreptunghic (lungime $a$, lățime $b$, înălțime $c$):

Diagonala paralelipipedului: $ d = \sqrt{a^2 + b^2 + c^2} $
Aria laterală: $ \mathcal{A}_{lat} = 2(a + b) \cdot c $
Aria totală: $ \mathcal{A}_{tot} = 2ab + 2ac + 2bc $
Volumul: $ \mathcal{V} = a \cdot b \cdot c $

Dacă un paralelipiped are dimensiunile $a=5$, $b=12$, $c=13$, diagonala sa este $ d = \sqrt{5^2 + 12^2 + 13^2} = \sqrt{25 + 144 + 169} = \sqrt{338} = 13\sqrt{2} $.

Prisma dreaptă cu baza un poligon regulat (triunghi echilateral, pătrat, hexagon regulat). Muchiile laterale sunt perpendiculare pe planele bazelor și reprezintă înălțimea ($h$) prismei.

Aria laterală: \[ \mathcal{A}_{lat} = \mathcal{P}_b \cdot h \] Aria totală: \[ \mathcal{A}_{tot} = \mathcal{A}_{lat} + 2 \cdot \mathcal{A}_{bază} \] Volumul: \[ \mathcal{V} = \mathcal{A}_{bază} \cdot h \]

Triunghi echilateral: $ \mathcal{A} = \frac{l^2\sqrt{3}}{4} $
Pătrat: $ \mathcal{A} = l^2 $
Hexagon regulat: $ \mathcal{A} = \frac{3l^2\sqrt{3}}{2} $

O piramidă regulată are baza poligon regulat, iar proiecția vârfului pe planul bazei coincide cu centrul bazei. Muchiile laterale sunt congruente.

$h$ = înălțimea piramidei (distanța de la vârf la planul bazei).
$a_p$ = apotema piramidei (distanța de la vârf la o muchie a bazei).
$a_b$ = apotema bazei (distanța de la centrul bazei la o muchie).

$O piramidă patrulateră regulată, cu vârful S și baza pătratul ABCD, orientată astfel încât muchiile AB și BC sunt vizibile, iar CD și DA sunt muchii invizibile (reprezentate prin linii întrerupte). Punctul O este centrul bazei ABCD, fiind proiecția vârfului S pe planul bazei. Muchiile laterale SC și SD sunt reprezentate prin linii întrerupte. Se evidențiază triunghiul dreptunghic SOM: - Latura SO reprezintă înălțimea piramidei, notată cu $h$, desenată vertical. - Punctul M este mijlocul muchiei BC (o muchie vizibilă a bazei). Latura OM reprezintă apotema bazei, notată cu $a_b$, fiind perpendiculară pe BC. - Latura SM reprezintă apotema piramidei, notată cu $a_p$, care este ipotenuza triunghiului dreptunghic SOM. Unghiul drept al triunghiului se află la O ($\angle SOM = 90^\circ$). Liniile SO, OM și SM sunt trasate cu o grosime mai mare pentru a fi evidențiate. Vârfurile S, O, M, precum și laturile $h$, $a_b$ și $a_p$ sunt etichetate corespunzător.$

Relația fundamentală în piramida regulată (din Teorema lui Pitagora): \[ h^2 + a_b^2 = a_p^2 \]

Aria laterală: \[ \mathcal{A}_{lat} = \frac{\mathcal{P}_b \cdot a_p}{2} \] Aria totală: \[ \mathcal{A}_{tot} = \mathcal{A}_{lat} + \mathcal{A}_{bază} \] Volumul: \[ \mathcal{V} = \frac{\mathcal{A}_{bază} \cdot h}{3} \]

Este o piramidă triunghiulară în care toate cele 4 fețe sunt triunghiuri echilaterale congruente.
Aria totală: $ \mathcal{A}_{tot} = l^2\sqrt{3} $
Volumul: $ \mathcal{V} = \frac{l^3\sqrt{2}}{12} $

Se obține prin secționarea unei piramide regulate cu un plan paralel cu baza și îndepărtarea piramidei mici de la vârf. Bazele sunt poligoane regulate asemenea, iar fețele laterale sunt trapeze isoscele congruente.

Relația între apoteme și înălțime: \[ h^2 + (a_B - a_b)^2 = a_{trunchi}^2 \] Aria laterală: \[ \mathcal{A}_{lat} = \frac{(\mathcal{P}_B + \mathcal{P}_b) \cdot a_{trunchi}}{2} \] Aria totală: \[ \mathcal{A}_{tot} = \mathcal{A}_{lat} + \mathcal{A}_b + \mathcal{A}_B \] Volumul: \[ \mathcal{V} = \frac{h}{3} (\mathcal{A}_B + \mathcal{A}_b + \sqrt{\mathcal{A}_B \cdot \mathcal{A}_b}) \]

Dacă o piramidă este secționată printr-un plan paralel cu baza, raportul de asemănare dintre laturile piramidei mici și cele ale piramidei mari se notează cu $k$.
Raportul ariilor (baze, laterală, totală) este $ k^2 $.
Raportul volumelor este $ k^3 $.

Sfera este corpul obținut prin rotirea unui cerc în jurul diametrului său. Mulțimea punctelor aflate la distanța $R$ de centru.

Sfera (rază $R$):
Aria sferei: \[ \mathcal{A} = 4\pi R^2 \]
Volumul: \[ \mathcal{V} = \frac{4\pi R^3}{3} \]

Cilindrul circular drept (raza bazei $r$, înălțime $h$):
Aria laterală: \[ \mathcal{A}_{lat} = 2\pi rh \]
Aria totală: \[ \mathcal{A}_{tot} = 2\pi r(r + h) \]
Volumul: \[ \mathcal{V} = \pi r^2 h \]