Cele mai importante aspecte ale lecției
Reguli generale de reținut pentru calculul corpurilor geometrice:
- Corpuri drepte (Prisme, Cilindru): \(\mathcal{A}_{tot} = \mathcal{A}_{lat} + 2\mathcal{A}_{bază}\) | \(\mathcal{V} = \mathcal{A}_{bază} \cdot h\)
- Corpuri cu vârf (Piramide, Con): \(\mathcal{A}_{tot} = \mathcal{A}_{lat} + \mathcal{A}_{bază}\) | \(\mathcal{V} = \frac{\mathcal{A}_{bază} \cdot h}{3}\)
- Trunchiuri: \(\mathcal{A}_{tot} = \mathcal{A}_{lat} + \mathcal{A}_B + \mathcal{A}_b\) | \(\mathcal{V} = \frac{h}{3}(\mathcal{A}_B + \mathcal{A}_b + \sqrt{\mathcal{A}_B \cdot \mathcal{A}_b})\)
- Sferă: \(\mathcal{A} = 4\pi R^2\) | \(\mathcal{V} = \frac{4\pi R^3}{3}\)
- Corpuri drepte (Prisme, Cilindru): \(\mathcal{A}_{tot} = \mathcal{A}_{lat} + 2\mathcal{A}_{bază}\) | \(\mathcal{V} = \mathcal{A}_{bază} \cdot h\)
- Corpuri cu vârf (Piramide, Con): \(\mathcal{A}_{tot} = \mathcal{A}_{lat} + \mathcal{A}_{bază}\) | \(\mathcal{V} = \frac{\mathcal{A}_{bază} \cdot h}{3}\)
- Trunchiuri: \(\mathcal{A}_{tot} = \mathcal{A}_{lat} + \mathcal{A}_B + \mathcal{A}_b\) | \(\mathcal{V} = \frac{h}{3}(\mathcal{A}_B + \mathcal{A}_b + \sqrt{\mathcal{A}_B \cdot \mathcal{A}_b})\)
- Sferă: \(\mathcal{A} = 4\pi R^2\) | \(\mathcal{V} = \frac{4\pi R^3}{3}\)
Sunt prisme drepte cu trăsături particulare. Cubul are toate fețele pătrate congruente, iar paralelipipedul dreptunghic are toate fețele dreptunghiuri.
Formule pentru Cub (muchia \(l\)):
- Diagonala feței: \( d_f = l\sqrt{2} \)
- Diagonala cubului: \( d = l\sqrt{3} \)
- Aria laterală: \( \mathcal{A}_{lat} = 4l^2 \)
- Aria totală: \( \mathcal{A}_{tot} = 6l^2 \)
- Volumul: \( \mathcal{V} = l^3 \)
Formule pentru Paralelipipedul Dreptunghic (lungime \(a\), lățime \(b\), înălțime \(c\)):
- Diagonala paralelipipedului: \( d = \sqrt{a^2 + b^2 + c^2} \)
- Aria laterală: \( \mathcal{A}_{lat} = 2(a + b) \cdot c \)
- Aria totală: \( \mathcal{A}_{tot} = 2ab + 2ac + 2bc \)
- Volumul: \( \mathcal{V} = a \cdot b \cdot c \)
Dacă un paralelipiped are dimensiunile \(a=5\), \(b=12\), \(c=13\), diagonala sa este \( d = \sqrt{5^2 + 12^2 + 13^2} = \sqrt{25 + 144 + 169} = \sqrt{338} = 13\sqrt{2} \).
Prisma dreaptă cu baza un poligon regulat (triunghi echilateral, pătrat, hexagon regulat). Muchiile laterale sunt perpendiculare pe planele bazelor și reprezintă înălțimea (\(h\)) prismei.
Aria laterală: \[ \mathcal{A}_{lat} = \mathcal{P}_b \cdot h \]
Aria totală: \[ \mathcal{A}_{tot} = \mathcal{A}_{lat} + 2 \cdot \mathcal{A}_{bază} \]
Volumul: \[ \mathcal{V} = \mathcal{A}_{bază} \cdot h \]
- Triunghi echilateral: \( \mathcal{A} = \frac{l^2\sqrt{3}}{4} \)
- Pătrat: \( \mathcal{A} = l^2 \)
- Hexagon regulat: \( \mathcal{A} = \frac{3l^2\sqrt{3}}{2} \)
O piramidă regulată are baza poligon regulat, iar proiecția vârfului pe planul bazei coincide cu centrul bazei. Muchiile laterale sunt congruente.
\(h\) = înălțimea piramidei (distanța de la vârf la planul bazei).
\(a_p\) = apotema piramidei (distanța de la vârf la o muchie a bazei).
\(a_b\) = apotema bazei (distanța de la centrul bazei la o muchie).
\(a_p\) = apotema piramidei (distanța de la vârf la o muchie a bazei).
\(a_b\) = apotema bazei (distanța de la centrul bazei la o muchie).
Relația fundamentală în piramida regulată (din Teorema lui Pitagora):
\[ h^2 + a_b^2 = a_p^2 \]
Aria laterală: \[ \mathcal{A}_{lat} = \frac{\mathcal{P}_b \cdot a_p}{2} \]
Aria totală: \[ \mathcal{A}_{tot} = \mathcal{A}_{lat} + \mathcal{A}_{bază} \]
Volumul: \[ \mathcal{V} = \frac{\mathcal{A}_{bază} \cdot h}{3} \]
Este o piramidă triunghiulară în care toate cele 4 fețe sunt triunghiuri echilaterale congruente.
Aria totală: \( \mathcal{A}_{tot} = l^2\sqrt{3} \)
Volumul: \( \mathcal{V} = \frac{l^3\sqrt{2}}{12} \)
Aria totală: \( \mathcal{A}_{tot} = l^2\sqrt{3} \)
Volumul: \( \mathcal{V} = \frac{l^3\sqrt{2}}{12} \)
Se obține prin secționarea unei piramide regulate cu un plan paralel cu baza și îndepărtarea piramidei mici de la vârf. Bazele sunt poligoane regulate asemenea, iar fețele laterale sunt trapeze isoscele congruente.
Relația între apoteme și înălțime: \[ h^2 + (a_B - a_b)^2 = a_{trunchi}^2 \]
Aria laterală: \[ \mathcal{A}_{lat} = \frac{(\mathcal{P}_B + \mathcal{P}_b) \cdot a_{trunchi}}{2} \]
Aria totală: \[ \mathcal{A}_{tot} = \mathcal{A}_{lat} + \mathcal{A}_b + \mathcal{A}_B \]
Volumul: \[ \mathcal{V} = \frac{h}{3} (\mathcal{A}_B + \mathcal{A}_b + \sqrt{\mathcal{A}_B \cdot \mathcal{A}_b}) \]
Dacă o piramidă este secționată printr-un plan paralel cu baza, raportul de asemănare dintre laturile piramidei mici și cele ale piramidei mari se notează cu \(k\).
Raportul ariilor (baze, laterală, totală) este \( k^2 \).
Raportul volumelor este \( k^3 \).
Raportul ariilor (baze, laterală, totală) este \( k^2 \).
Raportul volumelor este \( k^3 \).
Sfera este corpul obținut prin rotirea unui cerc în jurul diametrului său. Mulțimea punctelor aflate la distanța \(R\) de centru.
Sfera (rază \(R\)):
Aria sferei: \[ \mathcal{A} = 4\pi R^2 \]
Volumul: \[ \mathcal{V} = \frac{4\pi R^3}{3} \]
Aria sferei: \[ \mathcal{A} = 4\pi R^2 \]
Volumul: \[ \mathcal{V} = \frac{4\pi R^3}{3} \]
Cilindrul circular drept (raza bazei \(r\), înălțime \(h\)):
Aria laterală: \[ \mathcal{A}_{lat} = 2\pi rh \]
Aria totală: \[ \mathcal{A}_{tot} = 2\pi r(r + h) \]
Volumul: \[ \mathcal{V} = \pi r^2 h \]
Aria laterală: \[ \mathcal{A}_{lat} = 2\pi rh \]
Aria totală: \[ \mathcal{A}_{tot} = 2\pi r(r + h) \]
Volumul: \[ \mathcal{V} = \pi r^2 h \]
Exerciții
Ușoară: Un cub are suma lungimilor tuturor muchiilor egală cu 48 cm. Calculați volumul și diagonala cubului.
Cubul are 12 muchii.
\( 12l = 48 \Rightarrow l = 4 \) cm.
Volumul: \( \mathcal{V} = l^3 = 4^3 = 64 \text{ cm}^3 \).
Diagonala: \( d = l\sqrt{3} = 4\sqrt{3} \) cm.
\( 12l = 48 \Rightarrow l = 4 \) cm.
Volumul: \( \mathcal{V} = l^3 = 4^3 = 64 \text{ cm}^3 \).
Diagonala: \( d = l\sqrt{3} = 4\sqrt{3} \) cm.
Medie: O piramidă patrulateră regulată are latura bazei \( l = 12 \) cm și apotema piramidei \( a_p = 10 \) cm. Calculați volumul piramidei.
Baza este un pătrat: \( \mathcal{A}_{bază} = l^2 = 144 \text{ cm}^2 \).
Apotema bazei: \( a_b = \frac{l}{2} = 6 \) cm.
Din teorema lui Pitagora: \( h^2 = a_p^2 - a_b^2 = 100 - 36 = 64 \Rightarrow h = 8 \) cm.
Volumul: \( \mathcal{V} = \frac{\mathcal{A}_{bază} \cdot h}{3} = \frac{144 \cdot 8}{3} = 48 \cdot 8 = 384 \text{ cm}^3 \).
Apotema bazei: \( a_b = \frac{l}{2} = 6 \) cm.
Din teorema lui Pitagora: \( h^2 = a_p^2 - a_b^2 = 100 - 36 = 64 \Rightarrow h = 8 \) cm.
Volumul: \( \mathcal{V} = \frac{\mathcal{A}_{bază} \cdot h}{3} = \frac{144 \cdot 8}{3} = 48 \cdot 8 = 384 \text{ cm}^3 \).
Dificilă: Un trunchi de piramidă triunghiulară regulată are latura bazei mari \( l_B = 18 \) cm, latura bazei mici \( l_b = 6 \) cm și apotema trunchiului \( a_{tr} = 4 \) cm. Calculați aria laterală și înălțimea trunchiului.
Perimetrele bazelor: \( \mathcal{P}_B = 3 \cdot 18 = 54 \) cm, \( \mathcal{P}_b = 3 \cdot 6 = 18 \) cm.
Aria laterală: \( \mathcal{A}_{lat} = \frac{(54 + 18) \cdot 4}{2} = \frac{72 \cdot 4}{2} = 144 \text{ cm}^2 \).
Apotemele bazelor (triunghi echilateral): \( a_B = \frac{l_B\sqrt{3}}{6} = 3\sqrt{3} \) cm; \( a_b = \frac{l_b\sqrt{3}}{6} = \sqrt{3} \) cm.
Înălțimea se află din relația: \( h^2 = a_{tr}^2 - (a_B - a_b)^2 = 4^2 - (3\sqrt{3} - \sqrt{3})^2 = 16 - (2\sqrt{3})^2 = 16 - 12 = 4 \).
Rezultă \( h = 2 \) cm.
Aria laterală: \( \mathcal{A}_{lat} = \frac{(54 + 18) \cdot 4}{2} = \frac{72 \cdot 4}{2} = 144 \text{ cm}^2 \).
Apotemele bazelor (triunghi echilateral): \( a_B = \frac{l_B\sqrt{3}}{6} = 3\sqrt{3} \) cm; \( a_b = \frac{l_b\sqrt{3}}{6} = \sqrt{3} \) cm.
Înălțimea se află din relația: \( h^2 = a_{tr}^2 - (a_B - a_b)^2 = 4^2 - (3\sqrt{3} - \sqrt{3})^2 = 16 - (2\sqrt{3})^2 = 16 - 12 = 4 \).
Rezultă \( h = 2 \) cm.
Medie: O sferă are aria egală cu \( 100\pi \text{ cm}^2 \). Aflați volumul sferei.
Formula ariei: \( \mathcal{A} = 4\pi R^2 = 100\pi \Rightarrow R^2 = 25 \Rightarrow R = 5 \) cm.
Volumul: \( \mathcal{V} = \frac{4\pi R^3}{3} = \frac{4\pi \cdot 125}{3} = \frac{500\pi}{3} \text{ cm}^3 \).
Volumul: \( \mathcal{V} = \frac{4\pi R^3}{3} = \frac{4\pi \cdot 125}{3} = \frac{500\pi}{3} \text{ cm}^3 \).
