Cele mai importante aspecte ale lecției
Distanța între plane paralele: Se măsoară pe o dreaptă perpendiculară pe ambele plane.
Înălțimea (h) pentru prisme drepte, cilindri și trunchiuri este distanța dintre planele bazelor.
Reguli practice:
Înălțimea (h) pentru prisme drepte, cilindri și trunchiuri este distanța dintre planele bazelor.
Reguli practice:
- La prisme drepte și cilindri: \(h = \text{lungimea muchiei laterale / generatoarei}\).
- La trunchi de piramidă/con: \(h\) este reprezentată prin segmentul \(OO'\) dus între centrele bazelor.
- La paralelipiped dreptunghic: Oricare dintre cele \(3\) dimensiuni poate fi înălțime, depinzând de fețele alese ca baze.
Distanța dintre două plane paralele este egală cu lungimea segmentului determinat de cele două plane pe o dreaptă perpendiculară pe acestea.
Dacă două plane, \(\alpha\) și \(\beta\), sunt paralele și o dreaptă \(d\) este perpendiculară pe planul \(\alpha\), atunci dreapta \(d\) este perpendiculară și pe planul \(\beta\).
Lungimea segmentului \(AB\) nu depinde de poziția dreptei, atâta timp cât aceasta este perpendiculară pe cele două plane paralele. Orice segment perpendicular dus între cele două plane va avea exact aceeași lungime.
Distanța dintre planele paralele \(\alpha\) și \(\beta\) este de \(10 \text{ cm}\). Două drepte distincte, \(d_1\) și \(d_2\), perpendiculare pe plane, le intersectează formând segmentele \(A_1A_2\) (pentru \(d_1\)) și \(B_1B_2\) (pentru \(d_2\)). Care este lungimea segmentului \(B_1B_2\)?
Deoarece distanța dintre două plane paralele este constantă în orice punct, segmentele tăiate de plane pe drepte perpendiculare pe ele sunt congruente.
Deci, \(B_1B_2 = A_1A_2 = 10 \text{ cm}\).
Deci, \(B_1B_2 = A_1A_2 = 10 \text{ cm}\).
Înălțimea unei prisme drepte este distanța dintre planele celor două baze ale prismei.
La o prismă dreaptă, lungimea muchiei laterale este egală cu lungimea înălțimii prismei.
La un paralelipiped dreptunghic (care este tot o prismă dreaptă), oricare două fețe opuse pot fi considerate baze. Prin urmare, oricare dintre cele trei dimensiuni (lungime, lățime, înălțime relativă la o anumită bază) poate fi luată drept înălțime, în funcție de fața pe care corpul "se sprijină".
O prismă triunghiulară dreaptă are muchiile laterale egale cu \(15 \text{ cm}\). Cât este distanța dintre planele bazelor sale?
Distanța dintre planele bazelor reprezintă înălțimea prismei. Deoarece în prisma dreaptă muchia laterală este egală cu înălțimea, distanța este de \(15 \text{ cm}\).
Pentru corpurile care au două baze paralele, înălțimea este mereu distanța dintre planele acestor baze. De regulă, segmentul care unește centrele celor două baze reprezintă înălțimea corpului.
- Cilindrul circular drept: Înălțimea este distanța dintre planele bazelor; de obicei se ia în considerare segmentul \(OO'\) care unește centrele cercurilor celor două baze.
- Trunchiul de piramidă: Înălțimea este distanța dintre planul bazei mari și planul bazei mici. La un trunchi de piramidă regulată, segmentul \(OO'\) dintre centrele bazelor reprezintă înălțimea.
- Trunchiul de con circular drept: Înălțimea este distanța dintre planele celor două baze, determinată prin segmentul \(OO'\) ce unește centrele cercurilor bazelor.
Probleme practice
Ușoară: O clădire are forma unei prisme triunghiulare regulate. Știind că perimetrul bazei este de \(90 \text{ m}\), iar muchia laterală este de \(4\) ori mai mare decât latura bazei, determinați înălțimea clădirii.
Baza este un triunghi echilateral, deci latura bazei este \(l = 90 \text{ m} : 3 = 30 \text{ m}\).
Muchia laterală este de \(4\) ori mai mare: \(4 \cdot 30 \text{ m} = 120 \text{ m}\).
Deoarece clădirea este o prismă dreaptă, înălțimea sa coincide cu muchia laterală.
Răspuns: Înălțimea este \(120 \text{ m}\).
Muchia laterală este de \(4\) ori mai mare: \(4 \cdot 30 \text{ m} = 120 \text{ m}\).
Deoarece clădirea este o prismă dreaptă, înălțimea sa coincide cu muchia laterală.
Răspuns: Înălțimea este \(120 \text{ m}\).
Medie: O cutie are forma unui paralelipiped dreptunghic cu dimensiunile bazei de \(20 \text{ cm}\) și \(15 \text{ cm}\). Știind că suma ariilor fețelor laterale (aria laterală) este egală cu \(280 \text{ cm}^2\), calculați înălțimea cutiei.
Formula pentru aria laterală a unei prisme (și a paralelipipedului dreptunghic) este:
\[ A_l = P_b \cdot h \]
unde \(P_b\) este perimetrul bazei, iar \(h\) este înălțimea.
Calculăm perimetrul bazei (un dreptunghi): \(P_b = 2 \cdot (20 + 15) = 2 \cdot 35 = 70 \text{ cm}\).
Înlocuim în formulă: \(70 \cdot h = 280\).
Prin împărțire, obținem \(h = 280 : 70 = 4 \text{ cm}\).
Răspuns: Înălțimea cutiei este de \(4 \text{ cm}\).
Calculăm perimetrul bazei (un dreptunghi): \(P_b = 2 \cdot (20 + 15) = 2 \cdot 35 = 70 \text{ cm}\).
Înlocuim în formulă: \(70 \cdot h = 280\).
Prin împărțire, obținem \(h = 280 : 70 = 4 \text{ cm}\).
Răspuns: Înălțimea cutiei este de \(4 \text{ cm}\).
Dificilă: Un cilindru circular drept are generatoarele \(AA'\) și \(BB'\) astfel încât secțiunea sa axială (dreptunghiul \(ABB'A'\)) este un pătrat cu aria de \(36 \text{ cm}^2\). Determinați înălțimea și raza bazei cilindrului.
Secțiunea axială a unui cilindru circular drept este un dreptunghi având ca dimensiuni diametrul bazei (\(2R\)) și generatoarea (\(G\)), care este egală cu înălțimea (\(h\)).
Deoarece secțiunea axială este un pătrat, rezultă că lățimea sa este egală cu lungimea: \(2R = h\).
Aria pătratului este \(l^2\), deci \(h^2 = 36 \text{ cm}^2\).
De aici deducem că \(h = \sqrt{36} = 6 \text{ cm}\).
Pentru că înălțimea este \(6 \text{ cm}\), diametrul bazei este tot \(6 \text{ cm}\) (\(2R = 6\)).
Raza bazei va fi jumătate din diametru: \(R = 6 : 2 = 3 \text{ cm}\).
Răspuns: Înălțimea este \(6 \text{ cm}\), iar raza este \(3 \text{ cm}\).
Deoarece secțiunea axială este un pătrat, rezultă că lățimea sa este egală cu lungimea: \(2R = h\).
Aria pătratului este \(l^2\), deci \(h^2 = 36 \text{ cm}^2\).
De aici deducem că \(h = \sqrt{36} = 6 \text{ cm}\).
Pentru că înălțimea este \(6 \text{ cm}\), diametrul bazei este tot \(6 \text{ cm}\) (\(2R = 6\)).
Raza bazei va fi jumătate din diametru: \(R = 6 : 2 = 3 \text{ cm}\).
Răspuns: Înălțimea este \(6 \text{ cm}\), iar raza este \(3 \text{ cm}\).
