IV.8. Probleme Propuse

Pasul 1: Reprezentarea grafică a cubului și a secțiunii

Se desenează un cub \( ABCDEFGH \) în perspectivă cavaleră. Baza inferioară este pătratul \( ABCD \), cu punctul \( A \) plasat în stânga-jos, \( B \) în dreapta-jos, \( C \) în dreapta-sus (îndepărtat), și \( D \) în stânga-sus (îndepărtat). Baza superioară este \( EFGH \), cu \( E \) direct deasupra lui \( A \), \( F \) deasupra lui \( B \), \( G \) deasupra lui \( C \), și \( H \) deasupra lui \( D \). Muchiile laterale \( AE, BF, CG, DH \) sunt verticale. Se marchează punctul \( M \) exact la mijlocul muchiei laterale \( AE \). Se construiește un plan de secțiune \( \alpha \) care este paralel cu planul bazei \( (ABCD) \) și trece prin punctul \( M \). Acest plan intersectează celelalte muchii laterale \( BF, CG, DH \) în punctele \( N, P, Q \) respectiv. Deoarece planul \( \alpha \) este paralel cu baza și trece prin mijlocul lui \( AE \), punctele \( N, P, Q \) sunt, de asemenea, mijloacele muchiilor \( BF, CG, DH \). Secțiunea obținută este pătratul \( MNPQ \), congruent cu fețele \( ABCD \) și \( EFGH \), situat la jumătatea înălțimii cubului. Toate muchiile cubului și ale secțiunii \( MNPQ \) care ar fi invizibile din această perspectivă (de exemplu, muchiile \( AD, CD, DH \) și \( Q P, Q M \) dacă sunt în spate) trebuie reprezentate cu linii întrerupte.

Pasul 2: Identificarea punctelor de intersecție

Planul \( \alpha \) este paralel cu fața \( ABCD \). Deoarece planul trece prin mijlocul \( M \) al muchiei \( AE \), acesta va intersecta toate celelalte muchii laterale paralele cu \( AE \) în punctele lor de mijloc, conform proprietăților paralelismului în spațiu. Notăm punctele de intersecție astfel: - \( M \) pe muchia \( AE \); - \( N \) pe muchia \( BF \); - \( P \) pe muchia \( CG \); - \( Q \) pe muchia \( DH \).

Pasul 3: Numirea corpurilor obținute

Prin secționarea cubului cu planul \( \alpha \), se obțin două corpuri geometrice identice (congruente). Acestea sunt două prisme patrulatere regulate (mai precis, două paralelipipede dreptunghice cu baza pătrat). Pentru corpul inferior \( ABCDMNPQ \): - Bazele sunt pătratele \( ABCD \) și \( MNPQ \). - Muchiile bazelor sunt \( AB, BC, CD, DA \) și \( MN, NP, PQ, QM \). - Muchiile laterale sunt \( AM, BN, CP, DQ \). Pentru corpul superior \( MNPQEFGH \): - Bazele sunt pătratele \( MNPQ \) și \( EFGH \). - Muchiile bazelor sunt \( MN, NP, PQ, QM \) și \( EF, FG, GH, HE \). - Muchiile laterale sunt \( ME, NF, PG, QH \).

Pasul 4: Calcularea laturii cubului

Știm că \( AC = 8 \text{ cm} \). \( AC \) este diagonala pătratului \( ABCD \). Formula pentru diagonala pătratului de latură \( l \) este \( d = l\sqrt{2} \). Avem \( l\sqrt{2} = 8 \), deci: \[ l = \frac{8}{\sqrt{2}} = \frac{8\sqrt{2}}{2} = 4\sqrt{2} \text{ cm} \] Așadar, \( AB = BC = CD = DA = 4\sqrt{2} \text{ cm} \).

Pasul 5: Calcularea perimetrului și ariei secțiunii

Deoarece planul \( \alpha \) este paralel cu planul \( (ABC) \), secțiunea \( MNPQ \) este un pătrat congruent cu fața \( ABCD \). Latura secțiunii este \( MN = AB = 4\sqrt{2} \text{ cm} \). Perimetrul pătratului \( MNPQ \) este: \[ P_{MNPQ} = 4 \cdot MN = 4 \cdot 4\sqrt{2} = 16\sqrt{2} \text{ cm} \] Aria pătratului \( MNPQ \) este: \[ A_{MNPQ} = MN^2 = (4\sqrt{2})^2 = 16 \cdot 2 = 32 \text{ cm}^2 \]

a. Secțiunea este \( MNPQ \) unde \( M, N, P, Q \) sunt mijloacele muchiilor \( AE, BF, CG, DH \). b. Două prisme patrulatere regulate. Baze: pătrate; muchii: laturile pătratelor și segmentele de pe muchiile laterale ale cubului. c. \( d = l\sqrt{2} = 8 \implies l = \frac{8}{\sqrt{2}} = 4\sqrt{2} \text{ cm} \). Secțiunea \( MNPQ \) are latura \( 4\sqrt{2} \text{ cm} \). \( P = 4 \cdot 4\sqrt{2} = 16\sqrt{2} \text{ cm} \). \( A = (4\sqrt{2})^2 = 32 \text{ cm}^2 \).