Lecția V.5 conține următoarele grupuri de exerciții:
Alege rezolvarea exercițiului:
Exercițiul 1 (gratuit)
Rezolvare scurtă
\( R = 5 \text{ cm}, G = 10 \text{ cm}, h = G = 10 \text{ cm} \)
a.
\( L_{secțiune} = 2R = 2 \cdot 5 = 10 \text{ cm} \) \( H_{secțiune} = G = 10 \text{ cm} \) \( d^2 = (2R)^2 + G^2 = 10^2 + 10^2 = 100 + 100 = 200 \) \( d = \sqrt{200} = 10\sqrt{2} \text{ cm} \)b.
\( \mathcal{A}_l = 2\pi RG = 2 \cdot \pi \cdot 5 \cdot 10 = 10 \cdot 10\pi = 100\pi \text{ cm}^2 \)c.
\( \mathcal{V} = \pi R^2 h = \pi \cdot 5^2 \cdot 10 = \pi \cdot 25 \cdot 10 = 250\pi \text{ cm}^3 \)Rezolvare detaliată
Pasul 1: Identificarea elementelor cilindrului
Avem un cilindru circular drept cu raza bazei \( R = 5 \text{ cm} \) și generatoarea \( G = 10 \text{ cm} \). În cazul cilindrului circular drept, înălțimea \( h \) este egală cu generatoarea, deci \( h = G = 10 \text{ cm} \).Desenează un cilindru circular drept, vizibil într-o perspectivă frontal-dreapta. Reprezintă bazele ca două elipse paralele. Elipsa inferioară va avea jumătatea posterioară punctată (densely dashed), iar restul elipsei inferioare și întreaga elipsă superioară vor fi linii continue. Etichetează centrele bazelor cu O (pentru baza inferioară) și O' (pentru baza superioară). Trasează axa cilindrului ca o linie verticală punctată (densely dashed) care unește O și O', etichetată cu 'h' (h = 10 cm). Desenează secțiunea axială sub forma unui dreptunghi ABCD care trece prin axa cilindrului. Punctele A și B vor fi pe elipsa inferioară, iar C și D pe elipsa superioară. Punctul A va fi poziționat în partea stângă-jos a bazei inferioare, B în partea dreaptă-jos, C în partea dreaptă-sus, și D în partea stângă-sus. Toate laturile dreptunghiului (AB, BC, CD, DA) vor fi linii continue. Latura inferioară AB este diametrul bazei inferioare; eticheteaz-o cu AB = 2R = 10 cm. Laturile verticale AD și BC sunt generatoarele cilindrului; etichetează-le cu G = 10 cm. Trasează diagonala AC a dreptunghiului ABCD ca o linie continuă și eticheteaz-o cu 'd'. Pentru a indica raza, trasează un segment de la centrul O la punctul B (sau A) pe elipsa inferioară și etichetează-l cu R = 5 cm.
Pasul 2: Calcularea diagonalei secțiunii axiale
a. diagonala secțiunii axiale
Secțiunea axială a unui cilindru circular drept este un dreptunghi cu dimensiunile \( 2R \) (diametrul bazei) și \( G \) (generatoarea). Lățimea dreptunghiului este \( L = 2 \cdot R = 2 \cdot 5 = 10 \text{ cm} \). Înălțimea dreptunghiului este \( G = 10 \text{ cm} \). Deoarece laturile sunt egale (\( 10 \text{ cm} \) și \( 10 \text{ cm} \)), secțiunea axială este un pătrat. Diagonala \( d \) a pătratului se calculează cu formula: \[ d = \sqrt{L^2 + G^2} \] \[ d = \sqrt{10^2 + 10^2} = \sqrt{100 + 100} = \sqrt{200} \] \[ d = 10\sqrt{2} \text{ cm} \]Pasul 3: Calcularea ariei laterale
b. \(\mathcal{A}_l\)
Aria laterală a cilindrului se calculează folosind formula \( \mathcal{A}_l = 2\pi RG \). Înlocuim valorile cunoscute: \[ \mathcal{A}_l = 2 \cdot \pi \cdot 5 \cdot 10 \] \[ \mathcal{A}_l = 10 \cdot 10 \cdot \pi \] \[ \mathcal{A}_l = 100\pi \text{ cm}^2 \]Pasul 4: Calcularea volumului
c. \(\mathcal{V}\)
Volumul cilindrului se calculează folosind formula \( \mathcal{V} = \pi R^2 h \). Știm că \( h = G = 10 \text{ cm} \). Înlocuim valorile în formulă: \[ \mathcal{V} = \pi \cdot 5^2 \cdot 10 \] \[ \mathcal{V} = \pi \cdot 25 \cdot 10 \] \[ \mathcal{V} = 250\pi \text{ cm}^3 \]Rezolvare scurtă:
a. \( d = \sqrt{(2R)^2 + G^2} = \sqrt{10^2 + 10^2} = \sqrt{200} = 10\sqrt{2} \text{ cm} \)
b. \( \mathcal{A}_l = 2\pi RG = 2\pi \cdot 5 \cdot 10 = 100\pi \text{ cm}^2 \)
c. \( \mathcal{V} = \pi R^2 G = \pi \cdot 5^2 \cdot 10 = 250\pi \text{ cm}^3 \)
