V.6. Autoevaluare

Pentru a rezolva această problemă, vom folosi formulele standard pentru elementele unui con circular drept, utilizând valorile date pentru rază \( (R) \) și generatoare \( (G) \).

Pasul 1: Identificarea datelor problemei

Din enunț cunoaștem următoarele măsuri: - Raza bazei conului: \( R = 5 \text{ cm} \) - Generatoarea conului: \( G = 10 \text{ cm} \)

a. Aria bazei conului

Pasul 2: Calcularea ariei bazei

Baza unui con circular drept este un cerc. Formula pentru aria cercului este: \[ \mathcal{A}_{bază} = \pi \cdot R^2 \] Înlocuim valoarea razei \( R = 5 \text{ cm} \): \[ \mathcal{A}_{bază} = \pi \cdot 5^2 \] \[ \mathcal{A}_{bază} = 25\pi \text{ cm}^2 \]

b. Aria laterală a conului

Pasul 3: Calcularea ariei laterale

Aria laterală a unui con circular drept se calculează folosind formula: \[ \mathcal{A}_{lat} = \pi \cdot R \cdot G \] Înlocuim valorile \( R = 5 \text{ cm} \) și \( G = 10 \text{ cm} \): \[ \mathcal{A}_{lat} = \pi \cdot 5 \cdot 10 \] \[ \mathcal{A}_{lat} = 50\pi \text{ cm}^2 \]

c. Aria totală a conului

Pasul 4: Calcularea ariei totale

Aria totală a conului reprezintă suma dintre aria bazei și aria laterală: \[ \mathcal{A}_{tot} = \mathcal{A}_{lat} + \mathcal{A}_{bază} \] Folosind rezultatele obținute anterior: \[ \mathcal{A}_{tot} = 50\pi + 25\pi \] \[ \mathcal{A}_{tot} = 75\pi \text{ cm}^2 \] Alternativ, putem folosi formula directă: \[ \mathcal{A}_{tot} = \pi R(G + R) = \pi \cdot 5(10 + 5) = \pi \cdot 5 \cdot 15 = 75\pi \text{ cm}^2 \]

a) \( \mathcal{A}_b = \pi \cdot 5^2 = 25\pi \text{ cm}^2 \) b) \( \mathcal{A}_l = \pi \cdot 5 \cdot 10 = 50\pi \text{ cm}^2 \) c) \( \mathcal{A}_t = 50\pi + 25\pi = 75\pi \text{ cm}^2 \)